1、高中数学必修一知识点总结（精编版）一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y元素的无序性:如： a,b,c和 a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示： 如： 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：常用数集：非负整数集（即自然数集）：N正整数集： N*或 N+整数集： Z有理数集 Q实数集： R常用数集的记法：列举法： a,b,c 描述法： 将集合中的元素的
2、公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 xR| x-32 ,x| x-32语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形Venn 图4、集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意： A B 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，；（ 2） A 与 B 是同一集合。反之 :集合 A不包含于集合2“相等”关系：A=B (5B, 或集合5，且B不包含集合55，则 5=5)A, 记作AB 或 BA实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本
3、身的子集。A A真子集 : 如果A B, 且 A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作AB( 或 BA)如果 AB, BC , 那么 AC 如果 A B同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于A 且属由所有属于集合A 或设 S 是一个集合， A 是义于 B 的元素所组成属于集合 B 的元素所S 的一个子集，由 S 中的集合 , 叫做 A,B 的组成的集合，叫做 A,B所有不属于 A的元素组交集记作 A B（
4、读的并集记作：A B成的集合， 叫做 S 中子作 A 交 B），即（读作 A 并B），集 A 的补集（或余集）AB= x|xA，且即 AB =x|xA，记作 CS A ，即xB或 xB) 韦ABAB恩图 1图 2图CSA=x | xS,且xASA示性AA=AAA=A(CuA)(CuB)A =A=A= Cu (AB)AB=B AAB=BA(CuA)(CuB)ABAAB= Cu(AB)质ABBABBA(CuA)=UA(CuA)=典型例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合 a ，b， c 的真子集共有个3.若
5、集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x 0 ，则 M与 N 的关系是.4.设集合 A= x 1x 2 ， B= x xa ，若 AB，则 a 的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.7. 已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0,若 BC，A C=，求m的值。四、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某
6、个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ： A B 为从集合A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)， x A其中， x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必须大于零； (4) 指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1.(5) 如果函数是由一些基
7、本函数通过四则运算结合而成的义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)等于零，. 那么，它的定指数为零， 底不可以(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致( 两点必须同时具备)( 见课本 21 页相关例2)2常用求值域的方法:（求值先考虑其定义域）(1) 观察法 (2) 配方法 (3) 换元法3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x A) 中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x ，y) 的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A) 的
8、图象 C 上每一点的坐标 (x ，y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 .(2) 画法：A、描点法： B、图象变换法常用变换方法有三种：平移变换伸缩变换对称变换4区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f ： AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射。记作“ f （对应关系）： A
9、（原象）B（象）”对于映射f ： A B 来说，则应满足：(1) 集合 A中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2) 各部分的自变量的取值情况(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(x A),则y=fg(x)=F(x)(x A)称为f 、 g 的复合函数。五、函数的性质1. 函数的单调性( 局部性质)（1）
10、增函数设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1 ，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数 . 区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1 ， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数 . 区间 D称为 y=f(x) 的单调减区间 .注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单
11、调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：任取 x1， x2D，且 x11负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 0。当 n 是奇数时， n a na(a 0)a ，当 n 是偶数时， n a n | a |a(a0)2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：mn a m (a 0, m, n N * ,n 1)a nm11a n*, n 1)m(a0, m, n Na nn am0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） a r a rar s( a
12、 0, r , s R) ；（2） ( a r ) sars( a0, r , sR) ；（3） ( ab) rar a s( a0, r , sR) （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y a x (a0,且 a1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a10a0 ， a0 ， 函 数 y=ax与 y=loga(-x)的 图 象 只 能 是()2. 计算： log 3 2;log 2764 24 log 2 3 =1； 253 log 5 272 log 5 2=;1416 0
13、.750.0121= 0.064 3 ( 7 )0 (2)3 383. 函数 y=log1 (2x2-3x+1) 的递减区间为24. 若函数 f (x)loga x(0a1)在区间 a, 2a 上的最大值是最小值的3 倍，则 a=5. 已知 f ( x) log a1x0且a 1)，（ 1）求 f (x)的定义域（ 2）求使 f ( x ) 0 的 x 的取值范围1(ax（四）一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf ( x)( x D ) ，把使 f ( x)0 成立的实数 x 叫做函数 yf (x)( x D ) 的零点。2、函数零点的意义：函数yf (x) 的零点就是方程
14、 f ( x)0 实数根，亦即函数 yf ( x) 的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程 f ( x) 0 有实数根函数 yf ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf (x) 有零点3、函数零点的求法：（代数法）求方程f (x)0 的实数根；（几何法） 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 yf (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 y ax 2bxc(a0) （1）， 方程 ax2bxc 0 有两不等实根， 二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2）， 方程 ax2bxc0 有两相等实根， 二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3）， 方程 ax 2bx c0 无实根， 二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点5. 函数的模型收集数据画散点图不符选择函数模型合实际求函数模型符合实际用函数模型解释实际问题检验
