1、第三节 微积分的基本公式教学目的：1、理解变上限积分的导数。2、理解牛顿莱布尼兹公式。教学重点:1、变上限积分的导数。2、牛顿莱布尼兹公式。教学难点:1、牛顿莱布尼兹公式教学内容：一、 积分上限的函数及其导数定义 设函数 在a, b 上连续，则对任意的 x a, b，函数)(xf在a, x上连续，从而函数 在a, x 上在上可积，显然)(tf )(tf这个积分 是 x 的函数（参见图 5-4） ，我们称此函数td为积分上限的函数或变上限的定积分，记为 x a, b. xatf)(定理 1 若函数 在a , b上连续，则积分上限的函数 )fxtd(在a, b上可微，且， x a, b.)()(f
2、tfxa证明： 按导数的定义，只需证明 = 即可.给上限 以增量0limx)(xfx, + ，由此 获得相应的增量 ，即xb,)(x= - = -)(xxadtf)(xatf)(= + - =adtfxdtf)(xtf)(x根据定积分中值定理可知，在 与 + 之间至少存在一点 ，使得= =)(xxtf)(f)成立.又因为 在 上连续，所以，当 0 时，有 ,从而fba, xx,故)(xf= = = = .0limx)(0lixf)(0limx)(fxf例 1 已知 = , 求sintde解：根据定理 1，得 = = = -)(x0sintdextde0sin xtxesinsin例 2 设 ，
3、求 ， .2sin2)(xtdf f)6(f解 ， ，i21 221cossin1)( txtx.35)6(f由定理 1 知，变上限定积分函数 = 是连续函数 在)(xadtf()(xf区间上的一个原函数,因此得到如下的原函数的存在定理.ba定理 2 (原函数存在定理) 如果函数 在区间 上连续，则函数)(xfba,= 是 在区间 上的一个原函数.)(xadtfxfba,二、 牛顿莱布尼兹公式定理 3 (牛顿莱布尼兹公式) 如果函数 在区间 上连续，)(xfba,是 在区间 上的任意一个原函数，则 =)(xFfba, dxf)()(ba证 由原函数存在定理及原函数性质可知 , CdtfxFa)
4、(x a,b.令 x = a ，得 ； 代入得 , 令 x = b CF)( )(dtfba.)(xfba注 牛顿莱布尼兹公式揭示了函数与其原函数之间的关系，从而沟通了定积分与不定积分的关系，故又称其为微积分基本公式. 她为定积分的计算提供了一个简单有效的方法转化为计算其原函数在积分区间上的增量.例 1 求 102dx解: 由于 是 的一个原函数，所以，根据牛顿莱布尼兹公式，有32= =102dx|1033例 2 127)4(3)1arctn(rtarctn1312 例 3 .2ln|l|1ln|l1212 xd例 4 计算曲线 在 上与 轴所围成的平面图形的面积 .ysi,0xA解： . 0coA 1)0cos(例 5 计算定积分 321dx解：由定积分的可加性知：= + = +321dx231x12)(dx31)(x= + = .2)(31)(例 6 求 21cos0limxdte.解： ,xexedttx sin)(cos222 cocos11cos .xexdext inlili22cos0s0例 7 设 且 , ,证明: . ),)(Cf 0(fxdtfF0)()( ),0()xF证明: ,由于 , , , )0(x)(tf)(t而 , , 于是xdtf )(0xfdfx0)()()()( 2020 xx dtftftxF所以 ,()
