1、第七章 运输问题,运输问题的模型表上作业法几种特殊情况的处理不平衡的运输问题转运问题其他运输问题模型,第一节 运输问题的模型,一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案的问题。,例,有某种物资要从A1、A2、A3，调往B1、B2、B3、B4，各地调运量及单位运价表如下表所示，问应如何调运才能使得运费最少？ （建立线形规划数学模型）,线形规划数学模型,设Ai到Bj的调运量为xij，,数学模型的特点,A矩阵只有0、1元素，而且每一列只有两个元素是1，其余都是0。,
2、根据这种特殊结构，在单纯形法的基础上，人们设计了一种表上作业法。,第二节 表上作业法,表上作业法的一般思路是：首先给出一个初始调运方案，然后根据某判断法则判定初始方案是否最优，如果不是最优，则再调整，每次调整后的总运费不会增加，这样，经过若干调整可得到最优方案。三大步骤：初始方案的获得最优判断调整方案,例,有某种物资要从A1、A2、A3，调往B1、B2、B3、B4，各地调运量及单位运价表如下表所示，问应如何调运才能使得运费最少？,一、初始方案的获得,西北角法最小元素法,（一）西北角法,每次都从平衡表的左上方开始，依次满足各销点的需要，而不考虑运价。如本例，调运表如下：,先满足,填A1B1，划掉
3、已满足的B1列,填A1B2，划掉已满足的A1行,填A2B2，划掉已满足的B2列,填A2B3，划掉已满足的A2行,填A3B3，划掉已满足的B3列,填A3B4，所有行列均满足。,得到初始方案,（二）最小元素法,依次挑选运费表中运费最小值所在单元格优先满足的调运方法 如本例运价表如下：,运费最小，先满足,填A2B1，划掉已满足的B1列,填A2B3，划掉已满足的A2行,填A1B3，划掉已满足的B3列,填A3B2，划掉已满足的B2列,填A3B4，划掉已满足的A3行,填A1B4，所有行列均满足,得到初始方案,比较两种初始方案,西北角法,最小元素法,运用最小元素法获得初始方案时，应注意！,不是每一个调运方案
4、都可以作为表上作业法的初始方案的，初始方法必须满足一个条件：表中有填数字的格子数应为m+n-1。如本例中，实格数为3+4-1=6。因此，当运用最小元素法作初始方案时，有时会遇到这样的情况：进行到某一步时，行和列同时满足。这时划去行或列均可，但不能同时划去行或列，以保证最后填有数字的格子数为m+n-1个；若按最小元素法确定应填某一格，而这一格又正好发点已供完或收点已受足（或者同时两者都有），那么这个格子中必须填上一个零，而把这个格子仍然当作一个有填数字的格子来看待，目的也是为了保证最后填有数字的格子数等于m+n-1个。,例如以下的某种物资调运问题,单位运价表,用最小元素法获得初始方案,运价表,调
5、运表,初始调运方案（实格数为m+n-1=6）,二、最优判定,闭回路法位势法,（一）闭回路法,空格：在可以作为初始方案的调运方案中，没有填数字的格子称为空格。实格：填有数字的格子称为实格。闭回路：在调运方案表中，从一个空格出发，沿水平或竖直方向前进，遇到一个适当的实格时则按与前进方向垂直的方向转向前进，再遇到适当的实格时再转向前进，这样，继续转向和前进，经过若干次后，必然回到原来出发的那个空格，这就形成了一条由水平线段和竖直线段所组成的封闭折线，称为闭回路。可以证明过每一空格可以作一条唯一的闭回路。,例如在以下调运表中找出闭回路,以上调运表中每个空格均有唯一一条闭回路。,空格A1B1的闭回路为：
6、A1B1A1B3A2B3A2B1A1B1空格A1B2的闭回路为：A1B2A1B4A3B4A3B2A1B2 空格A2B2的闭回路为：A2B2A2B3A1B3A1B4A3B4A3B2A2B2 空格A2B4的闭回路为：A2B4A1B4A1B3A2B3A2B4 空格A3B1的闭回路为：A3B1A3B4A1B4A1B3A2B3A2B1A3B1 空格A3B3的闭回路为：A3B3A3B4A1B4A1B3A3B3,其他概念,在闭回路中，转向处称为转角点。从空格算起，第奇数次转角点称为奇转角点；第偶数次转角点称为偶转角点。例如：空格A1B1的闭回路中，A1B3，A2B1为奇转角点，A1B1，A2B3为偶转角点；
7、空格A3B1的闭回路中，A3B4，A1B3，A2B1为奇转角点，A3B1，A1B4，A2B3为偶转角点。,其他概念,对于某个空格的闭回路，若将它各转角点（包括空格本身）刻划在运价表上，那么运价表上也出现一个闭回路，我们称它为相应于此空格闭回路的运费闭回路。,调运表：,运价表,闭回路法的概念,闭回路法：利用运费闭回路计算检验数的方法。当所有检验数均为非负时，则调运方案为最优，否则进行调整。应指出的是：这里检验数只有对空格有定义。检验数偶转角点的运价之和奇转角点的运价之和,例如A1B1的运价闭回路,检验数11 =偶转角点的运价之和奇转角点的运价之和 =（3+2）-（3+1）=1,同理，计算其他空格
8、检验数,调运表：,运价表,闭回路法计算的检验数如下表：,24-10，此调运方案不是最优，须进行调整。,（二）位势法,以上介绍的闭回路法，必须一个个地找出闭回路，求检验数。当调运物质问题的m、n很大时是比较麻烦的。位势法则比较简捷。,步骤1,在运价表中，将调运方案实格所对应的运价用圆圈圈上，空格所对应的运价用方框框上，数字都归于方格的左上方。,调运表,位势表,位势表,步骤2,在运价表的下方和右方增加一行位势行和一列位势列，在位势行和位势列上填上一些数字，使得圆圈里的运价等于相对应的位势行和位势列数字之和。一般地，是在位势行B1或位势列A1先填上第一个数字0。,位势表,步骤3,将位势行和位势列的数
9、字相加，填入相应的方格中，位于方格的右下方。不妨将这些数称为位势数。,位势表,步骤4,计算各方格检验数检验数方框的运价或圆圈中的运价同一方格内的位势数。当所有检验数均非负时，说明调运方案最优；否则，需进行调整。,检验数表,从检验数表可以看出，检验数24-10，所以，此调运方案不是最优，需要调整。,三、闭回路调整法,步骤1,在调运方案表中找出绝对值最大的负检验数所对应的空格的闭回路。,调运方案,步骤2,找出该闭回路上所有奇转角点上调运量的最小数，不妨圈上。该最小数即调整数。若有两个或两个以上相同的最小数，则选相应运价较大的那个数做为调整数。,步骤3,将所有奇转角点上调运量分别减去调整数，偶转角点
10、上调运量分别加上调整数，并将调整数所在方格变为空格。注意，当其他奇转角点上调运量与调整数相等时，应写上0，而不应变为空格。,步骤4,经过以上调整，即得到新的调运方案，对新调运方案求检验数，判断它是否最优。若非最优，则再用闭回路调整法进行调整，直至得到最优方案。,用位势法检验,调运方案,位势表,位势表,结论,对比位势表中运价与位势数大小，可知所有运价均大于位势数，则检验数一定均非负。该调运方案最优。总运费5*3+2*10+3*1+1*8+6*4+3*585,第三节 几种特殊情况的处理,不平衡的运输问题“供大于求”“供不应求”转运问题,“供大于求”问题,有一个物资调运问题，其供求表和运价表如下：,
11、思路,由于收量小于发量，因此，其中的差量必须就地库存起来。解题时，不妨增设一列为库存点，各发点到库存点的运价为0（意味着就地库存），这样不平衡的供求表就可转化为平衡表。就可用前面介绍过的方法求最优调运方案。注意：用最小元素法求初始方案时，不考虑库存点的运价0。,增设一列为库存点,用最小元素法得初始方案,初始方案,用位势法检验,用位势法计算检验数,结论,从以上位势表的计算过程可知，所有运价均大于位势数，所以初始方案即最优方案。,“供不应求”问题,某农场获得大丰收，四块土地A1、A2、A3、A4的产量分别为2、3、4、6千担，现在准备把这批粮食贮藏到三个仓库里。已知这三个仓库最大容量分别为7、5、
12、7千担。每块土地和各仓库的距离如右表所示，试求出最合理的调运方案。,思路,产量容量不妨假设一块地A0产量为4千担，该地与仓库之间的距离为0。则可得平衡表。,用最小元素法得初始方案,初始方案,用位势法检验,用位势法检验,检验结果,从位势表计算结果，可知A3B2中运价小于位势数，检验数322-3-10，原调运方案不是最有方案，应调整。,找闭回路,调整后的调运方案,用位势法检验,结论,从位势表计算结果可知，所有运价均大于位势数。则新的调运方案为最优。此时总运输量33（千担里）,转运问题,转运问题：所调运的物质不是直接由产地送到销地，而是经过若干中转站才送到。解决的方法是将转运问题转化为规范的运输问题
13、。转化的方法,转化的方法,将产地、中转站、销地重新标号，使之既为产地又为销地。各地之间的运费（或运输距离）一部分用原问题中给出的数据；从一个地点运货到自身的，单位运费计为0；没有运输线路的则记为M（M指一个足够大的正整数）由于经过中转站的货物量应当既是该点作为销地时的需求量，又是该点作为产地时的供应量，但事先又无法知道该数量的确切值，因此可以将调运总量作为该数值的上限。对于产地和销地也作类似的处理。,例：,某地区有两个水泥厂A1、A2，产量分别为150吨和200吨，全部销往外地三个城市B1、B2、B3。运输方式有两种：一是直接用卡车通过公路运到销地，二是先将水泥用卡车运到最近的港口D1或火车站
14、D2，再通过海运或铁路货运到销地。已知各供需量及水泥单位运价如下表，试确定运费最省的水泥调运方案。,水泥供需量及运价表,解：将产地、销地和中转站重新标号，全部看作产地又同时看作销地,说明,总调运量为150+200（或140+90+120）350吨，所以上表中，中转站D1、D2的需求量和供应量均取350吨；A1、A2作为销地，其需求量为350吨，作为产地，其供应量应为原产量加上需求量为350+150500吨和350+200550吨；B1、B2、B3作为产地，其产量均取350吨，作为销地，其需求量应为原需求量加上350吨，分别为：350+140490吨、350+90440吨、350+120470吨。,用表上作业法解得最优解为,结论,从A1调运150吨水泥经中转站D2在分别送往B1 140吨和B3 10吨,从A2直接运往B3 110吨,90吨经中转站D1再送往B2；中转站实际运量应为350-Xii，Xii为一个地点自动运至自身的水泥量。此时，运费为11710元。,练习题,P.155 第6题,
