1、精品资源g3.1051 三角形中的有关计算和证明一、知识回顾本节公式中，sabc , ,r 为内切圆半径， R 为外接圆半径，为三角形面积 .2（一 ).三角形中的各种关系设 ABC 的三边为a、 b、c，对应的三个角为A、 B、 C1角与角关系：A+B+C = ，2边与边关系：a + b c， b + c a，c + a b，a b c， b c b3边与角关系：abc1）正弦定理s i nB2Rs i nAs i nC2）余弦定理c2 = a2+b2 2bccosC， b2 = a2+c2 2accosB， a2 = b2+c2 2bccosA它们的变形形式有：a = 2R sinA， s
2、in Aa ， cos Ab 2c2a 2sin Bb2bc3）射影定理：a b cosC ccosB，b acosC ccosA，c a cosB c cosA4）正切定理：bsin Asin Btg A2BaABabsin Asin Btg2 .(轮换 )5）模尔外得公式：a bcos ABabsin A2B2,;cCcCcossin226）半角定理： sin A( sb)( sc)2bccos As(sa)2bctg A(s b)( s c)1(sa)( s b)( s c)2s(s a)sasrsa（以上公式均轮换）7）面积公式：欢下载精品资源21ah1absinC a sinBsin
3、C 2R2 sinAsinBsinC2a22sin(B C)s2tgAtg BtgC r2ctgActgBctgC rs abc2222224Rs(s a)(s b)(s c)（二）、关于三角形内角的常用三角恒等式：1. 三角形内角定理的变形由 A B C ，知 A （ B C）可得出：sinA sin（ BC）， cosA cos（B C）而 A2BC 有： sin Acos BC ， cos Asin B C 2222222.常用的恒等式：（ 1） sinA sinB sinC 4cos A cos B cos C 222（ 2） cosA cosB cosC1 4sin A sin B
4、sin C 222ABcos C （ 3） sinA sinB sinC 4sin sin222（ 4） cosA cosB cosC 1 4cos A cos B sin C 222（ 5） sin2A sin2B sin2C 4sinAsinBsinC（ 6） cos2A cos2B cos2C 1 4cosAcosBcosC222（ 7） sin A sin B sin C 2 2cosAcosBcosC（ 8） cos2A cos2B cos2C 1 2cosAcosBcosC二、基本训练1、在ABC 中，已知 sin B3 ,cos A 5 ，则 cosC .5132、在ABC 中，
5、 A B 是 sin Asin B 成立的.条件 .3、在ABC 中，若 sin Asin Bcos Acos B ，则ABC 的形状为.4、在ABC 中，( 1tan A)( 1tan B )2 ，则 log2 sinC .5、在ABC 中， a,b,c 分别是角 A 、 B、 C 所对的边，若 ( abc )(sin Asin BsinC )3a sin B ，则C .三、例题分析例 1、在ABC 中， a4,bc5,tan Atan B3( 1tan Atan B ) ，求 sin A .欢下载精品资源例 2、在ABC 中，已知 a2 tan Bb2 tan A ，试判断ABC 的形状
6、.例 3 、 已 知A 、 C是 三 角 形ABC 的 两 个 内 角 ， 且 tan A,tanC 是 方 程x23 p x 1 p0 ( p 0的两)个实根。（ 1）求 tan( AC )的值；（ 2）求 tan A、 tanC 的取值范围；（3）求 p 的取值范围 .例 4、已知 ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列，且112 ，求 cos AC的值 .cos AcosCcos B2例 5、（05 湖南卷） 已知在 ABC 中，sinA（sinBcosB） sinC 0， sinBcos2C0，求角 A、 B、C 的大小 .四、作业同步练习 g3.1051三角形中的有关计算和证明1、
7、ABC 中， A 、B 的对边分别是 a、 b ，且 A=60 , a6 , b4 ，那么满足条件的ABCA 、 有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定2、在ABC 中，若 sin A2sin B cosC0 ，则ABC 必定是A 、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰三角形3、定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f ( x 2) f ( x) ，且在区间 3, 2 上是减函数，若 A 、 B 是锐角三角形的两个内角，则A 、 f (sin A)f (cos B)B、 f (sin A)f (cos B)C、 f (sin A)f (sin B)D、 f (cos A)f (
8、cos B )4、（全国卷）在ABC 中，已知 tan ABsin C ，给出以下四个论断：2tan A cot B1 0sin Asin B2sin 2 Acos2 B1cos2 Acos2 Bsin 2 C其中正确的是（A ）（ B）（ C）（D）5、（江西卷）在 OAB 中， O 为坐标原点， A(1, cos ), B(sin,1),(0, ，则当 OAB 的面2积达最大值时，欢下载精品资源A BC3D2646、在ABC 中，若其面积 Sa2b2c2，则 C =_。437、在 ABC 中，A60 , b 1，这个三角形的面积为3 ，则 ABC 外接圆的直径是 _。8、在ABC 中，若
9、a(bcos BccosC )(b 2c2 )cos A ，试判断ABC 的形状。9、在 ABC 中，a、 b、 c 分别为角 A 、B、C 的对边，已知 tan A tan B3 tan Atan B 3 , c7 ，2又 ABC 的面积 S=33 ，求 ab 的值。210、已知 a、 b、 c 是 ABC 的三条边，且 sin( AB )2c b ，求 cos BC .sin( AB )2c211、已知 A 、B、 C 为ABC 的三个内角，且f ( A, B)sin2 2 Acos2 2B3 sin 2Acos2B2 。（1）当 f ( A, B) 取得最小值时，求C；（2）当 AB时，
10、将函数 f ( A, B) 按向量 p 平移后得到函数f ( A)2 cos2 A ，求向量 p 。2答案：基本训练 、1、 162、充要3、钝角三角形4、15、3652例题分析 、例 1、4 3例 、等腰三角形或直角三角形例 （ ）3（ ）tan A 3，723 12 00 tanC3(3) 2p1例 4、232例 5、解法一由 sin A(sin Bcos B)sin C0 得 sin A sin Bsin A cos Bsin( AB) 0.所以 sin Asin Bsin Acos Bsin Acos B cos A sin B0.即 sin B(sin Acos A)0.因为 B(0
11、, ), 所以 sin B0 ，从而 cos Asin A.欢下载精品资源由 A (0,), 知 A. 从而 B C34.4由 sin Bcos 2C0得 sin Bcos 2( 3B)0.4即 sin Bsin 2B0.亦即 sin B2 sin B cos B0.由此得 cos B1 , B, C5 .所以 A, B, C5 .23124312解法二：由 sin Bcos2C0得 sin Bcos 2Csin( 32C ).2由 0 B 、 c由 sin A(sin B所以 sin Asin B 即 sin B(sin A，所以 B32C. 即 B 2C2C或 B22cos B) sin C0 得 sin A sin Bsin A cos Bsin Acos Bsin Acos Bcos A sin B 0.cos A) 0.因为 sin B0 ，所以 cos A3或 2CB.22sin( AB)0.sin A.由 A (0, ),知 A. 从而 BC3，知 B+2C= 3不合要求 .442再由 2C B1，得 B, C5 .所以 A, B,C5 .23124312作业、 1 5、 CDABD6、7、2 39、等腰三角形或直角三角形9、11、66382104、（ ）2（2）,3)()11 1 C3或2p (kkZ6欢下载
