1、1,第二章 中低压容器的规则设计 第二节 圆平板中的应力,2,第二章 中低压容器的规则设计 第二节 圆平板中的应力,一、概述二、基本方程三、受均布载荷的圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力五、带平封头圆筒的不连续性分析,3,(1)基本概念：a. 薄板：厚度t/直径D1/5;b. 小变形：挠度w/厚度t1;(2)基本假设：a. 中性面假设：板弯曲时其中面保持中性，即板中 面内的点无伸缩和剪切变形，只有沿中面的挠度w；b. 中法线假设：板变形前中面的法线，在弯曲后仍 为直线，且垂直与变形后的中面；c. 垂直于板面的正应力与其它应力相比可略去不计。,第二节 圆平板中的应力一、概述,4,图2-
2、27 圆板中的内力分量,第二节 圆平板中的应力一、概述,轴对称，板内无转矩。,剪力仅在同心圆截面上。,5,(1)圆平板中的内力： 在微元的侧边上只有弯矩Mr，M和Qr，且与无关。(2)力平衡方程： 由于x和y方向无力，也无对z的力矩，对x轴的力矩条件自动满足，只留下两个方程： 整理得：,第二节 圆平板中的应力二、基本方程,6,(2)力平衡方程：Fz=0，My=0 My=0: 整理得：,第二节 圆平板中的应力二、基本方程,含有Mr、M、Qr三个未知数，需要补充方程。,2-56,7,图2-28 圆板对称弯曲的变形关系,第二节 圆平板中的应力二、基本方程,8,(3)几何方程：对于小挠度： 整理得：,
3、第二节 圆平板中的应力二、基本方程,w 仅取决于坐标r，与 无关。,9,(4)物理方程：(5)位移微分方程： 整理得：,第二节 圆平板中的应力二、基本方程,代入,2-59,2-58,2-62,10,第二章 中低压容器的规则设计 第二节 圆平板中的应力,一、概述二、基本方程三、受均布载荷的圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力五、带平封头圆筒的不连续性分析,11,对于横向均布载荷，pz=p=常数，则方程（2-62）的一般解为：式中：C1、C2、C3和C4为积分常数，可由板中心和周边条件决定。对于实心圆板，在板中心r=0处，由于p为有限量，该处的挠度和剪力应是有限量，故必有C1C30，此时式
4、（2-63）可简化为：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,2-63a,2-64,D为抗弯刚度：,12,进一步求解各变量：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,2-66,2-65,C1、C2由圆板周边的支承条件决定，,13,(一)周边简支的圆板： 边界条件： 即： 解此方程组：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,表示周边不允许有挠度，但可以自由转动，因而不存在弯矩，即：,w=0,Mr=0,14,(一)周边简支的圆板： 圆板的挠度： 且有 最大挠度：在板中心r=0处，为：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,(2-68)，
5、 p52,15,(一)周边简支的圆板： 圆板中的弯矩和横向力：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,p52,16,(一)周边简支的圆板： 在板的上下表面z=t/2处，弯曲应力为：最大应力（r=0处：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,(2-72),(2-73),17,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,注意：最大挠度和最大应力与圆板的材料、半径、厚度有关，因此，若构成板的材料和载荷一定，则选用E、较大的材料可减小最大挠度值，然而最大应力只与（3+）成正比，与E无关，故改变材料并不能获得有利的应力状态。,18,(二)周边固支的圆板： 边界条
6、件：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,支承处不允许有转动和挠度。,p53,代入上述边界条件：,19,(二)周边固支的圆板：圆板的挠度：最大挠度：在板中心，r=0处，有：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,p53,(2-75),20,(二)周边固支的圆板： 圆板中的弯矩和应力：,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,(2-76),(2-77),21,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,(二)周边固支的圆板：,在板的上下表面z=t/2处，最大应力为：,最大应力（r=R处：,在板中心(r=0),弯矩为：,在板边缘(r=R),
7、弯矩为：,22,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,注意：最大应力是板周边表面上的径向弯曲应力，与圆板材料完全无关，与简支圆板相比，最大应力和最大挠度较小，因此，要是圆板在承受载荷后有较小的最大挠度和最大应力，应使圆板在固支条件下受载。,23,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,24,比较两种边界条件下的最大挠度与最大应力可知，当=0.3时，简支圆板的最大挠度约为固支的四倍，固支板的最大应力为板周边表面上的径向弯曲应力，其大小与材料的物理性质无关，简支圆板的最大应力在板的中心，大小与材料的物理性质有关，数值上是固支板的1.75倍，因此要使圆板在承受载荷后有较
8、小的最大挠度和最大应力值，首先应该使圆板在接近固支条件下受载。但是实际条件下的圆板总是有弯曲的，趋向简支的变形。所以，设计中往往将本来接近固支的模型简化为简支或做部分修正，使其得到偏向保守的结果。,第二节 圆平板中的应力三、受均布载荷的圆平板中的应力,25,第二章 中低压容器的规则设计 第二节 圆平板中的应力,一、概述二、基本方程三、受均布载荷的圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力五、带平封头圆筒的不连续性分析,26,(一)承受均布边缘弯矩的环形板： 边界条件：当r=b时， 当r=a时 因p=0，由方程2-63得：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,27,(一) 承
9、受均布边缘弯矩的环形板： 圆板中弯矩和剪力：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,28,(一)承受均布边缘弯矩的环形板： 解此方程组：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,把边界条件r=b时，Qr=0, Mr=M1r=a时，w=0, Mr=M1 代入,29,(一)承受均布边缘弯矩的环形板： 将C1、C2、C3和C4回代即得到环形板的挠度及内力矩：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,30,(一)承受均布边缘弯矩的环形板： 下面是几种特殊情况： a. 若M1=0,上式成为,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,2-81,31,
10、(一)承受均布边缘弯矩的环形板： b. 若M2=0,上式成为,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,(2-82),32,(一)承受均布边缘弯矩的环形板： c.若M1=0，且b=0 且有,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,相当简支圆板外周边受纯弯曲作用。,33,(二)内周边承受均布横剪力的环形板： 边界条件：当r=b时， 当r=a时 因p=0，由方程2-79：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,2-79,34,(二)内周边承受均布横剪力的环形板：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,p56,得到：,35,(二)内周边承受均
11、布横剪力的环形板： 解上述方程，得各积分常数：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,p56,36,(二)内周边承受均布横剪力的环形板： 将C1、C2、C3和C4回代即得到环形板的挠度及内力矩：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,(2-84),p56,37,(二)内周边承受均布横剪力的环形板： 令b趋近于零，则中央受集中载荷P的剪支圆板的挠度和内弯矩为,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,38,(三)叠加法求环形板的挠度和应力 应用叠加法，由前述关于环形板的解以及实心圆板的解可以在弹性范围内，得到在其它支撑情况和其它载荷作用下的解。现考虑一
12、半径a的简支环形圆板，承受均布载荷p，于是在r=b处环形柱面上的弯矩M和剪力Q可以得到：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,p57,周边简支的圆板,39,(三)叠加法求环形板的挠度和应力将圆板取走r=b的部分圆板，其余部分为一简支环形板，将d图中的挠度和弯矩，叠加到实心板的弯矩和挠度上，即上标“p”,“M”,“Q”分别表示实心板受均布压力p以及圆环板受M和Q作用引起的挠度和弯矩。,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,式(2-67),式(2-82),式(2-84),式(2-70),式(2-82),式(2-84),式(2-70),式(2-82),式(2-82)
13、,40,(三)叠加法求环形板的挠度和应力 以挠度为例：,第二节 圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力,均布载荷下周边简支实心圆板的挠度,内周边承受弯矩的周边简支圆板的挠度,内周边承受横向剪力周边简支圆板的挠度,41,第二章 中低压容器的规则设计 第二节 圆平板中的应力,一、概述二、基本方程三、受均布载荷的圆平板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力五、带平封头圆筒的不连续性分析,42,圆形封头常用作圆筒形容器的封头，平封头除受横向均布内压造成的弯曲外，还在封头与圆筒连接处存在着不连续应力，如下图：,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,43,带平封头的圆筒内部作用均匀分布
14、的压力p,用一个假想截面将圆与圆板在连接部位切开，它们之间有相互作用的内力为 Nx由封头所受周向力的平衡条件求得， 而 由封头与圆柱壳在连接处的变形协调条件给出。,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,44,圆筒在内压 p，Q0，M0 作用下连接处的径向位移与经线转角为：,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,P34,表2-1,受边缘载荷圆柱壳的弯曲解p42，2-46,45,对于圆平板封头，连接处圆平板中面的转角和径向位移为：,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,P52，2-69，均布载荷简支圆板的转角,P55，2-83，外周边受均布弯矩简支圆板的转
15、角,转角在板表面引起的径向位移,46,圆板承受边缘剪力Q0作用时，其中面的径向位移为： 上述各径向位移和转角都满足连续性条件：,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,47,由此解的M0和Q0：,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,(2-87),48,平封头中的应力为：圆筒中的应力为：,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,(2-88),(2-88),49,当 ，即当筒体与刚性平板封头相连接，此时：式中的负号表示假定的方向与实际方向相反。对于低碳钢：,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,(2-89),平板封头壁厚,筒体壁厚,50,连接处筒体经向的不连续应力和薄膜应力叠加后的应力为：可见，sx比薄膜周向应力大两倍，但这种应力的影响范围不大。当经向弯矩已衰减掉95.7%。,第二节 圆平板中的应力五、带平封头圆筒的不连续分析,51,第二章中低压容器的规则设计第二节 圆平板中的应力,本 节 完,谢 谢 大 家！,
