1、分数乘法一、分数乘法（一）、分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变 .（整数和分母约分）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母.3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算.注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算.（二）、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数.一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数.一个数（0除外）乘1,积等于这个数.（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同 .（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用.乘法交换律：a x
2、 b = b x a乘法结合律：（a x b ）Xc = a x （ b x c ）乘法分配律： （a + b ）xc = a c + b c a c + b c =（ a + b ）xc二、分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量（用乘法）,求单位“ 1”的几分之几是多少）1、找单位“1”： 在分率句中分率的前面；或 “占”、“是”、“比”的后面2、求一个数的几倍： 一个数x几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数x1.儿3、写数量关系式技巧：（1） “的”相当于 “X”“占”、“是、“比”相当于“=”（2）分率前是“的”：单位“1”的量x分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1
3、”的量x （ 1 分率）=分率对应量三、倒数1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为 倒数.强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在（要说清谁是谁的倒数）.2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置.（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是 1的 分数，再交换分子分母的位置.（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数 .（4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数.3、1的倒数是1; 0没有倒数. 因为1X1=1; 0乘任何数都得0,-（分母不能为0） 04、 对于任意数a（a #0）,它的倒数为1;非零整数a的倒数为；分数也的倒数是a ;
4、aa ab5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1.分数除法一、 分数除法1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算.2、分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数.3、规律（分数除法比较大小时）：（1）、当除数大于1,商小于被除数；（2）、当除数小于1 （不等于0）,商大于被除数；（3）、当除数等于1,商等于被除数.4、 “ 门”叫做中括号.一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的.二、分数除法解决问题（未知单位“1”的量（用除法）：已知单位“ 1”的
5、几分之几是多少，求单位“ 1”的量.）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“ 1”的量X分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量x （ 1 土分率）=分率对应量2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为 X,用方程解答.（2）算术（用除法）：分率对应量+对应分率=单位“1”的量3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数+另一个数4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 求多几分之几：大数+小数 -1 求少几分之几：1 - 小数+大数或求多几分之几（大数-小数）+小数求少几分之几：（大数-小数）+大数三、比和
6、比的应用（一）、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项.比的前项除 以后项所得的之叫做比值.例如15 : 10 = 15 +10=-（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）2前项比号后项 比值3、比可以表示两个相同量的关系.即倍数关系.也可以表示两个不同量的比,得到一个新量 例：路程+速度=时间.4、区分比和比值 比：表示两个数的关系、可以写成比的形式，也可以用分数表示I 比值：相当于商，是一个数、可以是整数，分数，也可以是小数5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式6、 比和除法、分数的联系
7、:比前项比号“：”后项比值除法被除数除号7除数商分数分子分数线分母分数值7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系.8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0.体育比赛中出现两队的分是2: 0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系（二）、比的基本性质1、根据比、除法、分数的关系：厂商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变.i分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变.I比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数 （0除外），比值不变.2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且
8、是互质数，这样的比就是最简整数比.4.化简比:依 据 比 的 基 本 性3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比 .用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数.(1)两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简.两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简.（2）用求比值的方法.注意：最后结果要写成比的形式.如： 15: 10 = 15 +10 = - = 3 ： 225.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配 .这种方法通常叫做按比例分配.如：已知两个量之比为a：b,则设这两个量分别为ax和bx.6、路程一定，速度比和时间比成反比.（如：路
9、程相同，速度比是4: 5,时间比则为5: 4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比.（如：工作总量相同，工作时间比是 3: 2,工作效率比则是2: 3）圆认识圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形 .2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心一般用字母。表示.它到圆上任意一点的距离都相等.3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径 .一般用字母r表示.把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径 .4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.一般用字母d表示.直径是一个圆内最长的线段.5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.6、在同圆或等圆内，
10、有无数条半径，有无数条直径.所有的半径都相等，所有的直径都相等7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的.2用字母表示为：d=2r或r = d28、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形 折痕所在的这条直线叫做对称轴.（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴 .这些图形都是轴对称图形.10、只有1 一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆.只有2条对称轴的图形是：长方形只有3条对称轴的图形是：等边三角形只有4条对称轴的图形是：正方形；有无数条对称轴的图形是：圆、
11、圆环.二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长 .用字母C表示.2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺 0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长 .发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（ 冗）.3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做 圆周率.用字母冗（pai）表示.(1)、一个圆的周长总是它直径的 3倍多一些，这个比值是一个固定的数圆周率冗是一个无限不循环小数.在计算时，一般取兀=3.14 .(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是 几倍，而不是3.14倍.(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖迎上_.4、
12、圆的周长公式：C= Ttd dC+兀或 C=2 兀 r r =C+ 2 兀5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽.6、区分周长的一半 和半圆的周长 :(1)周长的一半：等于圆的周长+ 2计算方法：2冗r + 2 即 兀r(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径.计算方法：兀+2r三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积 .用字母S表示.2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形.顶点在圆心的角叫做圆心角3、圆面积公式的推导:(1)、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未
13、知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体.(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方鬓.(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系.因为:所以:圆的面积公式:S 圆= 兀r2圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长长方形面积= 长 X 宽圆的面积=圆周长的一半 X圆的半径4、环形的面积:一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r. (R= r+环的宽度.)S环=兀R2兀r 2 或环形的面积公式:S 环=兀(R2 2 2).5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍， 直径和周长 也扩大或缩小 相同的倍数.而面积扩大或缩小的倍数是这 倍数的平方倍.例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，
14、那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍.6、两个圆： 半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方. 例如：两个圆的半径比是2 ： 3,那么这两个圆的直径比和周长比都是 2 : 3,而面积比是4 : 97、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即： 4：兀8、当长方形，正方形，圆的 周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小 反之,面积相同时，长方形的周长最长,正方形居中， 圆周长最短.9、确定起跑线：(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长 +两个直道的长度.(2)、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度.(因此起跑线不同)(3)、每相
15、邻两个跑道相隔的距离是： 2X兀X跑道的宽度(4)、当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2 冗a厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加冗a厘米.11、常用各冗值结果：冗：=3.145兀=15.72兀：=6.286兀=18.843兀：=9.427兀=21.984兀：=12.568兀=25.1212、常用平方数结果2211=12112 =:1442216=25617 二=2899 九=28.2610 兀=31.416 兀=50.2425 兀=78.5218=324192 = 36136 兀=113.0464 兀=200.9696 兀=301.44152 = 225132 = 169
16、142 = 196百分数一、百分数的意义和写法1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几 .百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比 .2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几 .3、百分数和分数的主要联系与区别：（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系.（2）区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数、又可以表示两个数的关系，表示具本数时 可以带单位.、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除 0以外的自然数.4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示 .二、百
17、分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号.2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号 .（二）百分数的和分数的互化1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数.2、分数化成百分数： 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式.先把分数化成小数（除不尽时.通常保留三位小数）,再把小数化成百分数.（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化1-=0.5 = 50%21-=0.25 = 25%43-=0.75 = 75%41=0.06
18、25 = 6.25%161 “=0.2 = 20%52 八-=0.4 = 40%53=0.6 = 60%54 = 0.8 = 80%55=0.625 = 62.5%81八，-=0.125 = 12.5%83-=1.375 = 37.5%8-=0.875 = 87.5%81八八1 = 0.04 = 4 %252=0.08 = 8253_ _3 = 0.12 = 12 %2544 = 0.16 = 16 %25三、用百分数解决问题（一）一般应用题1、常见的百分率的计算方法:合格率=合格产品数100%产品总数发芽率=发芽种子数种子总数100%出勤率=出勤人数田利入姒 100%总人数达标率达标学生人数
19、学生总人数100%成活率=y 100%出粉率粉的重量出粉物的重量100%烘干率烘干后的重量烘干前的重量100%自人卜合 烘干前的重量-烘干后的重量sc。/含水率=工工二壬目100%烘干刖的重量一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%出米率、出油率达不到100% 完成率、增长了百分之几等可以超过 100%.（一般出粉率在70、80%出油率在30、40%.）2、已知单位“1”的量（用乘法）、求单位“1”的百分之几是多少的问题：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量X分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量x （ 1 士
20、分率）=分率对应量3、未知单位“1”的景（用除法）.已知单位“ 1”的百分之几是多少，求单位“ 1”解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为 X,用方程解答.（2）算术（用除法）：分率对应量+对应分率=单位“1”的量4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量+单位“ 1”的量 X 100%或： 求多百分之几：（大数-小数）+小数 求少百分之几：（大数-小数）+大数（二）、折扣1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣 .通称“打折”.几折就表示十分之几，也就是百分之几十.例如八折=二80% ,六折五=0.65=65 %102、 一成是十分之一，
21、也就是 10%二成五就是十分之三点五，也就是 35%（三）、纳税1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳 给国家.2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一 .国家用收来的税款发展经济、科技、 教育、文化和国防安全等事业.3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额.4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率 .5、应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入X税率（四）利息1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法 .2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援 国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入
22、.3、本金：存入银行的钱叫做本金.4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息.5、利率：利息与本金的比值叫做利率.6、利息的计算公式：利息=本金X利率X时间7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息X利息税率=利息 （1-利息税率）扇形统计图一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系 .也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图） .二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少.2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况.3、扇
23、形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系 .三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大. （因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比. ）圆柱与圆锥一、圆柱的特征：1、圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面，底面是平面，侧面是曲面， .2、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高 . 圆柱的高有无数条.3、圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长， 长方形的宽等于圆柱的高， 当底面周长和高相等时， 侧面沿高展开后是一个正方形4、圆柱的侧面积=底面周长X高 即$侧
24、=加或2：trXh5、圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积X 2即S表=$侧+$底X2或2几r Xh + 2 x九r26、圆柱的体积=圆柱的底面积x高， 即丫=$卜或Ttr2xh7 、将一张长方形围成圆柱有两种方法，将一张长方形进行旋转一般也有两种 .（进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上的是 4 或者比 4 小，都要向前一位进1. 这种取近似值的方法叫做进一法. ）二、圆锥的特征：1、圆锥只有一个底面，底面是个圆 . 圆锥的侧面是个曲面.2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高. 圆锥只有一条高. （ 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平
25、板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离.）3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形.4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，即丫锥二1 Sh 或丫锥=1 tt r2x h 335、常见的圆柱圆锥解决问题：、压路机压过路面面积（求侧面积）；、压路机压过路面长度（求底面周长）；、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；、厨师帽（求侧面积 和一个底面积）；通风管（求侧面积）6、圆柱和圆锥的特征圆柱圆锥底面两个底面完全相同，都 是圆形.一个底面，是圆形.侧面曲面，沿局男开，展开 后是长方形.曲面，沿顶点到底面圆周上的一 条线段剪开，展开后是扇形 .高两个底向之间的距离， 后尢数条.顶
26、点到底面圆心的距离，只 条.常用单位换算长度单位换算1千米=1000米1米=10分米 1分米=10厘米1米=100厘米 1厘米=10毫米面积单位换算1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米体（容）积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000千克 1千克=1000克 1千克=1公斤人民币单位换算1元=10角 1角=10分 1元=100分时间单位换算1世纪=100年 1年=12月 大月（31天）有:135781012 月 小月（30天）的有:46911月平年2月28天，闰年2月29天 平年全年 365天，闰年全年 366天 1日=24小时1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
