1、从而在直角三角形ABC43,a bsin A sin Bsin C思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1 . 1-3,当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB bsin A,贝U a- sin Absin B同理可得sin C sin B 从而sin A sin B sin C课题：1.1.1正弦定理如图1. 1-1 ,固定 ABC的边CB及 B,使边AC绕着顶点C转动。 思考：C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角
2、三角形中, 角与边的等式关系。3从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b csin A sin B sin C理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数a ksin A, b ksin B , c ksinC;(2)asin Absin Bsin C等价于asin Asin Csin B sin A sin C从而知正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如bsin Asin B sin A a sin B ob解三角形。已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求
3、其他角的正弦值，如般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作例1.在 ABC中，已知A 45, B 75, a 40cm,解三角形。例2 .在 ABC中，已知a 20cm, b 20J2 cm, A 45,解三角形。练习：已知 ABC中，sin A:sin B:sin C 1:2:3 ,求 a:b:c练习：1.在 ABC中，已知A 450 , C 300 , c 10cm,解三角形。2. 在 ABC中，已知A 600, B 450, c 20 cm,解三角形。3. 在 ABC 中，已知 a 20cm, b 10j2cm, B 300,解三角形。4.ABC中，已知c 10*5b 20
4、 cm,B 450 ,解三角形。补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）如图 1. 1-4 ,在 ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和 C,求边c联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求，发现因 A、B均未知，所以较难求边 由于涉及边长问题，如图1.课题： 1.1.21-5 ，2r r2a b从而c2 a2 b2 2abcosC(图 1. 1-5)同理可证a2b2于是得到以下定理22b c2bccosA22a c2accos B余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。222a b c 2
5、bccosA222b a c 2accos B c2 a2 b2 2abcosC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角? 从余弦定理，又可得到以下推论：,222cosAb c a2bccosB2accosC2ba理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间 的关系，如何看这两个定理之间的关系？若 ABC中，C=900,贝U cosC 0,这时 c2 a2 b2由此可
6、知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例 1 .在 ABC中，已知 a 2J3, c J6, B 450 ,求 b 及 A练习：在 ABC中，若a2 b2 c2 bc ,求角A。例1.在 ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况bsin A分析：先由sin B bs、A可进一步求出b；则 C 1800 (A B)从而casin C1 .当A为钝角或直角时，必须 a b才能有且只有一解；否则无解。2 .当A为锐角时，如果a b,那么只有一解；如果a b ,那么可以分下面三种情况来讨论：(1)若a bsin A,则有两解；(2)若a bsin A,则只有一解；(3)若a bsi
7、n A,则无解。(以上解答过程详见课本第9: 10页)评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsin A a b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。练习：(1)在 ABC中，已知a 80, b 100, A 450 ,试判断此三角形的解的情况。C 400,则符合题意的b的值有 个。，一 .1(2)在 ABC中，若 a 1, c -,2(3)在 ABC中，a xcm , b 2cm,B 450,如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。ABC的类型。例2.在 ABC中，已知a 7, b 5, c 3,判断 练习：(1)在 ABC中，已知sin A:si
8、n B:sin C 1:2:3 ,判断 ABC的类型。(2)已知ABC满足条件acosA bcosB,判断 ABC的类型。例3.在 ABC中，A 600 , b 1 ,面积为 强,求a b c的值2 sin A sin B sin C练习：(1)在 ABC中，若a 55, b 16,且此三角形的面积 S 22073 ,求角CABC中，其三边分别为a、 b、2c,且三角形的面积S 22b c 4八-，求角C9作业(1)在 ABC中，已知b 4, C 10, B 300 ,试判断此三角形的解的情况。(2)设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数 x的取值范围。(3)在 ABC中，A 60,
9、 a 1, b c 2,判断 ABC的形状。(4)三角形的两边分别为3cm, 5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2 7 6 0的根，求这个三角形的面积。 2.2解三角形应用举例(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,BAC=51 ,ACB=75 。求A B两点的距离(精确到0.1m)变式练习：两灯塔 A B与海洋观察站 C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30 ,灯塔B在观察站C南偏东60 ,则A、B之间的距离为多少?例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测
10、量建筑物高度AB的方法。图 L例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点 A的俯角知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD（精确到1 m）=54 40 ,在塔底C处测得A处的俯角二50 1。已例3、在 ABC中，求证:(1)2.2a b2csin2 A sin2 Bsin2 C2. 22 a +b +c =2 (bccosA+cacosB+abcosC)变式练习1:已知在ABC中，B=30 ,b=6,c=6 J3 ,求a及 ABC的面积S变式练习2:判断满足下列条件的三角形形状,(1) acosA = bcosB/c、. _ sin A sin B sinC = -cos A cosB附
11、加例题：例1 .在 ABC中,已知B 45C 60 , c 1。试求最长边的长度。例2.在 ABC中,已知a: b: c3: :2 ,试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的和。解三角形归纳提高1、2、3、知识点梳理:正弦定理：在4, aABC 中,asin A注：R表示 ABC外接圆的半径 余弦定理：在 ABC中，2,22a b c 2bccosA也可以写成第二种形式:,222八 b c acos A2bc ABC的面积公式,二、题组训练:1、在 ABC中，a=122、判定下列三角形的形状在 ABC中,已知在 ABC中,已知在 ABC中,已知2Rsin B sin C正弦定理可以变形成各种形
12、式来使用b22c 2accosB,2b 2abcosCcosB2.2c b2ac cosCb22ab11 ,. Aabsin C bcsinA1acsin B 2A=600,要使三角形有两解，则对应b的取值范围为3,b4,c、38,请判断 ABC的形状。sin2 Asin2 Bsin2 C，请判断 ABC的形状。cos Aa2bc,请判断 ABC的形状。2 2c sin B 2bc cos B cosC ,请判断 ABC的形状。在 ABC中，(sin A sin B sinC)(sinB sinC sin A) 3sin BsinC,请判断 ABC的形状。2c ,求tanC的值。3、在 ABC
13、中，已知a 5,b 4, A 30,求 ABC的面积。4、在 ABC中，若 ABC的面积为S,且2s (a b)25、在 ABC中，已知 b2 bc 2c2, a . 6, cos A 7 ,求 ABC的面积。86、在 ABC中，已知ab 6J3,sin B sin CQABC的面积为15J3 ,求边b的长。cos2A cos2B 117、在 ABC中，求证： 一22a b a b2、在 ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是 a, b, c,已知c 2, C -.3(i)若乙ABC的面积等于 向求a, b ；(n)若 sinC sin(B A) 2sin 2A ,求 ABC 的面积.3、设AABC的内角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,且acosB 3, bsin A 4. (i)求边长a ；(n)若 ABC的面积S 1,求 ABC的周长l .542、在 ABC 中，cos B , cosC 一. 13533 .一一(i)求sinA的值；(n)设zABC的面积S/xABC 33,求BC的长.2
