1、1,第三节 弯曲正应力,一、弯曲正应力计算公式,弯曲正应力只与弯矩有关，故通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力,纯弯曲：,梁的剪力恒为零，,弯矩为常量,2,观察变形 ,变形前,变形后,基本假设 ,1. 弯曲变形时，梁的横截面仍保持为平面,2. 弯曲变形时，梁内的纵向“纤维”受到单向拉伸或者压缩,3,中性层：,保持不变的纵向“纤维”层,弯曲变形前后，梁内长度,中性轴：,中性层与横截面的交线,中性层,横截面,中性轴,在横截面上建立直角坐标系：,以中性轴为 z 轴、以横截面的对称,轴为 y 轴、以梁的轴线为 x 轴建立,直角坐标系,4,变形几何关系 ,考察距中性层为 y 、长度为 dx 的纵向“纤维”,原长
2、：,变形后长度：,线应变：,式中， 为中性层的曲率半径,结论：,梁横截面上任意点处的纵向线应变与该点到中性层的距离,成正比,5,物理关系 ,结论：,梁横截面上任意点的弯曲正应力与该点的纵坐标 y 成正比，,根据胡克定律,即弯曲正应力沿截面高度方向呈线性分布,存在两个待解决问题：,1）中性轴的位置？,2）中性层的曲率（曲率半径）？,6,静力学关系 ,结论 1：,中性轴 z 通过截面形心,结论 2：,中性层的曲率与弯矩成正比，与抗弯刚度 EIz 成反比,弯曲正应力计算公式：,说明：,对于非纯弯曲梁，只要满足长高比 l / h 5，该公式依然适用,7,二、弯曲正应力分布规律,1. 弯曲正应力沿宽度均
3、布，沿高度线性分布,2. 中性轴将横截面分为拉、压两个区域，在中性轴上各点处，弯曲正应力为零,3. 弯曲拉（压）应力的最大值发生于上（下）边缘各点处， 其计算公式为,8,4. 最大弯曲正应力计算公式,圆环形：,查型钢表,系数，取决于截面形状和尺寸,矩形：,圆形：,型钢截面：,9,1）画弯矩图,该梁可简化为简支梁,例1 图示梁为 No. 50a 工字钢，跨中作用一集中力 F = 140 kN。试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处 a 点的正应力。,跨中截面 C 为危险截面,解：,最大弯矩,10,2）计算正应力,查型钢表，No. 50a 工字钢的惯性矩 Iz = 46470 cm4 ，
4、抗弯截面系数 Wz = 1860 cm3,危险截面 C 上的最大正应力,危险截面 C 上翼缘与腹板交界处 a 点的正应力,11,例2 试求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知 Iz = 7.64106 mm4、 y1 = 52 mm、y2 = 88 mm。,解：,梁的最大正弯矩发生在截面 C 上，最大负弯矩发生在截面 B 上，分别为,1）画弯矩图,12,2）计算截面 C 的最大拉应力和最大压应力,13,3）计算截面 B 的最大拉应力和最大压应力,14,所以，T 形梁的最大拉应力发生在截面 C 的下边缘，最大压应力力发生在截面 B 的下边缘，分别为,15,第四节 弯曲正应力强度计算,
5、弯曲正应力强度条件 ,对于塑性材料：,对于脆性材料：,16,例3 图示悬臂梁为工字钢，已知 F = 40 kN，l = 6 m，许用应力 = 150 MPa，试根据弯曲正应力强度条件确定工字钢型号。,解：,最大弯矩,1）画弯矩图,17,2）强度计算,由工字钢型钢表查得，可选用 No 45c 工字钢，因其抗弯截面系数 Wz = 1570 cm3，与计算结果相差不到 5% ，这在工程设计中是允许的,根据弯曲正应力强度条件，得梁的抗弯截面系数,18,例4 图示槽形截面铸铁梁。已知截面的 Iz = 5260104 mm4、 y1 = 77 mm、y2 = 120 mm；铸铁材料的许用拉应力 t = 3
6、0 MPa、许用压应力 c = 90 MPa 。试确定此梁的许可载荷。,解：,最大弯矩,1）画弯矩图,19,2）强度计算,危险截面 B 处的最大弯矩为负值，梁上侧受拉、下侧受压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上边缘和下边缘各点处，应分别进行强度计算,得,由,20,得,所以，许可载荷,由,21,例5 T 字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图所示。材料的许用拉应力 t = 40 MPa、许用压应力 c = 100 MPa，试按正应力强度条件校核梁的强度。,截面 B 上有最大负弯矩,截面 E 上有最大正弯矩,解：,1）画弯矩图,22,2）计算截面的几何性质,中性轴（形心）位置,截面对中性轴 z 的惯性矩,23,3）强度校核,截面 B 为负弯矩，上拉下压,B 截面应力分布,24,3）强度校核,截面 E 为正弯矩，上压下拉,结论：该梁强度满足要求,E 截面应力分布,25, 在对拉、压强度不同、截面关于中性轴又不对称的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个横截面上危险点的应力都满足强度条件时，整根梁才是安全的。,
