1、 第 55 讲 概率概率 次 的 概 率生次 独 立 重 复 试 验 中 恰 发 率独 立 事 件 同 时 发 生 的 概概 率 的 乘 法 公 式意 义 及 概 率相 互 独 立 事 件 概 率互 斥 事 件 有 一 个 发 生 的概 率 的 加 法 公 式意 义 及 概 率互 斥 事 件 古 典 概 率 的 计 算意 义 及 概 率等 可 能 事 件随 机 事 件 的 意 义 和 概 率 kn重点：1理解随机事件、等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、n 次独立重复试验的定义和概率。2各类事件的概率计算。难点：1分清事件的性质。2公式的正确应用。1了解随机事件、等可能性事件、互斥事件、相互
2、独立事件、n 次独立重复试验的意义。2掌握各种不同概率的计算方法和有关公式，能计算一些事件的概率。1直接考查等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、n 次独立重复试验的概率，一般以选择或填空题出现。2与离散型随机变量的分布列综合起来考，选择题、填空题或解答题三种题型都有可能。1随机事件的概率随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。 （在一定的条件下一定发生的事件叫做必然事件；在一定的条件下一定不发生的事件叫做不可能事件。 ）事件 A 的概率：若记随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次，在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率 总是接近于某个常数（在它附近摆动） ，这时就把
3、这个常数叫做事件 A 的nm概率，记作 P(A) 。 （0P( A)1，必然事件的 P(A)=1，不可能事件的 P(A)=0。 ）等可能性事件的概率：等可能事件是一种特殊的随机事件。如果在一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果事件 A 包含 m 个结果，那么事件 A 的神经网络 准确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！概率 P(A)= 。 （可记忆为“ 特定结果数/结果总数” 。 ）nm例抛掷一个硬币，可能出现的结果有 2 个（结果总数） ，而且这两个结果出现的可能性都相等；正面向上的结果有 1 个（特定结果数
4、） ，所以正面向上的概率为 。21例抛掷一个质地均匀的骰子，可能出现的结果有 6 个（结果总数） ，而且所有结果出现的可能性都相等。事件“3 的倍数向上”包含“3 向上”和“6 向上”这 2 个结果（特定结果数） ，那么事件“3 的倍数向上” 的概率为 。162例甲、乙二人参加普法知识考试，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个，甲、乙二人依次各抽一题。甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？解：甲、乙依次抽一题的可能结果有 种（结果总数） ；其中甲抽到选择题的结果有10C9种，乙抽到判断题的结果有 种，故甲抽到选择题，同时乙抽到判断题的结果有 种16C14 16C4（特
5、定结果数） ；所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为 。154906C点评：等可能性事件的概率是概率问题的基础。解题关键是正确使用排列组合知识，特别是在解那些稍复杂的概率问题时。2互斥事件有一个发生的概率互 斥 事 件 ： 不 可 能 同 时 发 生 的 两 个 随 机 事 件 叫 做 互 斥 事 件 。 如 果 事 件 A， B 互 斥 ，那 么 事 件 A， B 中 有 一 个 发 生 的 概 率 ， 等 于 事 件 A， B 分 别 发 生 的 概 率 的 和 。 我们把两个事件 A、B 中 有 一 个 发 生 记作 A+B，则有加法公式：P（ A+B） = P ( A ) + P（ B
6、） 。一 般 地 ， 如 果 事 件 A1， A2， An 中 的 任 何 两 个 都 是 互 斥 事 件 ， 那 么 就 说 事 件A1， A2， An 彼 此 互 斥 。 事 件 A1， A2， An 中 有 一 个 发 生 的 概 率 ， 等 于 这 n 个 事件 分 别 发 生 的 概 率 的 和 ， 即 ：P(A1+A2+An)=P( A1)+P(A2)+P(An)对 立 事 件 ： 如 果 互 斥 事 件 A 与 B 中 必 有 一 个 发 生 ， 则 A 与 B 叫 做 对 立 事 件 。 事 件A 的 对 立 事 件 通 常 记 作 。对 立 事 件 的 概 率 的 和 等 于
7、 1， 即 P ( A )+P（ ） =1 ， 也 可 以 写 成 P ( A )=1-P（ ） 或 P（ ） =1 P ( A ) 。注 意 事 项 ： 使用加法公式必须具备两个条件：互 斥 事 件 ， 有 一 个 发 生 。对 立 事 件 与 互 斥 事 件 的 关 系 ：互 斥 事 件 （ A 与 B 不 可 能 同 时 发 生 ） 都 不 发 生、 不 发 生发 生 不 发 生发 生BA这里“必 有 一 个 发 生 ”与中说的“有 一 个 发 生 ”含义是相同的。从上述关系可以看出：互 斥 事 件 不 一 定 是 对 立 事 件 ， 但 对 立 事 件 一 定 是 互 斥 事 件 。
8、（ 对 立 事 件 是 一 种 特 殊的 互 斥 事 件 。 ）例 如 “A 与 B 不 可 能 同 时 发 生 ”包 含 “A 发 生 B 不 发 生 ”、 “B 发 生 A 不 发 生 ”和“A、 B 都 不 发 生 ”三 种 情 况 ， 而 “必 有 一 个 发 生 ”只 包 含 上 述 三 种 情 况 中 的 前 两 种 。对 立 事 件 （ 必 有 一 个 发生 ）必须正确理解“至多” 、 “至少” 、 “不超过” 、 “不少于” 、 “恰有” 、 “都发生” 、 “不都发生”等语句的含义。例某班有学生 36 人，按血型分类为 A 型 12 人，B 型 10 人，AB 型 8 人，O
9、 型 6 人。如果从这个班随机抽出 2 名学生，求这 2 名学生血型相同的概率。解法一：从 36 人中随机抽出 2 名学生，结果总数为 ，236C特定结果分为四类：2 名学生血型同为 A 型，2 名学生血型同为 B 型，2 名学生血型同为 AB型，2 名学生血型同为 O 型。特定结果数为 ，628102C故 2 名学生血型相同的概率为 。4512362810解法二：设 2 名学生血型同为 A 型、B 型、AB 型、O 型分别为事件 、 、 、 ， ABCD2 名学生血型同为 A 型的种数为 ， ，21C2361)(P2 名学生血型同为 B 型的种数为 ， ，002 名学生血型同为 AB 型的种
10、数为 ， ，282368)(A2 名学生血型同为 O 型的种数为 ， ，6CP 事件 、 、 、 互斥，那么 、 、 、 有一个发生的概率为ABDBD，451)()()( 2362810 CPCP 2 名学生血型相同的概率为 。451点评：计算互斥事件有一个发生的概率，其基础还是等可能性事件的概率。例某射手在一次（指打一枪，下同）射击中，射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中： 射中 10 环或 7 环的概率； 不够 7 环的概率。分析： 由于射手在一次射击中，射中 10 环与射中 7 环不可能同时发生，故此两事件为
11、互斥事件，且求的又是两事件有一个发生的概率，故可以使用加法公式 P（ A+B） = P ( A ) + P（ B） 。 不够 7 环可以理解为：射中 6 环、5 环、4 环、4 环、2 环、1 环、0 环；它的反面为：射中 7 环、8 环、9 环、10 环；这两事件必 有 其中一个发生，即这两事件为对立事件。故可以考虑使用公式 P（ ） =1 P ( A ) 。解： 设“射中 10 环”为事件 A， “射中 7 环”为事件 B，则“射中 10 环或 7 环” 为事件 A+B。因为在一次射击中，A 和 B 不可能同时发生，所以 A 和 B 是互斥事件。所以 ,49.028.10)()( 故射中
12、10 环或 7 环的概率为 0.49。 设“不够 7 环”为事件 ，则“射中 7 环、8 环、9 环、10 环” 为事件 ，CC因为 ,03.)28.5.0321.()(1)( CP故射不够 7 环的概率为 0.03。点评：本题中，已经直接给出了射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率，就不需要我们去求结果总数以及特定结果数了。3相互独立事件同时发生的概率相互独立事件：如果事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B 同时发生记作 AB，则有乘法公式：P（A
13、B）= P（A）P（B）一般地，如果事件 A1，A 2，A n 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率P（A 1A2An）= P（ A1） P（ A2） P（ An）注 意 事 项 ：使用乘法公式必须具备两个条件：独立事 件 ， 同时发 生 。相互独立事件与互斥事件的区别。两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响（互不相干） 。只有正确判别一个事件究竟是互斥事件还是相互独立事件，才能选用合适的公式。前者用加法公式，后者用乘法公式。若事件 A 与 B 是相互独立事件，那么 A 与 ， 与 B， 也是相互独立事件。A与例设有 10
14、把各不相同的钥匙，其中只有一把能打开某间房门由于不知道哪一把是这间房门的钥匙，从而只好将这些钥匙逐个试一试如果所试开的一把钥匙是从还没有试过的钥匙中任意取出的，试求：第一次试开能打开门的概率；第二次试开能打开门的概率；第 k 次(k=1,2,10)试开能打开门的概率。解：结果总数： ，特定结果数：1，第一次试开就能打开的概率等于 ；0C 10第二问等价于“第一把打不开，第二把能打开”这两个相互独立事件同时发生，所以概率为 ；109第 k 次试开能把门打开，是指前(k-1)次试开都打不开，而在第 k 次试开恰能打开类似于第二问，概率为 。10)(10)2(1098kk例（2003 年江西、天津高
15、考题） 有三种产品，合格率分别是 0.90、0.95 和 0.95，各抽取1 件进行检验。 求恰有一件不合格的概率； 求至少有两件不合格的概率。解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别记为 、 、 。ABC 、 = ， 、 = ，9.0)(AP)(B95.0CP1.0)(P)(05.P恰有一件不合格包含三类情况： 、 、 同时发生， 、 、 同时发生， 、 、AAB同时发生。C而事件 、 、 相互独立，所以恰有一件不合格的概率为 )()()( B (CPAPPBA=20.90.950.05+0.100.950.95=0.176 。 至少有两件不合格的概率为 )()()()( CBAPC
16、BAP=0.90.050.05+20.100.050.95+0.100.050.05=0.012 。4独立重复试验中的概率独立重复实验的特征：实验条件相同，实验重复进行，每次实验相互独立，每次实验中某一事件发生的概率相同，每次实验只有两种结果（即某一事件要么发生，要么不发生） 。上述条件简记为“独立、重复、相同、二元” 。常见的掷硬币、天气预报、放回摸球都是独立重复实验；而不放回摸球就不是独立重复实验，例如袋中有 20 个球（红球 2 个，白球 18 个） ，现从袋中每次抽取 1 个球，连续抽取 3 次，每次抽出后不放回。第一次抽出的如果是红球，则第二次抽出红球的概率减小（第一次为2/20=1
17、/10，第二次为 1/19） ；第一次抽出的如果不是红球，则第二次抽出红球的概率增大（第一次为 2/20，第二次为 2/19） ，这就是说，不放回抽样时， “每次抽取红球 ”不是等概率事件。独立重复试验恰有 K 次发生的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为 knnnPCP)1()(因为其中 1-P 是事件 的概率，如果记 1-P 为 q，此时公式可改写为Akk它恰为二项式 展开后的第 项，所以也把它称为“二项分布型概率” 。kq)(例（年高考题） 在资料室中存放有杂志和书籍，任一读者借书的概率为 0.2，而借杂志的概率为 0
18、.8，设每人只借一本，现有五位读者依次借阅，试计算： 5 人中有 2 人借杂志的概率； 5 人中至多有 2 人借杂志的概率。分析：5 人借阅图书杂志满足条件“独立、重复、相同、二元” ，故可看成是 5 次独立重复试验，从而利用公式 求概率。knknnPCP)1()(解： 5 人借杂志相互独立；事件“借杂志”要么发生，要么不发生；每次实验中， “借杂志”发生的概率相同（0.8） 。综上所述，可以把 5 人各借一次看成 5 次独立重复试验。 5 人中有 2 人借杂志的概率为 ；012.80)2(325 5 人中至多有 2 人借杂志，包含三种情况，5 人都不借杂志，5 人中有 1 人借杂志，5 人中
19、有 2 人借杂志，故所求的概率为6.08 324150 CCP4综合应用题例（2006 年高考湖南文科题） 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改 . 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到 0.01)：()恰好有两家煤矿必须整改的概率；()某煤矿不被关闭的概率；()至少关闭一家煤矿的概率.分析：对煤矿进行安检满足条件“独立、重复、相同、二元” ，所以对五个煤矿进行安检可以视作五次独立重复试验。对于()，可以有两种解法，分
20、析一：“某煤矿不被关闭”的对立事件为“某煤矿被关闭” ，故可使用公式 P ( A )=1-P（ ） 。 分析二：某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格。对于第（i）种情况，由题意可知其概率为 0.5，对于第（ii）种情况，属于独立事件同时发生，故可使用乘法公式 P（AB ）= P（A）P（B） 。对于()， “至少关一家”的对立事件为“五家都不关” ，计算“五家都不关”的概率可使用乘法公式 P（AB）= P（A ）P（B ）得 ，则“至少关一家”50.9.09.的概率为 。41.09.153解：（）每家煤矿必须整改的概率是 10.5
21、=0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 .31065.).0-()2(325CP（）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是 ，从而煤矿不被关闭的概率是 1-0.1=0.90.1.)80()5.1(2P解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.所以该煤矿不被关闭的概率是 .90.)5(.2()由题设（）可知，每家煤矿不被关闭的概率是 0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是 .41.13P简单的概率问题
22、12 3 4 567 8 9 1011121314151617GD0201随机事件，必然事件，不可能事件。 GD0202等可能性事件 GD0203互斥事件，对立事件。 GD0204相互独立事件 GD0201随机事件的概率 GD0202等可能性事件的概率 GD0203互斥事件的概率（加法公式） GD0203互斥事件（对立事件）的概率 P（ ） =1 P ( A )。 GD0204相互独立事件的概率（乘法公式） GD0205简单事件独立实验 n 次恰好发生 r 次的概率（二项分布概率公式） GD02 综合应用 2某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）（A）至多有一次
23、中靶；（B）两次都中靶；（C）两次都不中靶；（D）只有一次中靶答案：C。3把标号为 1，2，3，4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得 1 号球”与事件“乙分得 1 号球”是（ ）（A）互斥但非对立事件；（B）对立事件；（C）相互独立事件；（D）以上都不对答案：A。4从一副扑克牌（52 张）中任取一张，事件 A“取得红色牌”和事件 B“取得 K”是（ ） （A）互斥但非对立事件；（B）对立事件；（C）相互独立事件；（D）以上都不对答案：C。7一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 个同样大小的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出的一个小
24、正方体其两面涂有油漆的概率是. . . .A125B1253C10D12解：12 条棱上除开顶点的小正方形两面涂有油漆，共有 128=96 个；所求概率为。故应选 。096A8把 12 个人平均分成两组，再在每组里任意指定正、副组长各 1 人，其中某甲被指定为正组长的概率为（ ）能力测试 认真完成！参考答案 仔细核对！（A） （B） （C） （D）12614131答案：B。平均分组时，每人担任正组长的机会均等，某甲被选为正组长的概率为 。 619袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，放回式的抽取三次，则下列事件中概率是 的是8. 颜色全同； . 颜色不全同； . 颜色全不同； . 无红色。
25、ABCD解：抽取同一颜色的球的概率为 ，而事件“颜色不全同”是事件“颜色全91)3(1同”的对立事件，所以抽取颜色不全同的球的概率为 ，故应选 。8B10甲乙二人独立破译 1 个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，求：314 恰有 1 人译出密码的概率； 至多 1 人译出密码的概率； 若要译出密码的概率达到 ，至少需要多少个乙这样的人？109解：设甲译出密码为事件 ，甲译不出密码为事件 ，乙译出密码为事件 ，乙译不出密AAB码为事件 ，二人都译出密码为事件 ，二人都译不出密码为事件 ，恰有 1 人译出密码为事BCD件 ，至多 1 人译出密码为事件 。EF 恰有 1 人译出密码包含两种互斥的
26、情况： ， ，B 恰有 1 人译出密码的概率为；1254)3(1(3)()()()() PAPBAP 至多 1 人译出密码包含两种互斥的情况：二人都译不出密码，恰有 1 人译出密码，即。ED 至多 1 人译出密码的概率为；25)()()()() BEF 设 n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 ，则据题义有 n41109)4(1n，解之得 。16点评：注意利用 。)(1)(AP12甲射击命中目标的概率为 0.75，乙射击命中目标的概率为 ，当两人同时射击同一目32标时，该目标被击中的概率为. ； . 1 . ； . 。A21BC12D65解：甲射击与乙射击是独立事件，设甲命中目标为事件 A，乙
27、命中目标为事件 B，则 A、B是独立事件，且 A 与 ， 与 B 也是独立事件。那么甲命中乙没有命中的概率为，乙命中甲没有命中的概率为 ，甲乙同时命41375.0)(BAP 61325.0)(BAP中的概率为 ，所以该目标被击中的概率为 ，故应选2.)( 4。C13（2001 年高考全国新课程卷） 如图，用 、 三类不同的元件连接成两个系统 和 ，B1N2当元件 、 、 都正常工作时，系统 正常A工作；当元件 正常工作且元件 、 至少有一个BC正常工作时，系统 正常工作。已知元件 、 、2NA正常工作的概率依次为 0.8、0.9、0.9，分别求C系统 和 正常工作的概率。1解：分别设 、 、
28、正常工作为事件 、 、 ，依题义有 ， =AB8.0)(AP)(B，9.0)(P 因为事件 、 、 是相互独立的，所以系统 正常工作的概率为BC1N648.09.80)(1 P 因为事件 、 、 相互独立，且 、 至少有一个正常工作的对立事件是 、C工作都不正常，故 、 至少有一个正常工作的概率为 ，所以系统 正常工C )(BP2N作的概率为 792.01.(8.0)()(2BA14工人某一天出废品的概率是 0.2，工作 4 天，至少有一天出废品的概率是 解：把每一天的工作看成是一次独立重复试验，那么四天都不出废品的概率是 96.)2.01(.)0(444 CP而至少有一天出废品的概率为 。5
29、(P15（2002 年天津高考题） 某单位 6 名员工借助互联网开展工作，每人上网的概率都是0.5。 求至少 3 人同时上网的概率； 至少几人同时上网的概率小于 0.3？解: 解法一：至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率，即 316455.0.5.0162616 CC解法二：至少 3 人同时上网的概率为 260. 656466P解题错误： ， 。3210)( 6543.0.5P错误原因分析： 至少 3 人同时上网的对立事件找错； 没有分辨出每一类都是独立重复试验。 解法一：至少 4 人同时上网的概率为 3.021645.0.5.0666 CC至少 5 人同时上网的
30、概率为N1 A B C B N2 A C 3.0276415.0.656 C所以至少 5 人同时上网的概率小于 0.3 。解法二：设至少 人同时上网的概率小于 0.3 ，则 ，n 3.05.)(616Cn即 ，2.19616Cn当 时， ，当 时， ，4.5452.19765所以至少 5 人同时上网的概率小于 0.3 。解题错误： 不能利用探索的方法； 计算错误。错误原因分析： 平时对于探索能力的训练注意不够；平时对于计算能力的训练注意不够。16（2007 年高考湖南文科题） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或
31、不参加培训.已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. ()任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； ()任选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率.()解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1.05.4)() BPAP所以该人参加过培训的概率是 91解法二 ：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 45.07.25.06)()()(2 A该人参加过两项培训的概率是 6)(3BPP所以该人参加过培训的概率是 9.4.2() 解法一：任选 3 名
32、下岗人员，这 3 人中只有 2 人参加过培训的概率是4.019.24CP3 人都参加过培训的概率是 79.0.35CP所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 972.0.243.54P解法二：任选 3 名下岗人员，这 3 人中只有 1 人参加过培训的概率是07.1.9016CP3 人都没有参加过培训的概率是 0.3P所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 972.01.027.176P17（2008 年高考湖南文科题） 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求：21
