1、高考数学新题型选编(共 70个题)i、(i)已知函数：f(x)(口)n n 证明：ab_?n i(xnb n /-)(aa) (x0,b 0,(in)定理：若a1,a2,a3L ak均为正数，则有nai(其中a)n,(x 0,n n-a?a3Lk 2,k N卜为常数).请你构造一个函数当a”a2,a3,L 卜道卜i均为正数时,n n naia?a3),nnakkg(x),证明:nLak iN )求函数f (x)的最小值；ai a? a3 L生)n成立i)令 f(x) ?ninxni x a 时，？x x an(a x)n i f(x)k i0得(?x)ni (a x)ni(aia?a3k?x
2、a xak i ) n(口)故f (x)在0, a上递减.a, f (x) 0故f(x)在(a,)上递增.所以，当x a时，f(x)的最小值为f (a) 0.4 分f(a) 0 即 f(b) ?n i(an bn) (a b)n 0n n+Zr a b故 ?(a 0 , b 0 , n Nn a(m)证明：要证：zlna?na3k只要证：(k i)ni(annL ak i iaia? a3La-设 g(x) 则 g(x)(k(knn 1 n n(ai a?n a?na3na3L令 g(x)ain(aii)na2a? L故g(x)在a. 0,-所以当xaia?i n inxai a?n(aiLa
3、ka?Ln x )Lani) (ai(ai a? a3n iak x)i a?L)nna3 L ak i)x)n 7分而g.(k i)nkn一(k i)niknL k ak a?,L akL i- kn(a；k鬼时，g(x)n ix)Lkak 时, kn(ai a?ak 上递减,.8分(kna?kn(ain an由定理知：kn i(anna?Q ak i 0,)g(akn in(kx xn(ai a? LL ak x)n i 0akn ix)n i , n故(k i) (ain n n即：a一a?一a3n i ni) aian)i)n na?a3L_ nak2、用类比推理的方法填表等差数列an
4、中类似地可证g(x)在(ai a? L kg(x)的最小值为g(ai a? L kna?a a? l aan)k(ainxak)g(-(aia?a? Kak)n (k i)(aiLak)n =(k i)niknin 1 n _nk (a a?a?a? Lak)n0 故 g(aak,)递增10分a a? l a)nak)n(a aa)na?L ak)kak)an i) (ai(aia?a3ka?L ia3 Ln ak i)ak i )n.i4等比数列bn中a3= a2 db3b2 ?qa3ada?a5b3 ?b4b2?b5a a2 a3 a4 a55%一 、_5答案：bi ?b2?b3?b4?b
5、5 b33、10.定义一种运算“ *”：对于自然数n满足以下运算性质：(i) 1*1=1, (ii ) (n+1) *1 = n*1+1,则 n*1 等于2.A. n B . n+1C . n -1 D . n 答案：D4、若 f(n)为 n2 1(nN*)的各位数字之和，如：142 1 197,1 9 7 17,则 f(14) 17;记n) f(n), f2(n)f(f1(n), ,fk1(n) f(fk(n),k N*,则f2008(8) _答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面在，请说明理由;(2)若SA 面ABCD E为AB中点，求二面角 E-SC-D的大小;(
6、3)求点D到面SEC的距离。(1)存在一条侧棱垂直于底面(如图) 3分证明： SA AB, SA AD ,且AB AD是面ABCCrt的交线(2)分别取SC SD的中点G F,连GE、GR FA,则 GF/EA,GF=EA, AF/EG而由SA 面ABCD导SA CD,又 AD CD CD 面 SAD CD AF又SA=AD,F是中点， AF SDAF 面 SCD,EG 面 SCD, 面SEC 面 SCD所以二面角E-SC-D的大小为90 10分作DH SC于H,面 SEC 面 SCD, DH 面 SEC,DH之长即为点D到面SEC的距离，12分在 Rt SCD中，DHSD-C2a a 也 a
7、SC 3a 3於答：点D到面SEC的距离为 a 14分3SA 底面ABCD 5分6、一个计算装置有一个入口 a和一输出运算结果的出口b,将自然数列 n (n 1)中的各数依次输入 a1一，从b 得到输出的数列an ，结果表明：从a 输入n 1时，从b 得a1 一；当n 2时，3从a 口输入n,从b 口得到的结果an是将前一结果an 1先乘以自然数列 n中的第n 1个奇数，再除以自然数列 an中的第n 1个奇数。试问：(1) 从a 口输入2和3时，从b 口分别得到什么数？(2) 从A 口输入100时，从B 口得到什么数？并说明理由。解(1)a2ai1 515a3a2 335(2)先用累乖法得an
8、I*(n N ) (2n 1)(2 n 1)得 a1oo11(2 100 1)(2 100 1) 399997、在AAB8，B( 2,0), C(2,0), A(x, y),给出 ABO足的条件，就能得到动点 A的轨迹方程, 下表给出了一些条件及方程：条件方程4AB洲长为10一2一C1 ： y 25ABC积为10-22，-、C2： x y 4 (y 0)AB/，/ A=9022C3： 土 1 (y 0)95则满足条件、的轨迹方程分别为 (用代号C1、C2、C3填入)答案：C3C1C28、已知两个函数f (X)和g(x)的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表x123f (x)231填写下
9、列g f (x)的表格，其三个数依次为x123g (x)132x123g (f (x)A. 3,1,2B .2,1,3C. 1,2,3 D. 3,2,1答案：D9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“当 a b 时，a b a ；2当 a b 时，a b b 。则函数 f (x) (1 x) - x (2 x) x(“/和“一”仍为通常的乘法和减法)A. 1如下:2, 2的最大值等于(B. 1 C. 6C )D. 1210、已知x R, x表示不大于x的最大整数，如；使x 13成立的x的取值范围是C,1113二L匚22答案：20 ,则V311、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否
10、在直线y x上”这个课题，我们可以分三步进行研究:(I)首先选取如下函数：y 2x 1 , y 2x , yXx1x 1求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：_, x 1y 2x 1与其反函数y 的交点坐标为(1, 1)22xx y与其反函数y的交点坐标为(0, 0), (1, 1)x 12 x1 515yJx1与其反函数y x2 1, (x 0)的交点坐标为(, ),(1,。)，2 2(。，1)(II )观察分析上述结果得到研究结论；(ill )对得到的结论进行证明。现在，请你完成(II )和(ill )。解：(II )原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y=x上 2分(III )
11、证明：设点(a, b)是f (x)的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关 于直线y = x对称，则点(b, a)也是f (x)的图象与其反函数图象的交点，且有b f(a), a f (b)若a=b时，交点显然在直线 y x上若ab且f (x)是增函数时，有 f(b) f (a),从而有ba,矛盾；若ba且f(x)是增函数时， 有 f(a) f(b), 从而有ab,矛盾若ab且f (x)是减函数，有 f(b) f(a)， 从而ab成立，此时交点不在直线 y=x上；同理，b0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明
12、理由.答案：解：(I) f (0) =1.表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化.(口)设清洗前蔬菜上的农药量为1.22，1 a1,那么用a单位量的水清洗1次后.残留的农药量为 W=1Xf (a)又如果用a单位量的水清洗1次，残留的农药量为1Xf2(A此后再用a单位量的水清洗1次后,2残留的农药量为w=11 (2)2(-)=21-2=1 (|)2162 2(4 a )16a2(a2 8)22、222X2a (4 a )(1 a )(4 a )故当a2 J2时，此W,此时,把a单位量的水平均分成 2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当 a=2 J2时，WW,此时，两种清洗方式效果相同； 当a
13、2 Siu 2= Sm+ afr 1 + am 2.由已知 2Sn+ 2=Srn+ Smn 1,2（ Sm+ aM 1+a叶 2） = $十（Sm+ a叶 1）,1即数列an的公比q= 2. amn 1 = 2am, a+2143m,一 2ami2 = am+ arr 1, 一amam 2a谊1成等差数列.口）（ I ）的逆命题是：若am, amn 2, a 1成等差数列，则 设数列an的公比为 q, 二 前1= amq, am+ 2 = amq2.Sn,8 2,Smn 1成等差数列.19、20、由题设，2a叶2”2”21am+ am+1,即 2amq = am+ amq,即 2q q 1 =
14、 0, ： q= 1 或 q= - 2.当q= 1时，A 0,Sm,壬2,S 1不成等差数列.逆命题为假.2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取 本地区确定的标准，情况如右表： 本地区在“十一五”规划中明确 提出要缩小贫富差距，到 2010年要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，贝1000户,按高收入中等收入低收入同25必家庭“00户475户量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别为A. 25% , 27.5% B , 62.5% , 57.9% C一个三位数abc称为“凹数”，如果该三位数同时满足个数是答案：三位“凹数”可分两
15、类：一类是aba,共有C20故共有45+240 = 285个21、定义运算ad bc,若复数x -i 3 i22、从装有种取法。a0Cnm).25% , 57.9% D , 62.5%,42.1%2 c10 = 240,20%氐收入15?ab且bc,那么所有不同的三行n 1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出在这Cnm1C11 Cm 1种取法中，可以分成两类：八0 八mm 八m 1C1 C n 1,即有等式：CnCn45,另一类是4i 3 xm个球0类是取出的abc, a，c,共有o答案：-4n,m,n N ，共有 Cn个球全部为白球，共有八 m . .Cn 1成立。试根据上述思想化简下
16、列式子:m1m 12 cm2k cmkCn CkCnCkCn L CkCn (1 k m n,k ,m, n N)答案：Cnnmk 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从n k个球(n个白球，k个黑球)中取出 m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，k个黑球等 k 1类，故有Ck种取法。n k23、定义运算x*v=y ,若|ml|Xm=|m-1| ,则m的取值范围是m y(x y)224、在公差为d(d 0)的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则数列S20 Si0,S30 S20, S40 S30也成等差数列，且公差为100d ,类比上述结论，相应地在公比为q(q 1)的等比数列 bn中，
17、若Tn是数列 bn 的前n项积，则有=巨,巨,巨也成等比数列，且公比为q100。T10 T20 T302353225252245423525325、考察下列一组不等式：将上述不等式在左右两端仍为两项和的情5511225222522252况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 m n m n m n n ma b a b a b a,b 0,a b, m, n 026、对任意实数x, y ,定义运算x* y ax by cxy ,其中a, b, c为常数，等号右边的运算是通常 意义的加、乘运算。现已知 1*2 4,2* 3 6,且有一个非零实数m ,使得对任意实数x
18、,都有x* m x,则 m 5 o27、对于任意实数x ,符号x表示x的整数部分，即x是不超过x的最大整数”。在实数轴R (箭头 向右)上x是在点x左侧的第一个整数点，当 x是整数时x就是x。这个函数x叫做“取整函 数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 log 21 log 2 2 log 2 3 log 2 4 log 21024 =820428、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆 料”：媒体A: “,凯尔特人俱乐部出价已从 80万英
19、镑提高到了 120万欧元。”媒体B: “,凯尔特人俱乐部出价从 120万欧元提高到了 100万美元，同时增加了不少附加条件。”媒体C: “,凯尔特人俱乐部出价从 130万美元提高到了 120万欧元。”请根据表中提供的汇率信息 (由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值)，我们可以发现只有媒体 C (填入媒体的字母编号)的报道真实性强一些。汇率欧元兑美元bL 19英镑兑欧元1:1, 5229、已知二次函数 f xx2 ax a x R同时满足：不等式 f x0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在 0 Xi x2 ,使得不等式f Xi 设数列an的前n项和Snf n ,(1)求数列
20、 an的通项公式；(2)试构造一个数列 bn ,(写出bn的一个通项公式)f x2成立。满足：对任意的正整数n都有bn an ,且lim包 2,并说明理由;nbn(3)设各项均不为零的数列cn中，所有满足ci0的正整数i的个数称为这个数列cn的变号数。令cn(n为正整数)，求数列cn的变号数。解：（1） f xa n0的解集有且只有一个元素，.a2 4a 0a0或 a 4,函数f x在0,上递增，故不存在0x1x2，使得不等式f x1当af X2成立。4时，函数f4x0,2上递减，故存在0x1X2 ，使得不等式f x1综上,f x2成立。得 a 4, f x4x4,Snn2 4n 4(2；力要
21、府 lim n;当n氨n. 2 bn2时，nk,对任意的正整数n都有bn又bn0,(3)解法一：由题设cn递增,2n 5恒成立,5 k恒成立，即5 kk 3,n 3时，cn3,n 14-n2n 54cn2n 52n2n 5 2n 33时，数列cn- a42n 55，可知a4 a50 ,即n3时，有且只有1个变号数；又; c1综上得3。5q3,即c2数列cn共有3个变号数，即变号数为0,c2 c33。0,：此处变号数有2个。解法二：由题设cn3,n 142ncn cn 102n2n又丁 c1综上得数列cn2n 53,c22n 35, n,n5时3 021时也有5 T 7一或一c c2共有3个变号
22、数，即变号数为 3。30、在R上定义运算:xAy=x(1 -y)若不等式(x-a) (x+a)0)上变化,求2y的最大值;2由4么条件就可使2 y b2x、0能否确定一个函数关系式yy之间建立函数关系，并求出解析式。x ，如能，求解析式；如不能，再加什32解：(1)X3_（2）根据14b22 y b2（4分）2y2 y_ b22y0得x22 y b25 5分）（7分）当b2口 一4当b23 14b时,b时,2ymax2b b24,4,(2)不能x、y之间建立函数关系2ymax2b2ymaxb2（10 分）（11 分）（12 分）（14 分）32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，
23、铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木1 板的钉子长度后一次为前一次的一k Nko已知一个铁钉受击 3次后全部进入木板，且第一次受击，一、，、，4_+，后进入木板部分的铁钉长度是钉长的一，请从这个实事中提炼出7个不等式组是7k47k33、已知P x1 x 9,x N ,记 f a, b,c, d ab cd(其中a,b,c, d P ),例如:f 123,412 3 4有序数组 u,v,x, y10。设 u,v,x,y P ,且满足 f u,v, x, y39和f u, y, x,v 66 ,则是 8,6,1,9 。u x y v 27u x y v 105ux9,yv3ux7,yv1523
24、4、（12 =9 +3）（理）设P表示嘉函数y xc 在0,上是增函数的C的集合；Q表示不等式x 1 x 2cQ的不等式。1对任意x R恒成立的c的集合。（1）求P Q ； （2）试写出一个解集为(文)1 x设P表示嘉函数2c2 6c 8y x上是增函数的c的集合；Q表示不等式c对任意xR恒成立的c的集合。（1）求P Q ； （2）试写出一个解集为的不等式。,23,又不等式x,01,，P Q,0(2)一个解集为P,24,又不等式x(2)一个解集为35、（理）已知a2xc2 5cx在0, 一 一一一2上是增函数，c2 5c 6x 2c1,23,Q的不等式可以是xc2 6c 8 一x 在0,意x
25、R恒成立， 2c 12x3上是增函数，0二。工2-c 6c1,3x 4 c对任意4, xQ的不等式可以是一1x3,x2x R恒成立，：c 3,即Q2,2 , a为正常数。,3（1）可以证明：定理“若a、b R，则ab vab （当且仅当a b时取等号） 2三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）（2）若f x 0在0,2上恒成立，且函数 f x的最大值大于1,求实数a的取值范围，并由 此猜测y f x的单调性（无需证明）；（3）对满足（2）的条件的一个常数 a ,设x x1时，f x取得最大值。试构造一个定义在D xx2,且x 4k 2,k N 上的函数 g x ,使当 x 2,
26、2 时，g x f x ,当x D时，g x取得最大值的自变量的值构成以 x1为首项的等差数列。解：（1）若a、b、c R ,则a b c Vabc （当且仅当a b c时取等号）。3-1 Q）1919（2）f x a x x x a x 0在0,2上恒成立，即ax在0,2上222恒成立,.1 2一 x2又二0,2 , . a2(文).63a时,fmax又丁 x易知,故猜测:2,6 3a9,6a3单调递增。(3)依题意,0,24k已知函数(I)当 b92、66a时,3事,232a2综上,函数有最大值，：x时,单调递减;只需构造以 4为周期的周期函数即可。4k2,4k 2 ,k Nx 4k4ka
27、2 x2 ax0时，若f x4k2 4在2,(n)求满足下列条件的所有实数对a时，函数有最小值。2,213x 4k ,x24k2,4k 2 ,ka, b上单调递增，求a的取值范围；a,b :当a是整数时，存在x0,使得fx0是f的最大值,g x0是g x的最小值；(m )对满足(口)的条件的一个实数对a,b ,试构造一个定义在D|xx 2k 2, k N上的函数h x ,使当x2,0 时，h x f x ,当 xD时,h x取得最大值的自变量的值构成以x0为首项的等差数列。解：(I)当0时，f0, f xax24x,f x 在 2,上单调递减，不符题意。在2,上单调递增,a必须满足 42a(口
28、)若数，0, f x2 4 2bb2x无最大值，故为二次函要使x有最大值，必须满足0b2b 1 v5,42b此时，x x0.4 2b b2,时，有最大值。又g x 取最小值时，xx0有 4 2bb24 2b b2a 0且 1 553。:满足条件的实数对2,5a2此时b 1或a, b1,1,1,3。(m)当实数对 a,b是 依题意，只需构造以1,2 (或1,1,3 时，f xx22x2的正整数倍)为周期的周期函数即可。36、37、解:38、如对 x 2k 2,2 kN,x 2k此时，h x h x 2k一 2 一 一x 2k 2 x 2k有穷数列an, &为其前n项和, 如果有99项的数列 &、
29、az、a3、a1、 a2、 a3、a4、f x 2k2,0 , x 2k 2 2 x,x 2k 2,2k ,k N。定义Tn S1 S2 ：3一团为数列a n的“凯森和”、a99的“凯森和”为1000,贝U有a。的凯森和T100 =先阅读下列不等式的证法, 已知 a1, a2 R , a1证明：构造函数 f ( x) - 2 一f(x) 2x 2(a1因为对一切x R恒有从而得a2 a22 .991100项的数列再解决后面的问题：,2a21,求证a12(x a1) I2a2)x a1f (x) 0,所以(x a?)2a2(1)若 a1, a2, an R, a1 a2(2)参考上述解法，对你推
30、广的结论加以证明。(1)若 a1, a2, ,an R求证：a12 a；(2)证明：构造函数因为对一切从而证得:已知两个向量a (12ana1n (4a2f (x)x R,2a12a222x222x a12a222、8(a a2) 0 0,an 1 ,请写出上述结论的推广式;an 1 ，(x2nx都有2a2) a1)22(a2nx(x a2)22x(xa22a1an)x2a2f (x) 0,所以 =4a 4n(a12212 nan)22a2(112a2(62an (9 )2-an) 0,10g 2 x ,血 xb (log 2 x , t) (x0).(D若t=1且a b,求实数x的值;(2)
31、对解：(1)log 2 xt r写出函数f(x) a b具备的性质.由已知得 log 22 x 2 log 2 x 00或 log 2 x解彳导x一 .2(2) f (x) log 214(1 t) log 2 x具备的性质:偶函数；)也可)；1 t,2k递(x 1 ,当log 2 x 即x 2 下时，f(x)取得最小值(1 ) (写出值域为1 :1 t1 t1 t单调性：在(0,22上递减，2 万，)上递增；由对称性，在2 k,0)上递增，在(减14分说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点x 2 (1 t)等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣
32、1分39、对于集合 N=1,2, 3,，n及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序 重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合1,2, 4, 6, 9的交替和是9 6+ 4 2+1 = 6,集合5的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N=1,2的所有非空子集为1 , 2,1,2,则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2 1)=4 ,请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”N=1,2, 3,，n的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=的总和S、S,并根据其结果猜测集合 n . 2n 1。(不必给出证明)40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦,M是二次曲线上异于 A B的任一点，且 AM BM均与坐标轴不平2x行，则对于椭圆 一2a2 y_ b21 有 K AMK BMb 2-O类似地，对于双曲线ab22 aKam Kbm41、已知 f x lg x2(1) g(x) f
