1、,第八章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度, 称为螺距 .,例1. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,例2. 求空间曲线 :,绕
2、z 轴旋转,时的旋转曲面方程 .,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程 .,例如, 直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和 , 得旋转曲面方程为,绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为,又如, xOz 面上的半圆周,说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线C的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C在xOy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程,消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程,例如,在xOy 面上的投影曲线方程为,又如,所围的立体在 xOy
3、 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xOy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xOy 面上的投影曲线所围之域 .,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如, 圆柱螺线),思考与练习,P36 题 1，2，7（展示空间图形）,P36 题1,(2),(1),答案:,(3),P36 题2 (1),思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,P36 题2(2),P37 题 7,P36 3，4，5，6, 8,作业,第五节,备用题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面,的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,与平面,
