多项目多任务选择计划模型及其免疫遗传算法.doc

1、多项目多任务选择计划模型及其免疫遗传算法摘 要 针对多资源受限下项目群选择计划及项目流程调度问题,依据项目的权重和承继约束，将项目群按权值从大到小进行排序，各项目内部的任务分别采用网络计划图进行拓扑排序，并以资源约束与合同期等因素为项目的选择标准, 建立多项目多任务选择计划的资源配置数学模型。进而,在遗传算法中引入免疫系统的记忆性和多样性功能，设计免疫遗传算法求解所获模型的最佳决策方案。比较性的数值实验结果获模型的合理性和算法的有效性。 关键词 多项目多任务选择计划 资源均衡 承继约束 拓扑排序 免疫遗传算法 MULTI-PROJECT AND MULTI-TASK SELECTIVE PLA

2、NNING MODEL AND ITS IMMUNE GENETIC ALGORITHMAbstract This work, based on the constraints of project weights and inheritance between projects, investigates a multi-project multi-task resource-allocation programming model for the problem of project group selection planning and project flow-shop schedu

3、ling with many resource constraints. In designing such a model on the basic of the factors of resource-constraints, project contracts, and so on, projects are ranked relying upon their weights, for which all tasks of each project is ranked through the network plan topological sorting method. On the

4、other hand, an immune genetic algorithm solving one such model is designed to find the satisfactory decision scheme by introducing the metaphors of immune memory and diversity in the immune system into the genetic algorithm. Comparative experiments show the rationality of the model and the effective

5、ness of the proposed algorithm.Keywords Multi-project and multi-task selection planning resource allocation inheritance topological sorting immunity genetic algorithm.0 引言随着信息技术的发展及现代项目管理实践地位的不断提高，经典的单项目管理方法已经不能满足社会的需要和发展，多项目计划管理自然受到企业与研究者的高度重视，并取得了一系列的成果。从模型设计的角度，研究的主要任务集中在对项目调度、资源限制下多项目资源均衡等方面进行了较

6、为深入的探讨 1-3，例如王为新等 3通过添加辅助任务，将多个项目合并为一个大的项目，使多项目资源均衡问题转化为单项目资源均衡问题，建立了多项目资源均衡模型。从算法设计的角度，已呈现了两类算法：启发式算法 1,4和智能优化算法2,3,5。例如， Antonio 等 4提出一种基于优先规则的启发式算法进行求解，但当项目数很大时，算法很难获较好解；邓林义等针对项目的网络结构的特点和项目的可使用资源的情况提出了拓扑优化方法，设计的算法能有效地缩短项目的总工期，但是存在多个项目须同时开始，并且每个任务需要的是单个资源及资源不可剥夺的缺陷 5。这些研究任务将所有项目合并成一个大项目和所有承接的项目均要求

7、执行前提下，以项目规划的总工期最短或资源分配均衡为目标，探讨多项目的调度或资源均衡问题，所获得的研究成果为后续深入研究项目计划管理奠定了较好基础和提供了新的启迪。近来，随着市场竞争的加剧，企业承接的项目数量过度增长，但由于人力、物力、财力等因素，不能按时完成承接的所有项目的风险随之日益提高。如何最大限度地选择承接的部分项目并合理调度，以便企业资源充分利用、耗时少和利润最大，以及未被选中执行的项目合理地实行外包，这已成为现代企业项目管理的核心科技难题。针对于此，笔者们 6-7将多项目群中各项目视为整体，在资源受限、含承继关系、带有优先权约束下探讨了多项目资源配置问题，获得其优化模型及求解的智能优

8、化算法。这些研究为本文将各项目的任务流程规划问题和项目层资源配置问题统筹考虑奠定了很好的基础。为此，本文探讨资源限制下含承继约束的多项目多任务选择计划问题的数学模型，并在遗传算法中引入免疫系统的记忆性和多样性功能，设计求解此模型的多项目多任务选择计划免疫遗传算法(MPTSIGA: Multi-project and Multi-task Selection Planning Immune Genetic Algorithm） 。数值实验显示所获模型是合理的及算法是有效的。1 问题描述及模型设计设某企业从现在开始的未来时间段天内有 个待选项目，项目集为TN， 中部分项目之间存,2|icCC在承继

9、关系即紧前关系（注：如果项目是项目 的紧前项目，那么项目 只ij cj能在项目 完工之后才能开始） ；每个项i目均有 个任务，在同一项目内，任务M与任务之间满足时序约束； 表示第 个iSi项目 的所有紧前项目构成的集合。ic表示项目 的第 个任务， 表示项isisikP目 的第 个任务的所有紧前任务构成的k集合（注：在项目 内，如果 是ciiscik的紧前任务，那么 完工之后)(s才能开始） 。对于项目 ，利用0、1字cik i符变量 代表其是否被选中执行，若被选ib中执行，则 ，否则, 。用 表ibji示项目 在第 天是否被选中执行，若ij被选中执行，则 ，否则， 。1i 0ji用 表示项目

10、 的第 个任务在第 天ajiscs是否执行，若执行，则 ，否则，1ajis。 表示项目 的开始时间，0ajisic和 分别表示项目 的第 个任务的tdi开始时间和执行时间。为确保项目 在项ic目合同截止日期内完成，则应满足，其中， 为 的合同截止日Tesiiiei期， 为 的持续时间；若 未被选中执c行，则 取值为0。假定企业有 种资源i R可供使用，第k种资源在第 天的总限量j为 ，第k种资源在未来时间段 天内jRT总限量为 ，此资源的权重为 ，k。项目 的10k.,21Ric第 个任务在单位时间(天)内使用第k种资s源量为 ，则需制订的多项目多任务执ri行方案应满足第k种资源在第 天的资源

11、j约束 RrabjkisMsjNij1（1）以及在未来时间段 天内，对第 种资源T的总资源约束为RrdbkijMjNi 1（2）于是，若制订的执行方案满足资源约束、合同约束及项目承继约束，则此方案对第种资源的资源利用方差为k（30112)(Tj iskMsjNijjkrabR）进而，含约束限制的多项目多任务选择计划数学模型（P）如下： ,),(min1211 121RkkNMNMttt tsbf 011211,1,1,0 )(,minax.,Tj iskMsjNijjkk kijjijkisMsjNij ijjjiiikssik jMjiijji iNiNrabRRdrabScePcdttTs

12、Tsts 注：建立模型（P）的目的是选择更多的项目使资源尽可能利用均衡；由于对项目层和各项目的任务流程进行统筹考虑，所以模型（P）中不仅要考虑项目与项目之间的紧前关系（ ）和合同ScTsijjji ,约束（ ） ，也要考虑各项目内部ei各流程之间的时序约束（ dtisiik） 。另外，由于该模型在理kciis,论上是一种多约束的高维混合变量 NP 难问题，其同时涉及到项目的选择与项目流程调度两方面，彼此之间具有一定的相关性，又相互制约，基于此，此模型的可行决策方案由两部分构成，即：第一部分：对所有项目按权值从大到小进行排序且保证满足时序和承继约束，注：若项目 是项目 的紧前项目，则 的权cij

13、 ci值不小于 的权值。对已排好的项目根据j总资源限制确定其是否被选中，即从头开始依次进行检验，并确保选中执行的项目满足合同期限制。第二部分：对满足总资源约束的项目的任务分别在各项目内进行拓扑排序，然后按项目的顺序将项目内部已排好的任务序列进行安排，且保证满足每天的资源限制量。由于不仅项目群之间有多种排序，以及各项目内部也有多种拓扑排序，从而有多种决策方案，因此，本文设计免疫遗传算法寻找其最优决策方案。2 算法描述及算子设计众所周知，克隆选择原理较为合理地解释了免疫系统中抗体应答抗原的主要机理和运行机制，其由克隆选择、细胞繁殖、亲和突变、记忆细胞获取等机理组成 8。结合抗体的学习、记忆、多样性

14、等生物特性，可设计免疫遗传算法求解模型（P） 。在此算法中，抗原表示为模型（P）本身，抗体表示为该模型的可行解，非可行解称为非法个体；记忆细胞表示算法执行中产生的较好抗体。结合模型（P）和克隆选择原理的免疫机理和应答机制，可获免疫遗传算法（MPTSIGA） ，其运行机制如图 1所示；在此图中，初始群体的抗体及募集新成员模块中随机生成的抗体均由抗体生成规则产生，基因重组依赖于记忆群体中的记忆细胞和当前群体中的最好抗体，并按照一定的方式改变各克隆的基因，基因漂移是按照一定的方式改变抗体中的部分基因，变异是保证群体多样性的重要模块。2.1 算法描述（1）抗体编码抗体由项目层编码和项目的任务层编码两部

15、分组成，记为 ，在),(21Ab此，N图 1 MPTSIGA 流程图结果Y初始抗体群体评价群体克隆繁殖基因重组基因漂移克隆选择条件判断募集新成员变异 记忆更新),;();( 2121211 NNbscBSCAb， 2 EJEJ ejj iMiiiMii ,其中，基因块 表示项目编号N21序列； 表示项目序列中各项sS目的对应开始时间； 表示项bB目序列中各项目是否被选中的二进制串。表示各项目的任务序列的排NJ21序，如 是项目 的任务序列排序；ici是各项目的任务序列的对应E开始时间，如 是项目 的任务序列 的iiJi开始时间。 表示项目jjJM21的任务调度序列； 表ci eiii21示项目

16、 中任务调度序列的对应任务的开i始时间，如 是项目 中任务 的开始1ieciij时间。（2）抗体亲和力对于抗体群 中的抗体 ，其在群XAb体中的重要程度用亲和力度量。亲和力函数设计为（4)(max)(fAbafX）其中， 表示抗体 在模型（P）中对)(xf应的决策方案获得的目标函数值。于是，基于抗体亲和力及图 1，MPTSIGA 描述如下：Step 1 置 ，依据抗体生成规则，产n生规模为 的初始抗体群 及规模为NAn的初始记忆池 ；mMeStep 2 计算每个抗体对应的目标函数值，根据亲和力函数计算抗体的亲和力；Step 3 对当前群体 中各抗体繁殖 2 个n克隆，获等规模的克隆群 和 ；B

17、CnStep 4 对 和 分别实施基因重组和基n因漂移操作，获群体 和 ；然后对群n体 执行变异操作获群体 ，计算群体Cn “、 中每个抗体对应的目标函数值和B“亲和力；Step 5 将群体 、 、 进行组合，AnB“Cn获组合群体 ，选择 个亲和力较高的DN抗体进入群体 ；1Step 6 取 中亲和力较高的 个抗体nm插入记忆池 中，保留 中亲和力较高Mee的 个记忆细胞；mStep 7 依据抗体生成规则产生 个新抗体d代替 中亲和力较低的 个抗体，获下1An一代群体 ；Step 8 若满足终止条件，则输出结果，并结束；否则，置 ，返回 Step 2。1n注：以上算法描述与文献9中部分相同，

18、主要区别在于本文对基因重组、基因漂移和变异三大模块的设计不同。2.2 免疫算子设计（1）抗体生成规则 依次对各项目按权值从大到小排序且保证满足时序约束，设所获序列为，按该顺序，从前往后对每NcC21个项目进行安排。具体步骤如下：Step 1 检验项目 是否满足总资源约束，i如果满足，则进行下一步；否则，检验下一个项目 。icStep 2 项目 内的各任务进行拓扑排序，生成满足时序约束的任务序列 。iMijj21对任务 从第一天开始进行安排，如果项1ij目 的紧前项目和任务 的紧前任务在第ici一天已完成，且任务 从此天开始，在1j不间断执行时间内都满足每天的资源限1ij制量，则项目 的任务 开

19、始时间 为ii1ie第一天，如果不同时满足以上的所有条件，则开始检验第二天，按照以上方式依次进行检验，直到确定项目 的任务 开始时ic1ij间 为止。1ieStep 3 按照与步 2 同样的方法确定的开始时间 ，由iMij2 iMie的开始时间 及持续1 i1时间确定项目 的开始时间 及完成时间，ics如果满足合同约束，则选择此项目，即=1；否则不选此项目，即 =0，且此项bi bi目的开始时间 和结束时间及项目各任务is的开始时间 都规定为 0。注：iMe21按以上方式生成的决策方案是满足模型中所有约束，因此其对应一个抗体。（2）基因重组给定抗体群 X 中抗体 ，此群体中Ab最好的抗体设为

20、，另外，从记忆池F中随机选择一个抗体设为 ，用 ，Me MC和 分别表示 ， 和 中FC的项目编号序列基因块，不妨设， ，Nc.21FNFcC21MM抗体 、 、 经由基因重组产生Ab的基因块 时， 的S SNS21SAb任务序列块 的基因继承抗体 中的任J务序列块 中与 中项目对cC应的任务序列基因。 的产生方式如下： SStep 1 对 、 、 ，随机产生两个整FM数 和 作为重组点；)(NStep 2 基因块 的前 个基因继承 的SAb基因块 的前 个基因；CStep 3 从 的基因块 中去掉出现在FAbF中的第 到第 位置上的基因，然后在S1中依次选取没被删除的 个基因依F次放入 中的

21、第 至第 位置上； Step 4 同上，从 的基因块 中去掉MbC出现在 中的第 到第 位置上的基因，CS1然后在 中依次选取没被删除的个基因依次放入 中的第 至NS1位置上。进而， 取代 。以一例说明以上规则：设有 10 个项目待选择，如下图。选择 作7,4为基因重组点，生成基因块 。SC重组点 C 0 1 2 3 5 4 7 6 9 8CF 0 3 4 1 2 6 8 5 7 9CM 0 2 3 1 4 6 5 8 9 7CS 0 1 2 3 4 6 8 5 9 7图 2 基因重组示意图注：以上三个抗体的基因重组是两个抗体的两点交叉的扩展，故所获基因块对应的项目序列仍然满足时序关系，因S此

22、可利用文献10 的单点交叉证明方法进行类似证明（限于篇幅，在此省略证明过程） 。（3）基因漂移对于抗体 的第一部分 中的项Ab1b目序列块 ，首先随机产生一个整数C作为漂移点，然后找出所有)1(Nr与漂移点处权值相等的项目，漂移点处的项目在此范围内进行随机漂移，如果满足项目的紧前约束则基因漂移结束，否则不进行随机漂移。特别，对于抗体 的第二Ab部分 中的基因块（即任务序列块）2b中 在此模块中不发生变化，即各项目Ji的任务序列 不进行随机漂移，只随项目i进行整体移动。（4）变异操作对于抗体 的第二部分 中的基Ab2b因块（即任务序列块） 中的J，首先随机产生一个)(21iMiiJ整数 作为变异

23、点，然后确定r第 个变异点基因的所有紧前任务在此基因块中的最后位置 及所有紧后任务在此1基因块中最前面的位置 ，进而在 和r2r1之间随机选择一个基因座 ，将变异点r2 基因插在 位置 11， 位置上原有基因及 位置后基因依次后移。显然，变异后的基因块 仍然满足时序)(21 iMiiJJ关系。特别，对于抗体 的第一部分Ab中的项目序列 在此模块中不发生变1AbC化。注：以上三个模块产生的个体的项目序列和任务序列均满足时序约束，然后按照初始抗体的生成规则重新计算项目序列的开始时间和完成时间及任务序列的开始时间，最后确定项目是否被选中。3 数值实验鉴于将项目的流程规划与项目群选择规划统筹考虑的研究

24、以及这类问题的智能优化算法很少报道，在此仅选取三种基于优先准则的启发式算法 12（LongT、MaxR、MaxTS）与 MPTSIGA 进行比较；三种启发式算法仅各自执行 1 次；另外，由于 MPTSIGA 是一种随机搜索算法，为减少随机性对算法性能的影响，将其对以下问题独立运行 30 次；该算法的参数设置为：最大进化代数 ，群20Max体规模 ，记忆细胞数 ，新成30N6m员个数 。4d问题 设某企业在未来时间段=120(天)中有 40 个项目待选择执行，每T个项目含 20 个任务（包括 1 个虚任务） ，且各项目分别消耗 4 种资源(限于篇幅，在此省略各项目及项目包含的任务的相关数据)，此

25、 4 种资源的权值分别为0.2，0.2，0.3, 0.3，其在单位时间内提供的资源量分别为 20、20、20、20，且在天内提供的总资源量分别为T2000、2000、1900、1900。现要求寻找一种多项目多任务选择计划最佳方案，使得各种资源在时间段 天内分配尽可能均衡T且得到最大利用。 MPTSIGA 与LongT、MaxR、MaxTS 所获统计结果如表 1所示（限于篇幅，在此省略决策方案中被选中项目的各任务的相关数据） ； MPTSIGA 的平均搜索曲线如图 3 所示。由表 1 可知，以上四种算法都获得了问题的可行决策方案。此四种算法各自获得的效果明显不同。在三种启发式算法中，MaxR算法

26、 目标函数值可行决策方案被选中的项目的计划开始时间及完工时间（编号，开始时间，完工时间）项目平均选中率资源平均利用率LongT 0.76355(0,1,20),(1,21,40),(2,21,66),(3,41,68),(4,1,20),(5,21,51),(6,52,102),(7,52,115),(8,1,19),(9,1,56),(10,57,94),(11,1,88),(19,1,45),(20,1,42),(21,46,78),(22,1,84),(23,85,110),(24,1,25),(25,1,29),(26,30,99),(28,1,54),(30,1,22),(31,1,

27、53),(32,1,60),(33,61,85),(34,86,102),(37,1,106),(38,1,58),(39,59,90)0.725 0.84482MaxR 0.725541(0,1,28),(1,29,44),(2,29,71),(3,45,68),(4,1,16),(5,17,41),(6,42,104),(7,42,113),(8,1,18),(9,1,44),(10,45,88),(11,1,67),(19,1,46),(20,1,38),(21,47,88),(22,1,78),(23,79,112),(24,1,23),(25,1,19),(26,24,97),(28

28、,1,66),(30,1,25),(31,1,54),(32,1,60),(33,61,90),(34,91,104),(35,91,111),(37,1,103),(38,1,57),(39,58,95)0.75 0.86793MaxTS 0.672659(0,1,20),(1,21,49),(2,21,71),(3,50,71),(4,1,18),(5,19,38),(6,39,97),(7,39,113),(8,1,18),(9,1,57),(10,58,85),(11,1,66),(19,1,46),(20,1,40),(21,47,84),(22,1,100),(24,1,36),(

29、25,1,21),(26,37,90),(28,1,59),(29,1,118),(30,1,20),(31,1,49),(32,1,53),(33,54,77),(34,78,95),(35,78,102),(36,103,119),(37,1,106),(38,1,55),(39,56,86)0.775 0.9022MSPIGA30 次运行最好值0.514699(0,1,16),(1,17,45),(2,17,65),(3,46,65),(4,1,15),(5,16,41),(6,42,101),(7,42,118),(8,1,18),(9,1,51),(10,52,82),(11,1,6

30、1),(15,1,101),(16,1,95),(17,102,115),(18,96,119),(19,1,43),(20,1,38),(21,44,76),(22,1,77),(23,78,97),(24,1,21),(25,1,29),(28,1,52),(30,1,25),(31,1,60),(32,1,57),(33,61,84),(34,85,98),(30.835 0.97037表 1 统计结果和 MaxTS 与 LongT 相比，前两种算法不仅在资源利用上好于 LongT 算法，而且选择的项目也多于 LongT 算法，其中 MaxTS 的效果最好，这说明不同优先规则的启发式算法

31、对同一问题的处理效果不同；MPTSIGA 在 30 次独立运行中最好目标值为 0.514699，项目平均选中率和资源平均利用率分别为 83.5、97.037，说明该算法获得的可行决策方案比以上三种启发式算法获得的方案更能充分利用资源且选中的项目更多,其根本原因在于以上三种启发式算法是确定性算法，它们仅能获得可行解,而 MPTSIGA 是随机搜索算法，其基因重组模块和基因漂移模块加快了算法寻找最优解的速度，而变异模块增大了算法的搜索范围，这几个模块有机结合可使算法较快找出满意的解。图 3 是 MPTSIGA 在30 次独立运行过程中获得问题的目标函数值的平均搜索曲线。此图0 2040608010

32、120140160180200.530.540.50.560.570.580.590.6X/进 化 代 数Y/目标函数平均值图 3 MPTSIGA 的平均搜索曲线表明，该算法的多样性好、收敛速度快，没有陷入局部搜索，并且随着进化代数的增加还能得到更好的决策方案。4 结论针对企业中多资源受限下含承继约束的多项目多任务选择计划问题，在已有文献基础上,进一步考虑项目内部各任务的规划问题,并建立相应的规划模型，进而,借助遗传算法及免疫学的相关机理设计免疫遗传算法对其求解。数值实验结果说明本文建立的模型是合理的以及设计的算法是有效的和可行的。由于多项目多任务选择计划问题较为复杂，不管是模型的建立还是算法

33、的探讨，均需做进一步深入探讨。参 考 文 献1 廖仁, 陈庆新, 毛宁. 资源约束下多项目调度的启发式算法. 管理工程学报, 2002, 16B(10) : 100103. 2 郭研 , 宁宣熙. 利用遗传算法求解多项目资源平衡问题. 系统工程理论与实践, 2005(10): 78-82.3 王为新 , 李园. 多项目资源均衡问题及其遗传算法. 计算机应用研究, 2006：46-47.4 A. Lova, P. Tormos. Analysis of Scheduling 5,85,107),(36,108,119),(37,1,110),(38,1,54),(39,55,83)Schemes

34、 and Heuristic Rules Performance in Resource-Constrained Multi-project Scheduling. Annals of Operations Research (2001)102:263286.5 邓林义, 林焰, 金朝光等. 资源约束下多项目调度的拓扑优化方法. 系统仿真学报, 2007, 8(16): 3846-3849.6 张著洪 , 曾茜. 多资源受限多项目选择计划模型及其智能决策方案. 数学的实践与认识, 2009，39(19): 9-19.7 雷宏 , 张著洪.多项目选择计划及其两层决策免疫遗传算法.计算机工程与设计

35、, 2010,31(9): 1900-1994. 8 黄席樾, 张著洪等. 现代智能算法理论及应用. 科学出版社, 2005.9 夏林丽 , 张著洪. 多模式项目资源配置及其免疫优化决策. 贵州大学学报,已录用.10 Hartmann S. A competitive genetic algorithm for resource-constrained project scheduling, Naval Research Logistics, 1998, 45: 733 750.11 Boctor F F. Resource-constrained project scheduling by

36、simulated annealing. International Journal of Production Research, 1996, 34: 23352351.12 白思俊 . 资源有限的网络计划与启发式优化方法及其评价与选择: 启发式优化方法综述, 中国管理科学, 1993(2): 30-38关于多项目多任务选择计划模型及其免疫遗传算法的修改说明第一：已将文中出现的“工作”全部换成“任务” ；第二：在第 2 页的问题描述及模型设计这部分对紧前项目和紧前任务进行了解释；如：“ 中部分项目之间存在承继关系“改为“ 中部分项目之间存在承继关系即CC紧前关系（注：如果项目 是项目 的紧前项目，那么项目 只能在项目 完cij cj ci工之后才能开始） ；” “ 表示项目 的第 个工作的所有紧前工作构成的集合”ikPik改为“ 表示项目 的第 个任务的所有紧前任务构成的集合（注：在项目ikPic内，如果 是 的紧前任务，那么 完工之后 才能开始） 。 ”ciisik)(ciscik第三：算式中使用的是 “”，因为您用的 word 版本较高，所以显示成“ ”。