2.5 证明，若是正交尺度函数，它的两尺度方程为若令，则下式对所有成立。其中，表示取共轭。证明：记 （1）则，需要证明的结论是： （2） 以下分两种情况进行证明：情况1 当时，由，可得 （3）对式（3）中最后一个等式的第一项作变量替换，可以得到：由于对任意的整数，与具有不同的奇偶性，所以：根据尺度函数系数序列的性质可以得到：，因此。情况2 假设，则由式（1）及，可得 （4）a）若为偶数，不妨设为，那么式（4）变为： （5）对式（5）中第一项作变量替换，可以得到： （6）同样地，由于对任意的整数，与具有不同的奇偶性，所以式（6）中的所有项的和正是项对所以n求解的结果。即其中，。根据尺度函数系数序列的性质：，可以得到：b）若为奇数，不妨设为，则有对上式第二个等式中的第二项进行变量替换，可以得到注意到前后两项互为相反数，相加的零。综上所述。证毕！
