1、 例 5. 如图甲，ABC 中，C2B，12，求证：ABACCD分析：此题是证两条线段的和等于第三边，这类型的题我们通常采用截长补短法，截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。证明一：截长法：如图乙，在 AB 上截取 AEAC ，连结 DE在ADE 和ADC 中 12AECDADEADC（SAS ）DEDC，AEDCCAEDBBDE 2BEBD EDBBEDEBEDCABAE EBACDC即 ABACDC证明二：补短法如图丙，延长
2、 AC 至 E，使 AEAB，连结 DE在ABD 和AED 中 12ADBEABDAEDBEACB2BEEDCBEDCEEDCCDCEABAE ACCE AC CD即 ABACCD18. 如图，B12，CD AD，你发现 AB 与 AD有什么数量关系？请说出你的理由。19. 如图，A、B 两点分别位于一池塘两侧，池塘左边有一水房 D，在 D、B 中点 C 处有一棵百年古槐，小明从 A 点出发，沿 AC 一直向前走到点 E（A 、C 、E 三点在同一直线上），并使 CECA，然后他测量出点 E 到水房 D 的距离，则 DE 的长度就是 A、B 两点间的距离。（1）你能说出小明这样做的道理吗？（2
3、）如果小明恰好未带测量工具，但他知道水房和古槐到 A 点的距离分别是 140m和 100m，他能不能确定 AB 的长度范围？（3）在（2）题的解题过程中，你找到“已知三角形一边和另一边上的中线，求第三边的长度范围”的方法了吗？如果找到了，请解决下列问题：在ABC 中，AC5，中线AD7，画图并确定 AB 边的长度范围。4. 如图，CE，CB 分别为 ABC，ADC 的中线，且 ABAC，求证：CD2CE。证明：延长 CE 至点 F，使 EFCE，连结 BF在EBF 和EAC 中EBACF()已 知 对 顶 角 相 等 已 作EBFEAC（SAS）EBFEAC（对应角相等）BF ACABBDCB
4、FCBA EBFBCA EACCBD在CBF 和CBD 中BCFD()公 共 边 已 证 已 证CBFCBD （SAS）CF CDCF CE EF2CECD2CE（“倍长中线法”作辅助线，将倍分问题转化为证线段的相等问题） 。15、已知：如图：在ABC 中，ABAC，E 在 CA 的延长线上，AEFAFE.求证：EFBC证明：作 BC 边上的高 AM，M 为垂足AMBCBAMCAM又BAC 为AEF 的外角BACE+EFA即BAM+CAMEEFAAEFAFECAMEEFAMAMBCEFBC25. （7 分）如图（1），已知四边形 ABCD。（1）如果ABC 与ADC 互补，那么DAB 与BCD
5、 有什么关系？（2）在图（1）中，过点 C 作 CEAB 于 E，连接 AC，若 AC 平分DAB ，且)(ADBE，如图（2）。求证：ABC+ADC=180。25. （1）解：在四边形 ABCD 中ABC+ADC+ DAB+ BCD=（42）180=360 （1 分） ABC+ADC=180 DAB+BCD=360 （ ABC+ADC ）=180即DAB 与BCD 互补（2 分）（2）证明：过 C 作 CFAD 交 AD 延长线于点 F（3 分） AC 平分DAB，CEAB，CFAF CE=CF在 AECRt和 Ft中 )(HLACRtt AE=AF（4 分） )(21DABE AB+AD=
6、2AE=AE+AF ABAE=AFAD 即 BE=DF（5 分） CEAB，CFAF BEC=DFC=90在BEC 和 DFC 中CFEDB BECCFD（SAS ） ABC=CDF （6 分） CDF+ADC=180 ABC+ADC=180 （ 7 分）二. （12 分）如图，已知ABC 中，AB=AC=8 ，BC=6，B= C，点 M 是 AB 的中点。如果点 P 在线段 BC 上以每秒 2 个长度单位的速度由点 B 向点 C 运动，与此同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动。（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相同，经过 1 秒后，以点 B、M、P 为顶点的三角
7、形是否与以点 C、P、Q 为顶点的三角形全等？请说明理由。（2）根据（1）的结论，求证：MPQ=90 2A（3）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相同，BMP 与CPQ 还可能全等吗？若全等，求此时点 Q 的运动速度，若不全等，请说明理由。二.（1）解：全等（1 分） 理由：连接 MP，PQ由题意得 BP=CQ=2（2 分） 4ABM4BPC BM=CP（3 分）在 BMP和 CQ中 BMP CPQ（SAS）（4 分）（2）证明：由（1）BMPCPQ 得BMP= CPQ BPM= CQP（5 分） MPQ=180（BPM+CPQ） MPQ=180（CPQ+ CQP ）=180（180C
8、 ）=C（7 分） B=C A2190)18(2 AMPQ90（8 分）（3）解：全等（9 分）设点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度分别为 QV和 P PV CB当321， 4M时（10 分）又由B=C 得BMPCQP （SAS）（11 分）此时BPt（秒） 3824tQV（长度单位/ 秒）即 Q 点的运动速度为每秒 个长度单位（12 分）1. 下列各组图形中一定全等的是（ ）A. 各有一个角是 45的两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 各有一个角是 40，腰长都为 3cm 的两个等腰三角形D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形2. 一个三角形的三个内角中，至少有（ ）A. 一个锐角
9、B. 两个锐角C. 一个钝角 D. 一个直角3. 如下图，在ABC 中，BC 边上的高为（ ）A. BE B. AD C. BF D. CF4. 如图所示，已知ABCBAD，点 A、C 的对应顶点分别为点 B、D 。如果AB7cm、BC 5cm ，AC 10cm，那么 BD 等于（ ） A. 10cm B. 7cmC. 5cm D. 无法确定5. 如图所示，MP NP 于 P，MQ 为NMP 的角平分线，MTMP，连结 TQ，则下列结论中不正确的是（ ）A. TQPQ B. MQTMQPC. QTN90 D. NQT MQT4. 如图，B12， CDAD，你发现 AB 与 AD 有什么数量关系
10、？请说出你的理由。4. AB2AD， （证明方法很多，举例：过 C 点作 CEAB，垂足为 E 点证明过程略）例 3. 如图，已知 DCAB，且12DAB，E 为 AB 的中点，求证AEDEBC证明：DCABDCAE，DCBEE 为 AB 中点AECDBE四边形 EBCD，AECD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）EDBC，ADEC（平行四边形对边相等）在AED 与 EBC 中AED EBC（SSS）例 4. 如下图，ABAC，D、E 分别是 AC、AB 的中点。求证：ABDACE 。思路分析：因为ABD 和ACE 有一个公共角，因此要证明这两个三角形全等，只需再找一组对应边相等即可，这由中点条件不难得到。证明：D、E 分别是 AC、AB 的中点（已知） ，AD 21AC， AE AB（中点定义） ，又ABAC， AD AE（等量代换） 。在ABD 和ACE 中， （注意书写的规范） 已 证 ， 公 共 角 ， 已 知 )( )( )( AEAD CAEB AA ABDACE （SAS）7. 如图， DAB CAE，要使ACBADE ，需要再补充几个条件？应补充什么条件？把它们分别写出来，能写几种就写几种。7. 方法灵活多样：如：（1）ADAC，AEAB（2）CD，ADAC（3）BE，ADAC 等等。
