1、绝密 启用前 (十二月号)03-04 年高三数学(理)全国统一标准测试(三)命题范围：第七章 直线与圆的方程；第八章 圆锥曲线本试卷分第卷(选择题)和第卷两部分.共 150 分，考试时间 120 分钟.参考公式：sincos= sin( +)+sin( )21cossin= sin( +)sin()coscos= cos(+ )+cos()21sinsin= cos( +)cos( )sin+sin=2sin cos2sinsin=2cos sincos+cos=2cos cos2coscos =2sin sin第卷(选择题 共 60 分)注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
2、、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.不能答在试题卷上.一、选择题（本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线 l1 的方程为 y=x，直线 l2 的方程为 y=ax+b(a,b 为实数)，当直线 l1 与 l2 夹角的范围为0， 时，a 的取值范围是2)A.( ,1)(1, ) B.(0，1)3C.( , ) D.(1, )32.若圆(xa) 2+(yb) 2=6 始终平分圆 x2+y2+2x+2y3=0 的周长，则动点
3、M(a,b)的轨迹方程是A.a2+b22a 2b+1=0 B.a2+b2+2a+2b+1=0C.a2+b22a+2b+1=0 D.a2+b2+2a2b+1=03.若点 P 为抛物线(y+2) 2=4(x1)上任意一点，以 P 为圆心且与 y 轴相切的圆必过定点M，则点 M 的坐标是 A. (4,2) B. (2,2)C. (1,2) D. (2,2)4.双曲线 =1 的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦2byax点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是A.3 B.2C. D. 325.已知曲线 C1:y=mx1,C 2:y=1 |x|1,要使 C1 与 C2 总有交点，则
4、 m 的取值范围是A.1，1 B.（，1）C.1，+ D.（，2 2，+)6.已知椭圆 E 的离心率为 e，两焦点为 F1,F2，抛物线 C 以 F1 为顶点，F 2 为焦点.P 为两曲线的一个交点，若 ePF 2=PF 1，则 e 的值为A. B.2C. D.不能确定37.与 y 轴相切，且和曲线 x2+y2=4(0x2)相内切的动圆圆心的轨迹方程是A.y2=2(x+1)(0x 1 B.y2=4(x1)(0x1) )C.y2=4(x1)(0x 1 D.y2=2(x1)(0x1)8.若 为三角形中最大内角，则直线 l：xtan +y+m=0 的倾斜角的范围是 A.(0, )( , ) B.(
5、, )( , )2332C.(0, )( ,) D.(0, )( ,)9.过抛物线 y2=4ax（a0）的焦点 F，作互相垂直的两条焦点弦 AB 和 CD，则AB+CD的最小值为A.19a B.8 a5C.17a D.16a10.过双曲线 =1(a0,b0)的右焦点 F，作渐近线 y= x 的垂线与双曲线左右2yxb两支都相交，则双曲线离心率 e 的取值范围为A.1e2 B.1e 2C.e D.e211.若抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1)、B(x 2,y2)关于直线 y=x+m 对称，且 x1x2= ,则实数m 的值为A. B.213C. D.2512.1998 年 12 月 12
6、 日，太原卫星发射中心为美国摩托罗拉公司发射了两颗“铱星”系统通信卫星，卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆.设其近地点距地面 m 千米，远地点距地面 n 千米，地球半径为 R 千米，则通信卫星运行轨道的短轴长为A.mn 千米B.2mn 千米C. 千米)(RmD. 2 千米n第卷 (非选择题 共 90 分 )二、填空题（本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）13.抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 P( ,1)的直线 l 交抛物线于 A、 B 点，且 P 恰为 AB25中点，则AF + BF=_.14.已知 A=（x,y ） ax+y=1，B=（x
7、,y） x+ay=1，C=（x,y） x2+y2=1，若（AB）C 中元素只有两个，则实数 a 的值为_.15.过椭圆 + =1 的下焦点，且与圆 x2+y23x+y+ =0 相切的直线的斜率是_.2316.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是 x2=2y(0y20).在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球半径的取值范围为_. 三、解答题(本大题共 6 小题；共 74 分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 12 分） 如图所示，某化工厂反应塔 MQ 上有温度计 AB.已知AM= a,BM = b.在矩形QMNP 的边 MN 上建观察点 C 较安
8、全，观察温度计 AB 时视角越大越清晰.问 C 在线段 MN上何处时，对温度计 AB 观察得最清晰？18.（本小题满分 12 分）设点 P 是双曲线 =1 上一点，过 P 的直线与两渐近线交于 P1、P 2，且1692yx=3，设 O 为坐标原点，求 OP1P2 的面积.2119.（本小题满分 12 分）已知曲线 C 满足：曲线 C 任意一点到定点 A（1，0）与定直线 x=4 的距离和等于 5.(1)求曲线 C 的方程；(2)试判断曲线 C 上有几对不同的点关于定点 P（3，0）对称，并求出这几对点的坐标.20.（本小题满分 12 分）有三块合金，第一块含 60%的铝和 40%的铬，第二块含
9、 10%的铬和 90%的钛，第三块含 20%的铝、50%的铬和 30%的钛，现需要由它们组合成含钛 45%的新合金，试求在新的合金中，含铬的百分比范围.21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F 2 在 x 轴上.直线 l 过焦点且与长轴的夹角为 ，3l 与 C 交于 A、 B 两点，且|AB |=8 .点 P 是椭圆上的动点， =F1PF2 最大值为 90，求椭圆 C 的方程.22.（本小题满分 14 分）在ABC 中，A 点的坐标为（0，3） ，BC 边的长为 2，且 BC 在 x 轴上的区间3，3上滑动.(1)求ABC 的外心 P 的轨迹方程；(2)设一直
10、线 l：y = x+b 与 P 的轨迹交于 E、F 点，原点 O 到直线 l 的距离为 d，求31的最大值，并求此时 b 的值.dEF|03-04 年高三数学(理) 全国统一标准测试( 三)答案一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A 9.D 10.C 11.B 12.D二、13.7 14.0 或 1 15. 16.(0,15623三、17.解：要使体温计 AB 观察的最清晰，只要视角ACB 最大即可，以 NN，NQ 所在直线为 x 轴， y 轴，以 N 为坐标原点建立直角坐标系.设 C(x,0),ACB= , 3 分则 tan = 6 分xabxabxkBCA 22
11、)(1)1ab,tan 8 分ab2等号当且仅当 x= ，即 x= 时成立.又 (0, ),所以当 x= 时， 取最大值 arctan .2abab2故 C 点应在 NN 上距 N 为 处. 12 分18.解：双曲线渐近线方程为 y= x 2 分34设 P1(x1, x1),P2(x2, x2),P(x0,y0)34由 = =3，得 P（ ） 4 分2 3,4211代入双曲线方程化简得 x1x2=12 6 分又据夹角公式得 tanP1OP2= ,74sinP 1OP2= 10 分54由三角形面积公式得S= OP 1OP 2sinP 1OP2= x 1x2sin P1OP2=16 12 分2 9
12、519.解：（1）设 C 上任一点 P(x,y).当 x4 时，(x4)+ =5,2)整理得 y2=16(x5)(4 x5). 3 分当 x4 时，(4x)+ =5,2)1(y整理得 y2=4x.(0x4),所以，y 2= 6 分)54(),60,x（2）因曲线 C 关于 x 轴对称，所以直线 x=3 与 C 的两个交点 A1、A 2 关于 P（3,0）对称.由 知 A1(3,2 ),A2(3,2 ). 8 分yx4323又设 B1(x1,y1),B2(x2,y2)关于 P 点对称，且分别在左右支上，则由 10 分)5(1640221xy得 B1( , )、B 2( , )、D 1( , )、
13、D 2( , ).343434314共三对. 12 分20.解：设在一个单位重量的新合金中，含第一、第二、第三块合金重量分别为 x、y、z,则含铬百分比为 W=0.4x+0.1y+0.5z. 2 分其中 消去 z 得045.39.1zyxz035.1.2yx即 6 分5.0.2yx（x,y）对应的点集为线段 AB（包括端点）由于 W=0.4x 1.4y+0.75,即 y= x+ W 72815表示的直线与线段 AB 有公共点， 10 分由此得直线截距的取值范围为 W ,得 0.25W0.4,424即含铬的百分比范围是0.25,0.4 12 分21.解：设椭圆 C 的方程为 =1,(ab0),F
14、 1(c,0),F 1PF2= ,cos 0.2yx又根据余弦定理： 2 分4c2=PF 1 2+PF 2 22PF 1PF 2cos =(PF1+PF2)22PF 1PF 2(1+cos )4a 22( )2(1+cos )|PF=4a22a 2(1+cos )cos 4 分2b当且仅当PF 1=PF 2时取等号，2b 2a 2=0,即 a2=2b2.代入 C 的方程，得 x2+2y2=2c2 6 分由对称性，设 l:y= (x+c)代入 ，整理得37x2+12cx+4c2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= .7c4AB=x 1x 2 2)3(= 2
15、4)(=2 10 分)7()12(2c= 78又AB=8 ,c =7.2b 2=49,a2=98,故 C 的方程为 + =1 12 分982x4y22.解：（1）设 B，C 的坐标分别为 B(t,0),C(t2,0)(1 t3),则线段 BC 的中垂线方程为 x=t1, 1 分AB 中点（ , ）,AB 斜率为 (t0),2t33所以线段 AB 的中垂线方程为 y = (x ) 3 分2t由得：x 2=6y8(2x2 且 x1) 5 分当 x=1 时，t=0 时，三角形外心 P 为(1, ),适合；3所以 P 点的轨迹为 x2=6y8(2x2) 6 分（2）由 得 x22x6b+8=0(2x2) 832yx1x2=86b,x 1+x2=2所以EF=)3(21214)xx= 8 分763102b又因为 d= ,所以10|EF10|3762|bd= b67920= 10 分9)31(2因方程有两个不相同的实数根，设 f(x)=x22x6b+8, b , . 13 分0)2(f6734b17当 = 时，( )max= .b143dEF|5所以 的最大值是 ,此时 b= . 14 分|34
