1、概率与统计专项练习（解答题）1（ 2016 全国卷， 文 19，12 分）某公司计划购买1 台机器， 该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使用期间， 如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：频数2420161060161718192021更换的易损零件数记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） ， n 表示购机的同时购买的易损零
2、件数（）若 n 19，求 y 与 x 的函数解析式；n”的频率不小于 0.5 ，求 n 的最小值；（）若要求“需更换的易损零件数不大于（）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件，分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买19 个还是20 个易损零件？解：（）当 x19 时， y 3800当 x 19 时， y 3800 500( x 19) 500x 5700y与x的函数解析式为，19(x )y， 19N（）需更换的零件数不大于18 的频率为 0.46 ，不大于19 的频率为 0.7
3、 n 的最小值为 19（）若同时购买19 个易损零件则这 100 台机器中， 有 70 台的费用为3800，20 台的费用为4300，10 台的费用为 48001(3800 70 4300 20 4800 10) 4000平均数为120 个易损零件若同时购买则这 100 台机器中，有90 台的费用为4000， 10 台的费用为 45001(40 90 45 100)4050平均数为1 4000 4050同时应购买 19 个易损零件2（ 2016 全国卷，文18，12 分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出
4、险次数01234保费0.85 aa1.25 a1.5 a1.75 a2a随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234频数605030302010（）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求() 的估计值；P A（）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 ”，求 ( ) 的估计值；P B（）求续保人本年度的平均保费估计值解：（）若事件 A发生，则一年内出险次数小于2则一年内险次数小于 2 的频率为 P( A) 0.55 P( A) 的估计值为 0.55（）若事件 B发生，则一年内出险次数大于1 且小于
5、4一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 P( B) 0.3 P( B) 的估计值为 0.3（）续保人本年度的平均保费为1 (0.85 a60 a 50 1.25 a 30 1.5 a 1.75 a 2a1 ) 1.1925 a3（ 2016 全国卷， 文 18，12 分）下图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t的关系，请用相关系数加以说明；（）建立 y 关于 t的回归方程（系数精确到0.01 ），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量附注：777y)2参考数据：9.32 ，( yi 0.55 ，
6、2.646 yti yi40.17ii1i 1i 1n(tit)( yiy)参考公式：相关系数r i 1nn(tit) 2( yiy)2i 1i1回归方程 t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：n(t it )( yi y) i 1，nt ) 2(tii 1解：（）由折线图中数据得1 2 34 5 67) 41 分 (1777由附注中参考数据得(ti t)( yiy) ti yi tyi 40.17 4 9.2.89i 1i 1i 12 分7t ) 2(t ii 1(t14)2(t 24) 2(t34) 2(t44)2(t 44) 2(t64)2(t 74) 228 3 分7( yiy)2
7、 0.55 4 分i 1n(tit )( yiy)2.892.89r i 1nnnn28 0.55(tit) 2( yiy) 2(tit) 2( yiy)2i 1i 1i1i 1 .995 分 y 与 t的相关关系 r近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高可以用线性回归模型拟合y 与 t的关系6 分7yi9（） i11.1分7n(tit )( yiy) i1 9 .1分nt ) 2(tii 1 1.331 .14 .9 9分 y 关于 t 的回归方程为 0.92 0.103 t 10 分2016 年对应的 t 911 分把 t 9 代入回归方程得 0.92 0.103 9 1
8、.82预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82 亿吨 1分4（ 2015 全国卷，文19， 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x( 单位：千元 ) 对年销售量 y( 单位： t ) 和年利润 z( 单位：千元 ) 的影响对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi ( i 1， 2， 8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值( xi ) 2( wi ) 2( xi ) ( yi )( wi ) ( yi )11 1146.65636.8289.81.61469108.8i，1i表中 ww 1（）根据散点图判断，y a bx 与
9、y cd 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型？( 给出判断即可，不必说明理由)（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x， y 的关系为 z 0.2 y x根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据( u1，v1) ，( u2，v2) ， ( un，vn) ，其回归直线v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1， 1解：（） y c d 适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型2 分（）令 w ，先建立 y 关于 w
10、的回归方程由于 1 1. 68分1. 1 563 .8 100.6 4 分 y 关于 w的回归方程为 100.6 68w分 y 关于 x 的回归方程为 100.6 68分（）（）由（）知，当x 49 时y 的预报值100.6 6849 576.6 7 分z 的预报值576. .2 4966.32 9 分（）根据（）的结果知z 的预报值0 2(100.6 68) x x 13.6 20.12 1分当 1 . 6.8 ，即 x 46.24时， 取得最大值 11分年宣传费为 46.24千元时，年利润的预报值最大12 分5（ 2015 全国卷，文18， 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A
11、， B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B地区用户满意度评分的频数分布表B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50， 60)60 ， 70)70 ， 80)80 ，90)90 ， 100频数2814106（）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度( 不要求计算出具体值，给出结论即可) ；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90满意度等级不满意满意非常满意分估计哪个地区用户的满意度等级为
12、不满意的概率大？说明理由解：（） 4 分（）B 地区的平均值高于A 地区的平均值B 地区比较集中，而A 地区比较分散A 地区不满意的概率大7 分5 分分记 CA表示事件：“ A 地区用户的满意度等级为不满意”CB表示事件：“ B地区用户的满意度等级为不满意”9 分由直方图得P( CA) (0.01 0.02 0.1 0.6 1分P( CB) (0.005 0.1 0.25 11 分 A 地区不满意的概率大1分6（ 2014 全国卷，文18， 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75 ， 85)85 ， 95)
13、频数62695， 105) 105 ， 115) 115，125)38228（）作出这些数据的频率分布直方图；（）估计这种产品质量指标值的平均数及方差( 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ) ；（）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品% ”的规定？解：（）4 分（）平均数为 .06 9 .26 1 .38 11 .22 1 .08 100 方差为 S2 1 6 (80 100) 2 26 (90 100) 2 38(100 100) 21 22(110 100) 2 8 (120 100) 2 104平均数为100，方差为10
14、4分（）质量指标值不低于95 的比例为0.38 0.22 0.08 0.68 10 分 0.68 0.8 11 分不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的% ”的规定 1 分7（ 2014 全国卷，文19， 12 分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50 位市民根据这 50 位市民对这两部门的评分 ( 评分越高表明市民的评价越高) ，绘制茎叶图如下：甲部门乙部门35_9440_4_4_89_751_2_2_4_5_6_6_7_7_7_8_99_7_6_6_5_3_3_2_1_1_060_1_1_2_3_4_6_8_89_8_8_7_7_7_
15、6_6_5_5_5_5_5_4_4_4_3_3_3_2_1_0_070_1_1_3_4_4_96_6_5_5_2_0_081_2_3_3_4_56_3_2_2_2_090_1_1_4_5_6100_0_0（）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90 的概率；（）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价解：（）甲的评分由小到大排序，排在第25，26 位的是75， 75样本中位数为75甲的中位数是75乙的评分由小到大排序，排在第25， 26 位的是66， 68样本中位数为67乙的中位数是67（）甲的评分高于90 的概率为 0.1乙的评分高
16、于90 的概率为 0.16甲、乙的评分高于90 的概率分别为0.1 ， 0.16（）甲的中位数高于对乙的中位数甲的标准差要小于对乙的标准差甲的评价较高、评价较为一致，对乙的评价较低、评价差异较大8（ 2013 全国卷， 文 18，12 分）为了比较两种治疗失眠症的药( 分别称为 A药，B 药 ) 的疗效，随机地选取20 位患者服用 A 药， 20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间( 单位： h) 试验的观测结果如下：服用 A药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.
17、71.52.93.03.12.32.4服用B药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：（）设 A 的平均数为， B 的平均数为1 (0.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5) 2.3 1 (0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1
18、 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.) 1.6 A 药的疗效更好（）茎叶图如下：从茎叶图可以看出A 的结果有1的叶集中在茎2， 3 上B 的结果有1的叶集中在茎0， 1 上 A 药的疗效更好9（ 2013 全国卷，文19， 12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500 元，未售出的产品，每1t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以 X( 单位： t ，1 X1表示下一个销售季度内的市场需求量，
19、T( 单位：元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（）将 T 表示为 X 的函数；（）根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率解：（）当 X1， 130) 时， T 500X 300(130 X) 800X 39000当 X1， 150 时， T1 65000 X 9，1 X1T，1 X1（）由（）知利润T不少于57000 元，当且仅当1 X1由直方图知需求量X1， 150 的频率为 0.7下一个销售季度内的利润T 不少于57000 元的概率的估计值为0.710（ 2012 全国卷，文 18， 12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格
20、出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 y( 单位：元) 关于当天需求量 n( 单位：枝，n N) 的函数解析式；（）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量( 单位：枝 ) ，整理得下表：日需求量 n14151617181920频数10201616151310（）假设花店在这100 天内每天购进17 枝玫瑰花，求这100天的日利润 ( 单位：元 )的平均数；（）若花店一天购进17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75 元的概率解：（）当日需求量n1时，利润 y 85当日需求量 n 17时，利润
21、y 10n 851 ， 1所以 y 关于 n 的函数解析式为 y， 1( n N)（）（）解法一：由表格可得有 10 天的日利润为514 55 元有 20 天的日利润为15 2 65 元有 16 天的日利润为16 1 75 元有 16 15 13 10 54 天的日利润为85 元这 100 天的日利润的平均数为1 1 4 76.411 （）解法二：1 ， 1由（） y( n N) 得， 1当 n 14 时， 10 天的日利润为 10n851 14 8555 元当 n 15 时， 20 天的日利润为 10n851 15 8565 元当 n 16 时， 16 天的日利润为 10n851 16 85
22、75 元当 n1 时， 54 天的日利润为85 元这 100 天的日利润的平均数为11 1 4 76.41（）利润不低于 75 元，当且仅当日需求量不少于16 枝当天的利润不少于75 元的概率为 P 0.16 0.16 0.15 0.13 0.1 0.711（ 2011 全国卷，文 19， 12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品现用两种新配方( 分别称为 A 配方和 B 配方 ) 做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组90 ， 94)94 ，
23、 98)98 ， 102)102 ， 106)106 ， 110频数82042228B 配方的频数分布表指标值分组90 ， 94)94 ， 98)98 ， 102)102 ， 106)106 ， 110频数412423210（）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用B配方生产的一件产品的利润y( 单位：元 ) 与其质量指标值t 的关系式为 ， 94y，94 1 ，估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于0 的概率，并求用 B4， 1配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润解：（） A 配方的优质品的频率为 0.31 A 配方的优质品率为0.3110.42 B 配方的优质品率为0.42（）用 B 配方的利润大于0，当且仅当t 94 t 94 的频率为 0.96 B 配方的利润大于0 的概率为 0.96B 配方的利润为11 4 2) 4 4 4 2.68( 元 )
