1、1.1.2余弦定理（二）【课时目标】1.熟练掌握正弦定理、余弦定理.2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题.知识梳理1 .正弦定理及其变形a b c(1) -x= o= k sin A sin B sin C(2) a=, b=, c =.(3)sin A=, sin B, sin C=.(4)sin A ： sin B - sin C=.2 .余弦定理及其推论(1) a2=.(2)cos A=.(3)在ABC43,c2=a2+b2?C为;c2a2+b2?C为；c2bB. abC. a= bD. a与b的大小关系不能确定6 .如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是（）A.锐角
2、三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定题号123456答案二、填空题7.在ABC中，边a, b的长是方程x25x+2=0的两个根，C= 60 ,则边c=8.设2a+1, a, 2a- 1为钝角三角形的三边，那么 a的取值范围是 .9 .已知 ABC勺面积为2小,BC= 5, A= 60 ,则 ABC勺周长是 .10 .在ABC43, A= 60 , b=1, Saabc= 则ABC7卜接圆的面积是 三、解答题11.在ABC43,求证:a2-b2_ SIH A- Bc2 = sin C12.在 ABC中，a, b, c分别是角 A, B, C的对边的长,求 ABC勺面积；(2)若
3、a=7,求角Ccos B=-,且AB- BC= - 21.5【能力提升】13.已知 ABCKAB= 1, BC= 2,则角C的取值范围是(用心爱心专心6兀A. 0c - 0c2D.CC3,、-(2)设BA-BC= 2,求a+c的值.反思感悟1.解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表:已知条件应用定理一般解法一边和两角(如 a, B, C)正弦定理由A+ B+ C= 180 ,求角A;由正弦定理求出 b与c.在有 解时只有一解.两边和夹角(如 a, b, C)余弦定理 正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出小边所对的角；再由
4、A+ B+ C= 180。求出另一角.在有解时只介-解.三边(a, b, c)余弦定理由余弦定理求出角A B;再利用 A+ B+ 0= 180 ,求出角C在有解时只什-解.两边和其中一 边的对角如(a, b, A)正弦定理 余弦定理由正弦定理求出角B;由A+ B+ C= 180 ,求出角 C;再利用正弦定理或余弦定理求c.可用两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.1. 1.2余弦定理(二)知识梳理a b c1. (1)2 R (2)2 FSin A 2FSin B 2Rsin C (3) TT,
5、77) 2 R 2R 2Ra ： b ： c 2.(1) b2 1+c22bccosA (2)b2+c2-a22bc直角钝角锐角 3.(1)兀-y-C(2)sin CCcos C tan C (3)cos -a2+b2-c2 _2ab 一1232+ 52 721则 cos C= 2X3X5 - 2. C= 120 .，最小外角为60 .4. D -2b=a+c,4b2=(a+ c)2,即(ac)2=0.a= c.2b= a+ c= 2a.b= a,即 a= b= c5. A 在ABC4由余弦定理得，c2= a2+b2 2abcos 120 = a2+b2 + ab. c= J2a, 1- 2a
6、2= a2+ b2+ ab.1. a2 - b2 = ab0, 1- a2b2,，ab.6. A 设直角三角形三边长为a, b, c,且a2+ b2= c2,2.22贝U(a+x) +(b+x) (c+x)=a2+b2 + 2x2+2( a+b)x-c2-2cx-x2=2( a+ b- c) x+ x20,c+x所对的最大角变为锐角.7. 19解析由题意:由余弦定理得：c= T9.8. 2a0,，a7,最大边为2a+1.三角形为钝角三角形，a2+ (2 a-1)22, 9. 12解析Sa abc=2AB AC- sin A=AB- AC- sin 60=2.3,.AB- AC= 8, BC=
7、A百+AC 2AB AC- cos A = A+A(C-AB- AC= (AB+ AC23AB AC .(AB AC2=BC+ 3AB AC= 49,.AB+ AC=7,.ABC勺周长为 12.13兀10.亏1解析 Sz ABk 2bcsin，c=4,由余弦定理:a.2R= sin_ =率=A J32A=乎c= Ra2=b2+c22bccos A= 12 + 42 2x 1 x4cos 60 = 13, a=/132 .393 ，R*cN 13 兀一 S外接圆=兀R= 3 .11.证明右边二sin Acos B cos Asin B sin Asin Bsin C - cos B- - cos
8、 A sin Csin C0a2a+ 1, 2a_ZT_+一BA- BC= | BA | BC- cos B= accos B= 21.12.解 (1) AB- bc= -21ac= 35, cos B=二， - sin B=55. S ABA2acsin B= 2X35X5=14.(2) ac= 35, a = 7, 1- c= 5.由余弦定理得，b2= a2+c22accos B= 32,b=442.由正弦定理:sin C sinB.- sin C= bsinB=5=.cb且B为锐角，C一定是锐角.C= 45 .（应用正弦定理）sin C sin A13. A 方法一AB BC sin C
9、 sin A1. sin C= 2sin A -1 0sin A 1,10sin C2.A2BC . CA,C为锐角,.0CX-r.6方法二（应用数形结合）如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点.从点C向圆B作切线，设切点为A和A2,当A与A、A2重合时，角C最大，易知此时:_ 一_ TtBC= 2, AB= 1, AC!AB C=不6一 兀0CK .I)/6八 ,3 14.解(1)由 cos B= 4,得 sin B=由b2=ac及正弦定理得sin 2 B= sin Asin C.cos A cos C sin Ccos A+ cos Csin A+
10、tan C sin A sin Csin a+csinAsinCsin B爱心7sin B 14 ,7=sm= sn-B=亍.，一一 33(2)由BA- BO2得 ca cos B= ,_32由 cos B= 4,可得 ca = 2,即 b = 2.由余弦定理：b2=a2+ c2 2ac - cos B,得 a2+ c2= b2+ 2ac cos B= 5,(a + c) 2= a2+ c2+ 2ac= 5+4 = 9,a+ c= 3.sin作业设计1. C (a+ b-c)( a+b+ c) =ab,a2+ b2-c2= ab,1 cos C= -2,C= 120 .2. C .1 2cos Bsin A=sinC= sin(A+ B), .sinAcos B cosAsin B=0,即 sin( A- B)=0,A= B3.B . a ： b： c=sin A： sin B ： sin C= 3 ： 5 ： 7,不妨设a=3, b= 5, c=7, C为最大内角，
