1、高职复习资料（17）解析几何高职复习（171）解析几何基础知识（一）直线有向线段定比分点公式：，则，一、知识网络：直线的倾斜角与斜率点斜式斜截式两点式截距式直线的方程直线方程的一般式：直线与X轴平行的直线与坐标轴平行的直线方程与Y轴平行的直线点与直线的位置关系点在直线上的条件：点到直线的距离：相交两直线相交的判定与求交点两直线所成的角及其求法两直线垂直的条件两直线的位置关系两直线平行的条件平行重合两直线重合的条件二、基本知识：（公式与定理）1、斜率公式：（1），则；（2）若直线的倾斜角为，则；（3）若直线的方向向量为，则；2、设两直线方程为，：（1） 当时，两直线的夹角为，则；（2） 当时，两
2、直线的夹角为90。3、点P 到直线的距离：4、两平行直线之间的距离公式：两平行线：，之间的距离：；5、两直线位置关系的判定与性质定理：直位线置方关程系（）(）平行重合相交垂直6、直线方程的几种形式：名称已知条件方程形式说明点斜式直线过点且斜率为1、 用直线的斜率和直线上一定点坐标确定直线方程；2、 垂直于X轴的直线不适用。斜截式直线在轴上截距为b，斜率为1、 是点斜式特例，即定点为（0，b）2、 垂直于X轴的直线不适用。两点式直线过两点：（）1、 用直线上两点确定直线方程；2、 平行于坐标轴的直线方程不适用；3、 由两点求出斜率k，再用点斜式求直线方程也可以；点向式直线过点，非零方向向量1、是
3、两点式的另一种变形，即非零方向向量由直线上两点确定；截距式直线在X轴、Y轴上的截距分别为，且；1、 是两点式的特例，即两点为；2、 过原点或平行于坐标轴的直线不适用。一般式A，B，C是常数，A，B不同时为零；上述直线方程都可化为一般式，是直线的斜率，分别是直线在X轴和Y轴上的截距。7、常用公式：（1）定比分点公式：若，则称点P分线段P1P2成定比，点P叫做定比分点；设，则点P的坐标为：，；（2）中点公式：若，线段的中点为，则；（3）两点间的距离公式：若两点坐标分别为，则两点间的距离公式为：P1P2|；当时， P1P2在Y轴上或在与Y轴平行的直线上，P1P2|；当时，P1P2在X轴上或在与X轴平
4、行的直线上，P1P2|三、典型例题分析：例1、（1）已知两点P（1，6）和Q（3，0），延长QP到A，使APPQ，求点A的坐标；（2）直线上有A（2，3），B（x，y），C（5，6）三点，如果B分有向线段的比为，求点B点的坐标；例2、（1）求过点P（2，1），斜率k2的直线方程；（2）求过点P1（1，2），P2（3，4）的直线方程（斜率和倾角）；（3） 直线过两点（0，2）和点（3，0），求直线方程；（4） 已知直线过点P（2，1），直线的一个方向向量为，求直线方程；例3、（1）已知点A（1，2），B（3，0），C（4，3），求AC的中点及ABCD的顶点D的坐标；（并求直线AB、BC、AC的方
5、程）例4、（1）求经过A（2，2）B（，1）两点的直线的斜率和倾角；（2）求直线的倾角；（斜率，在X轴和Y轴上的截距）例5、（1）求过点P（2，1），且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍的直线方程；（2）过点（0，2）且倾斜角的正弦值为的直线方程；（3）求倾斜角为60，在x轴上的截距为的直线方程；（4）已知直线经过点（2，3）且在x轴、y轴上的截距相等，求该直线的方程。例6、（1）求过点（2，3）且平行于直线2xy50的直线方程；（2）求过点（2，1）且垂直于直线2xy30的直线方程；（3）已知A（2，5），B（6，1），C（9，1），求证：ABBC；（4）求经过点P（1，0）且与直线y=x2的夹角
6、为30直线的方程；（5） 若直线L1与L2的斜率分别是方程的两根，求这两直线的夹角。（6） 直线与2x4y10平行，求k.。（7） 直线（3a2）y（14a）x80和（5a2）y（a4）x70互相垂直，求a。（8） 求直线x2y10=0与直线3xy20的夹角；例7、（1）求两条平行直线3x4y100与6x8y100之间的距离；（2）设点A（a，5）到直线4x3y20的距离为2，求a；（3）直线过点A（2，2），且与X轴，Y轴围成的三角形的面积等于1，求直线方程。例8、（1）求分别过原点和点A（1，3），且距离等于的两条平行线的方程；（2）已知平行线3x2y60和6x4y30，求与这两条平行线距
7、离相等的轨迹方程；（3）已知点P（3，5）、A（1，2）、B（3，4），直线L过点P，且使点A、B到直线L的距离相等，求直线L的方程。例9、（1）求点A（2，3）关于直线L：xy10的对称点A的坐标。（2）求直线L：x2y40关于直线m：yx的对称直线L的方程。（3）求直线L：xy20关于直线m：3xy30的对称直线L的方程。（4）求曲线C：x24x4y60关于点M（1，）对称的曲线C的方程。（5）不论m为何实数，求直线ym(2x)1过所经过的定点，例10、在曲线C：2xy210上求一点P，使点P到直线L：2xy30的距离最短，并求最短距离。类比练习（1）直线1、 （1）若点A（1，1），B（
8、1，1），点P分线段AB成定比2。求点P的坐标；（2）已知A（0，2）、B（1，1）、P（2，0），求点P分线段所成的定比；2、 （1）求过点P（2，3），斜率k4的直线方程；（2）求过点P1（1，2）P2（3，2）的直线方程（斜率）；（3）写出直线的截距式方程，并求出在X轴和Y轴上的截距。（4）求过点（1，5），平行于y轴的直线方程；（5）求过点（4，2），倾斜角为90的直线方程；（6）求斜率为2，纵截距为3的直线方程；3、（1）已知点A（0，0），B（2，1），C（1，3），求线段BC的中点到点A的距离；（2）已知点A（5，2），B（3，0），C（0，4），求AB、BC、AC的直线方程的一
9、般式；（3）已知平行四边形ABCD的三个顶点依次为A（1，1），B（2，2），C（3，1），求第四个顶点D的坐标。4、（1）求经过A（2，2）B（1，1）两点的直线的斜率和倾角；（2）求直线的倾角；（斜率，在X轴和Y轴上的截距）5、（1）求过点P（2， 1），且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍的直线方程；（2）过点（0，1）且倾斜角的正弦值为的直线方程；（3）过点（1，3）且倾斜角的余弦值为的直线方程；（4）过点（2，3）且在x轴、y轴上的截距之和为10；（5）求倾斜角为30，在y轴上的截距为的直线方程；（6）求经过点P（1，2），倾角是150的直线方程；6、（1）直线L与L1：2xy10在Y轴上
10、的截距相等，而倾斜角是L1倾斜角的二倍，求直线L的方程。（2）求过直线3x2y10与2x3y50交点，平行于直线6x2y50的直线方程。7、（1）求过点（2，1）且平行于直线3xy50的直线方程；（2）求过点（1，1）且垂直于直线2xy30的直线方程；（3）直线y=3x1与直线xay10垂直，求参数a；（4）已知直线L与L1的夹角为60，而直线L1的方程为2xy30，直线L经过点P（1，2），求直线L的方程；（5）若直线L1与L2的斜率分别是方程的两根，求这两直线的夹角。（6）求直线xy20与直线xy40的夹角；求直线3xy150与直线y2x1的夹角；求直线3x4y20与直线x1所成角的正切值
11、；（7）已知直线L1：axby40，直线L2：（a1）xyb=0，若L1和L2平行于直线x2y30，求a和b。（8）已知直线L1：3xy120，L2：3x2y6=0，求L1和L2与x轴所围成的三角形的面积。已知直线L1：3x4y120，L2：3x2y6=0，求（a）L1和L2与x轴所围成的三角形的面积。（b）L1和L2与y轴所围成的三角形的面积。直线L的斜率k，且直线L与两坐标轴围成的三角形面积S3，求直线L方程。（9） 点（a，1）到直线3x4y90的距离为2，求a的值；（10） 点（4，a）到直线4x3y10的距离不大于4，求a的取值范围；8、（1）求两条平行直线3x4y10与9x12y5
12、0之间的距离；求两条平行直线3x2y60与6x4y70之间的距离；（2）已知平行线2x3y10和4x6y110，求与这两条平行线距离相等的轨迹方程；（3）已知点A（1，2），B（2，4）两点，求到A、B两点距离相等的点的轨迹方程。如果直线ax3y50经过线段AB的中点，求a。9、若直线L1：axy30垂直于直线L2：2x3yc=0,且垂足为（2，m），求a、c、m。10、一直线通过点A（2，2），且被两平行直线L1：3x4y0和L2：3x4y20=0所截线段的长等于5，求这条直线的方程。（提示：利用两条直线的夹角先求得所求直线的斜率，用点斜式求得一条直线的方程，另一条直线需用特殊位置的直线方程）10、（1）求点A（3，1）关于直线L：xy10的对称点A的坐标。（2）已知直线L：2xy20，求直线L关于X轴对称的直线方程；求直线L关于Y轴对称的直线方程；求直线L关于直线m：xy30对称的直线方程。11、在曲线C：y24x8上求一点P，使它到直线L：xy50的距离最短，并求最短距离。12、不论m为任何实数，下列直线必通过一个点，并求出这个定点的坐标。（1）（m1）x（2m5）y 60；（2）（m1）x2m107
