1、第三讲：公因数和公倍数目血阴 知识点拨一、公约数的概念与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0被排除在约数与倍数之外。例如：12的约数有：1,2,3,4,6,1218 的约数有：1,2,3,6,9,1812和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12, 18） =61 .求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231=3,父11, 252 =22 X32 X7,所以（231,252）=3M7=21;218 12短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如： 39 6 ,
2、所以（12,18）=2M3=6;3 2辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.（如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的）.例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515去600 = 2|315; 600。315 = 1|285 ; 315* 285 = 1川30 ;285 + 30
3、 =9用15; 30+15=2川0;所以1515和600的最大公约数是15.2.最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n.、公倍数的概念与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12,24,36,48,60,72,8418 的倍数有：18,36,54,72,9012和18的公倍数有：36,72，其中36是12和18的最小公倍数，记作12, 18=361 .求最小公倍数的
4、方法分解质因数的方法；例如：231=3父7M11, 252 =22 父32 M7 ,所以 1231,252 =22 M32 M7M11 =2772 ；短除法求最小公倍数;218 12例如： 39 6 ，所以18,12 = 2父3父3父2 =36 ;3 2a,b=(a,b)精品资料2 .最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 .两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。mab,如果m为A、B的最大公约数，且A=m
5、a, B=mb,那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：M | A Ba bA MB =ma Mmb =m xmab ,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是 A、B、A+B、A-B及最小公倍数的约数.2 .两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即（a,b） Ma,b=axb,此性质比较简单，学生比较容易掌握。3 .对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：5x6x7=210, 210就是567的最小公倍数b）偶奇偶，那么这三个数的乘积等
6、于这三个数最小公倍数的2倍例如：6x7x8 =336,而6,7,8的最小公倍数为 336+2=168性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。例题精讲【例1】两根电线分别长24m和16m ,现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余，剪成的小段最长可 以是多少米？【巩固】求12和18的最大公因数。例2 找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？4和206和36 7和8 6和19【巩固】说出下面各组数的最大公因数。4 和 1615 和 22【例3】用一个数去除30、60、75,都能整除，这个数最大是多少?【
7、巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少?【例4】有三根铁丝，长度分别是 120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根 都不能有剩余，每小段最长多少厘米？ 一共可以截成多少段？【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为240cm , 200cm , 480cm ,如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？【例5】一张长方形的纸，长7分米5
8、厘米、宽6分米。现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为 整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【巩固】把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁 几块？【例6】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这 些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法）【巩固】用辗转相除法判断1547和3135是否互质。【例7】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。【巩固】 求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少?例8求21672和11352的最小公倍数。【例9】已知两
9、个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数.【巩固】两个数的最大公约数是 15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?【巩固】已知两数的最大公约数是 21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少?【例10】两个自然数的积是 360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?【巩固】已知两数的最小公倍数是 210,它们的积是1260,它们的和是72,求这两个数的差?【例11】两个自然数的和是 125,它们的最大公约数是 25,试求这两个数.【例12】甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次,丙5天去一次，有一天，他们三人正好在图书馆相会。问至少
10、再过多少天他们三人又会在图书馆相会？【巩固】1路、2路和5路都从东立发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？【巩固】甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用 80秒，丙跑一圈用100秒，问：再过多长时间三人第二次从同时从起点出发?【例13】一所学校的同学排队做操，排成 14行、16行、18行都正好能成长方形。这所学校至少有多少人？【巩固】 有一批乒乓球，总数在 1000个以内，4个装一袋，5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都 剩下一
11、个。这批乒乓球到底有多少个？【例14】学校六年级有若干同学排队做操，如果 3人一彳T余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少有多少人？【巩固】一袋糖，平均分给15个小朋友或20各小朋友后，最后都余下 5块。这袋糖至少有多少块?【巩固】一个数能被3、5、7整除，但是被11除余1,这个数最少是多少?【例151一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150-200颗之间，问共有多少颗？【巩固】五一班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人，请你算一算，五一班有多少位同学？【巩固】 有一批水果，每箱放 30个则多20个，每箱
12、放35个则少10个。这批水果至少有多少个?【例16】从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距 50,米，现在要改成每两之间相距 60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？10等份、12等份和【巩固】 插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是 4米，现在改为5米。如果起点一面不移动，还 可以有几面不移动？【例17】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段?80厘米，儿子在后，每步 60厘米。在120米内一共留【巩固】父子二人在雪地散步，父亲在前，每步 下多少个脚印？Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！
