1、习题解答:4-1负反馈系统的开环传递函数G sF s =Kgs s 1 s 2试绘制闭环系统的根轨迹。解：根轨迹有3个分支，分别起始于0, -1, -2,终止于无穷远。仃a =-1,售=180：60葭实轴上的根轨迹是(-8, -2及-1,0。d(s33s22s).二0ds可得，s =0.422, s2 =1.578; s1 =-0.422 是分离点。根轨迹见图4-28。4-2系统的开环传递函数为迹上，并求出相应的根轨迹增益Kg和开环增益K o解：若点Si在根轨迹上，则点 Si应满足相角条件 /G(s)H (s)=(2k + 1)n ,如图4-29所对于& = _1 + j J3,由相角条件.G
2、(s)H(S1) -0 - . (-1j ,3 1)(-1 j ,3 2)(-1 j . 3 4)ji ji ji=-JT3 6满足相角条件，因此S1 = -1 + j J3在根轨迹上。将S1代入幅值条件:4-3G(si)H(si)=所以，Kg =12已知开环零点极点Kg-1 + j V3 + 2， 1 + j 73 + 4二1Kg3V - 2p，试概略画出相应的闭环根轨迹图。(1)=0, 3;(2)-2,Z1,2 - -4- j45432=1莓;= 2j1；Pi - -1(3)6;p =0(4)解:实轴实釉实轴0.40.20 .0.2-0.4 -0.6-0.8 -1.0-25, z = 4，
3、p2,3图 4-30 (3)图 4-30 (4)图 4-30 ( 1)实轴图 4-30 (2)4-4设单位反馈控制系统开环传递函数为Kgs s 1 s 3.5 s 3 2j s 3-j2试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）解：系统有五个开环极点:pl - 0, p2 - - 1, p3 = -3.5, p4 - -3j 2, p5 - -3 - j 21.实轴上的根轨迹：I- :,-3.5|1-1,0 12.渐近线:-1 - 3. 5 -( 3j 2卜 j35(2k1) 二73二-,一，二5552)=-2： 13.分离点:1二0d 3.5 d 3- j2 d
4、 3 j2d1=-0.45 , d2 -2.4 (舍去), d型 =3.25 j1.904.与虚轴交点：闭环特征方程为D(s) =s(s 1)(s 3.5)(s 3 j2)(s 3- j2) K =0把$ =上与代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：r_# , _4_2_Re(jo)=K +10.5& 79.5 切 =0=Jm(j6)=切5 43.5 3 +45.56 =0可得，他=0各=1.023=6.52，(舍去;K* =0 K* = 71.90 K115546.3 、 _5.根轨迹的起始角为：%=180 ,-75.96 :-901135 ,-1463 79274由对称性得，另一起始角为9
5、2.74 1根轨迹如图习题 4-31所示。4-5图 4-31已知单位负反馈控制系统的开环传递函数4-7系统的框图如图 4-26所示，试绘制以为7变量的根轨迹图。Gs=3试作出以b为参量的根轨迹图。解:作等效开环传递函数G (s)=30 bs(s 40)1.实轴上的根轨迹:1-40,-011=0d 4012.分离点：一，d解得：d=-20根轨迹如图4-32所示。10SO -io0 CT-1O图 4-324-6单位反馈系统的开环传递函数为2_Kg(s -2s 5)G(s):(s 2)(s -0.5)试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的KG值范围。解：根轨迹绘制如下：图 4-331 .实轴上的根轨迹：
6、1-2,0.5 12 .分离点：1111+ = +d -0.5 d 2 d -1 j2 d -1 - j2可得：d1 = -0.413 .与虚轴交点：D(s) =(s 2)(s -0.5) KG(s2 2s 5) =0把s=j代入上方程，令he(D(j6) =-(1 +KG)切2 +5Kg-1 = 0=Jm( D( jo) =(1.5 2Kg)0 =0解得:0 0 0Kg =0.2&=1.25、Kg =0.75根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的KG值范围为0.2Kg 0.75;又 K=5Kg,所以系统稳定的 K值范围为1 K 0时，需绘制常规根轨迹。1.实轴上的根轨迹:1 - 3,-2
7、1,1-1,0 12 .渐近线:3 .分离点:解得根据以上计算,-2-3 13-1(2k 1)二3 -1d =-2.47-2可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。当a 0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：(丈,3】，2, 1 10产)。由图4-35(2)可以看出，当a0时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为0 Wa W0.4147或a 0。因此所求参数 a 0的范围为0 W a W 0.41474-9已知负反馈系统的闭环特征方程图 4-36(2)K1 (s 14)(s22s 2) = 01.绘制系统根轨迹图(0K8)；2.确定使复数闭环主导极点的阻尼系数0 =0.5 的 K
8、i值。G(s)=2(s 14)(s2 2s 2)(1)根轨迹的起点为：5,2 = 一1 j , P3=-14 ,终点在无穷远处(无有限零点)解：1.系统的开环传递函数K1(2)分支数n =3。(3)实轴上根轨迹为(-8, -14区段。(4)渐近线为n - m =3条。 Pj -、Zi j a i mn 一 m16二一 一 -5.33 3a_ (2k 1)二 _ (2k 1)180 _60 (k = 0)180 口(k =1)300 (k = 2)(5)根轨迹离开复极点的出射角m由公式 k =180;：i i 1j 1i -kk1 -1800 -(904 )=86：k2 = -86根轨迹如图4-
9、37所示图 4-37为所求之闭环极点2. P=arccos：匕.5 =60,按此角过（0,0）点作直线与根轨迹交点与，用幅值条件可得（s, ： -1jl.6）：Ki1G(Si)H(Si)=si - Pi si - P2Gp3 =0.63.213.1:25.12_4-10系统的特征方程为 s (s+a) + k(s+1) =01 .画出 a = 2，a=i，a = 6，a=9，a=i0时的根轨迹。2 .求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时a值的范围。解：i） a=i时，特征方程为（s+1）（s2+k） = 0根轨迹是-1及整个虚轴，见图 4-38（a）。 a - i ,特征方程可写为k(s 1
10、)s2 (s a)开环传递函数G(s)=k(s 1)s2(s a)士-2，交点为3支根轨迹，起于 0, 0, a ,止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是_ _ _a 1a0; a1, Ga 0在实轴上的分离会合点按下述方法计算。d(s 1)ds32(s as ) - (s 1)d(s3 as2)= 0ds2=s(2s (a 3)s 2a) = 0解得S1 =0S2,3-(a 3) 、(a - a)(a - 9)a = -2时，实轴上根轨迹是-1,22 1=1.52S2,3一(一2 3) 一 .(13)(二 11)电=1.186, S3 =1.686(不在根轨迹上，舍去)分离点是1.186,对应
11、的k =0.524根轨迹见图4-38(b)a =6,实轴上根轨迹是-6,-1s2,3-(6 3)- (5)(-3)s2 ，S3是复数，不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c)a =9,实轴上根轨迹是-9,-1s2,3对应的k =27。根轨迹见图4-38(d) a=10,实轴上根轨迹是-10,-1-10 1二-4.5s2,3-(10 3) -(9),s2 = -2.5 ,电二一4对应的卜2 =31.25, k3 = 32。根轨迹见图4-38(e)2）当分离会合点S2,3不是实数时，系统没有非零分离会合点(a -1)(a -9) ： 0=1 ： a : 9图 3-38(e)4-11已知某单
12、位反馈系统的开环传递函数为G(s)=Ks2 (s1)试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点a(0 a 1),对系统的稳定性有何影响，试仍以根轨迹图来说明。解：、 KG(s) = -21. s (s+1)时,(1)根轨迹起始于-1, 0, 0,终止于三个零点(为无限零点);(2)根轨迹分支数n=3；(3)实轴上的根轨迹位于(-8, -1区段；(4)渐近线n - m = 3条。二pj- %乙Aj 4i=41=n- m3a(2k 1)二n - m(2k +1)180 0,180,300sk =0,1,2由图4-39 (1)可见，三条根轨迹分支，有两条位于环极点中有两个位于 s
13、右半平面，所以系统不稳定。s右半平面。当 K从08时，三个闭2.增加负实零点(0 a 1) oK(s a)G(s)二仔(-a)时，s (s+1)由图4-39 (2)可见，根轨迹渐近线a.J2k 1)二=.9。由三条变为二条。根轨迹向左半s平面变化，闭环极点全部处于左半s平面，K从08时，控制系统是稳定的。4-12设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s 1)s(s 2)(s 3)1 .绘制系统的根轨迹图(不要求求出分离点)；2 .已知系统的一个闭环极点为 -0.9,试求出其余的闭环极点；3 .该系统是否可以用低阶系统来近似？若能，则求出它的闭环传递函数；若否，则给出理 由。解：1.绘制
14、系统的根轨迹(Kr =0T 8),步骤如下：(1)根轨迹起始于开环极点 0, -2, -3;终止于开环零点-1和两个无限零点8。(2)根轨迹的分支数n = 3条。(3)实轴上的根轨迹区间为 -3,-2 , -1,0。(4)根轨迹的渐近线，有 n-m = 2条，与实轴的交点 ba、交角8a为：nm-2-3 1 八二-2二 pj - % zi_ j工i 1n - m2a(2k 1)二n - m(2k 1)180 二(5)根轨迹的分离点位于4-40所示。卜3,-2区段内。绘制出系统根轨迹如图图 4-404 .已知 P1 =0 , p2 = -2,p3=-3, z = T ； 5 =-0.9 ,设其余
15、二个闭环极点为s2,s3。用幅值条件可以求得Kr =S1 一 dlds - p211s - p30.9 1.1 2.10.1=20.79将其代入系统特征方程 1+G(s)=0,即s(s 2)(s 3) 20.79(s 1)-0(s 0.9)(s2 4.1s 23.1) =0解得s2,3 = 2.05 j 4.355 .由Si = -0.9和z = -1构成一对闭环偶极子，故系统可以降阶为二阶系统，其闭环传递函数为y(s)20.79(s 1)23.1=总 2u(s) (s O9)(s 2.05 j4.35)(s 2.05-j 4.35) s 4.1s 23.14-13单位负反馈系统白根轨迹如图4-27所示。1 .求系统的闭环传递函数；2 .设计补偿器，使系统在任意k值时都稳定。CT图 4-27解：1）由根轨迹图知系统有 3个开环极点：0, 0,-8,没有开环零点，因此开环传递函数 为G(s)=ks2 (s 8)单位负反馈系统的闭环传递函数为(s)=G(s)1 G(s)ks3 8 s2 k2）采用比例微分控制 s+a,增加一个开环负实数零点，开环传递函数G(s)=k(s a)-2s (s 8)这时渐近线与实轴正方向夹角为 90%只要渐近线和实轴交点是负数，系统的根轨迹就在 左半s平面。由0, - a 0
