1、第二章 复变函数的积分,21 复变函数的积分,一、定义,二、计算,1、复变函数积分归结为两个实变函数线积分,3、实变函数线积分的性质对路积分也成立,4、长大不等式,故,对上面不等式两边取极限即得。,估值定理,例1 (P29),被积函数相同、起终点相同,积分路径不同,结果不同。,例2,例2,是以a(x0,y0)点为中心,R为半径的圆,在圆周上:,22 柯西定理,一、单通区域中的柯西定理,定理 若函数 在闭单通区域 上解析, 则沿 上任一分段光滑闭合曲线 (也可以 是 的边界)有:,证明,应用格林公式:,柯西-黎曼方程成立,推论 若函数 在单通区域 上解析, 在闭单通区域 上连续,则沿 上任一分
2、段光滑闭合曲线 (也可以是 的边界)有:,推论 若函数 在单通区域 上解析, 是 上任一闭合曲线 (也可以是非简单闭 合曲线)则有:,推论 若函数 在单通区域 上解析, 是 上任一起始于 点,终止于 点的简单 曲线 ,则积分 的值不依赖于积分路 径 ,而只由始点 和终点 的位置决定。,证明,二、复通区域中的柯西定理,境界线正方向:沿曲线进行时 区域总在行者左侧。,外境界线正方向:逆时针方向,内境界线正方向:顺时针方向,证明,作割线连接内外境界线将复通区域变 成单通区域,推论 闭复通区域 上的单值解析函数,沿 外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内 境界线逆时针方向的积分之和。,若 是以a点为中心
3、的圆,解,则:,在 内以a点为中心作圆 ,构成以 为外境 界线, 为内境界线的复通区域。,23 原函数和不定积分,一、原函数(定义),二、不定积分,若 在单通区域B内解析,依柯西定理 其沿B内任一路径的积分只与起点、终点 有关。当起点 固定,不同终点的变上 限不定积分定义了一个单值函数,三、定理,证明 (P33),推论 若 在单通区域B内解析,则,路积分的值等于原函数的改变量 (牛顿-莱布尼兹公式),例,解,24 柯西公式,证明,所以只要证明:,是被积函数奇点。,以 为圆心, 为半径作小圆 ,构成以 为外境界线, 为内境界线的复通区域。在该区域内被积函数解析。,?,由柯西定理:,由长大不等式:
4、,柯西公式将解析函数在闭单通区域内任一点上的函数值用沿境界线的回路积分表示出来。,此时,对所有内、外境界线正向积分,注意:此时积分回路沿顺时针,推论3 解析函数在一个圆周上的平均值等 于它在该圆周圆心上的值。,证明,!,证明(P38),证明(P38),柯西公式的应用,例,解,例,闭合曲线 为:,解,(1)封闭曲线为圆,例,闭合曲线 为:,解,(2)封闭曲线为圆,例,闭合曲线 为:,解,(3)封闭曲线为圆,第三章 复变函数的幂级数展开,31 复数项级数,一、复数项级数及其敛散性,推论 若级数 绝对收敛,则一定收敛。,注意:条件收敛的级数未必绝对收敛; 绝对收敛的级数一定收敛。,可将级数敛散性判断
5、转化成对正项级数敛 散性判断。,例 判别级数 的敛散性。,解,发散,发散,二、复变项级数及其敛散性,复变项级数的敛散性与复变数 的取值有关,定义(收敛点、发散点),定义(收敛域),复变项级数和 是收敛域上的一个复 变函数,称为和函数。,定理(收敛判据),一致收敛的复变项级数性质,绝对且一致收敛判定定理,32 幂级数,(各项都是幂函数的复变项级数),二、幂级数的敛散性定理,证明,幂级数在 z1 点收敛,一定存在常数M,使,即:幂级数绝对一致收敛。,则有,定理1指出:幂级数存在一个收敛半径 R,推论 如果幂级数收敛半径为 R ,则:,证明,绝对收敛,由达朗贝尔判别法,幂级数发散!,是其收敛半径。,
6、又,绝对收敛,由科西判别法,幂级数发散!,是其收敛半径。,解,解,它们收敛半径相同,存在,三、幂级数的性质,1幂级数在收敛圆内绝对一致收敛。,2幂级数可进行加、减、乘、除运算。,设,(收敛半径R1),(收敛半径R2),(2),(3),3幂级数在收敛圆内可逐项求导任意多阶而 不改变所得新级数的收敛半径。,设,4幂级数在收敛圆内可逐项积分而不改变 所得新级数的收敛半径。,设,验证,证明,取,取,取,证明,设,由柯西公式得,33 解析函数的泰勒(Taylor)级数展开,证明,在圆 内作包含 z 且与 同心的小圆,由柯西公式:,推论 函数 以它任一解析点 z0 为中 心的泰勒级数展开是唯一的。,推论
7、函数 在区域B内解析的充要条件 是: 在区域B内任一点 z0 处可以展 开成以 z0 为中心的泰勒级数。,显然,若,则:,是唯一的。,例1 在 z0=0 邻域上展开,解,例2 在 z0=0 邻域上展开,解,例3 在 z0=0 邻域上展开 和,解,解,例4 在 z0=1 邻域上展开,解,z0=1不是支点 ,按单值函数展开,例5 在 z0=0 邻域上展开,解,z0=0不是支点(-1),按单值函数展开,泰勒级数展开基本方法:,定理 若 在 内解析,且在实轴 (-R,R)上取实值;则 在 z0=0点 的幂级数的系数一定是实数。,证明,当 ak(z)中 z 沿实轴方向趋于0时:ak=bk,基本初等函数
8、均满足条件(在实轴上取实值)。,泰勒级数展开的其它方法:可以通过已知幂级数的运算及性质得到f(z)的泰勒级数。,例6 在 z0=i 邻域上展开,解,解,34 解析延拓,一、解析函数四个等价条件,若函数f(z)在区域B内满足下面条件之一,则函数f(z)就是区域B内的一个解析函数。,(1)f(z)在区域B内确定,且处处可导。,(2)f(z)= u + iv 在区域B内连续,u,v 对x、y 有连续偏导数,且满足K-L方程:,(3)f(z)在区域B内连续,且对B内任一 逐段光滑闭合曲线C都有,(4)对区域B内任一点,都存在一个邻域, 在此邻域内f(z)可展为泰勒级数。,二、解析延拓(定义),设复变函
9、数f(z)是区域 b 上的解析函 数,而复变函数F(z)在区域 B上解析。 若(1)b 是被B所包含的B的子区域, (2)在子区域 b 内f(z)= F(z); 则称F(z)是f(z)的解析延拓。,例,F(z)是 f(z)的解析延拓,在,三、解析延拓的唯一性定理,定理 设 f(z)是区域 b 上的解析函数,则 用任何一种方法将f(z)延拓到含有b的较大 区域 B上所得到的解析函数F(z)是唯一的 。,35 洛朗(Laurent)级数展开,函数 f(z) 在区域 B上有奇点时,不能展为泰勒 级数;可在除去奇点的环域上展为洛朗级数。,一、洛朗级数,二、洛朗级数的收敛域、收敛环,洛朗级数处处发散,收
10、敛:,收敛域:,三、洛朗级数展开,证明,对C1:,对C2:,代入积分,令:,第二项 变为:,根据柯西定理,说明,(1)f(z)在 z0 点可以展成洛朗级数的条件是 在以z0 为中心的环域 中单值解析。 z0 可以是f(z)的奇点,也可以不是f(z)的奇点。,(2)展开系数,四、在孤立奇点上的洛朗级数展开,定义(孤立奇点) 若 f(z)在点 z0 的去 心邻域 内解析,但在z0点不解析, 则称z0为 f(z)的孤立奇点。,五、洛朗级数展开方法(举例),例1(P57)在 z = 0 的邻域展开,解,解,例2 求 (1)在 z = 1邻域;,(2)在 环域内的洛朗级数展开。,有二个孤立奇点:,(1)
11、在 z = 1邻域,(2)在 环域内:,函数无奇点,解,例3 求 (1)在 z = 1邻域;,(2)在 环域内的洛朗级数展开。,有二个孤立奇点:,(1)在 z = 1邻域,(2)在 环域内,函数无奇点,例4 在 z = 0 邻域展开,解,将,例5 在 z = 1 邻域展开,解,例6 设 x 是实参数, 在 z = 0 邻域展开,解,改写求和指标,m阶贝塞尔函数,36 孤立奇点的分类,一、有限孤立奇点的分类,根据主要部分可能出现的情况,将孤 立奇点分成三类:,(1)可去奇点:没有主要部分,例,z=0 为f(z)的可去奇点。,就可去掉奇点。,只要重新定义f(z),对可去奇点有:,(2)极点:主要部
12、分中只有有限项负幂项,例,z0=1 是f(z)的一阶极点(单极点),(3)本性奇点:主要部分有无限多项负幂项,z0 称为f(z)的本性奇点。,例,z0=0 是f(z)的本性奇点。,二、各类奇点的判定,(1)可去奇点的判定,定理 f(z)的孤立奇点 z0是可去奇点的充 要条件是:,z0是f(z)的可去奇点,例,z=0 为f(z)的可去奇点,(2)极点的判定,定理 f(z)的孤立奇点 z0是极点的充要 条件是:,z0是f(z)的极点,z0是f(z)的m阶极点,在z0点解析,z0是f(z)的m阶极点,推论 f(z)的孤立奇点 z0是m阶极点的 充要条件是:,定理 f(z)的孤立奇点 z0是本性奇点的 充要条件是: 不存在。,(3)本性奇点的判定,例,不存在,z0=0是 的本性奇点,解,是f(z)的奇点,解,无限多项负幂项,三、无限远孤立奇点的分类与判定,定义 若函数 f(z)在 点的某邻域 内解析,则称 为 f(z)的孤立奇点。,可去奇点:没有主要部分,m阶极点:主要部分中只有有限正幂项,最高次幂m,本性奇点:主要部分中有 无限多项正幂项,设 为 f(z)的孤立奇点,作代换,得函数:,可去奇点,可去奇点,本性奇点,极点,本性奇点,极点,例1 判断 是 的何类奇点,解,例2 判断 是 的何类奇点,解,不存在,无限多项正幂项,