1、直线和圆的位置关系第7页直线与圆的位置关系：设。的半径为r ,圆心O到直线 i置关系如下表：知识精讲位直大 系图形定义性质及判定相离9)1 _ l直线与圆没有公共点.d ru直线i与OO相离相切6I直线与圆有唯一公共点，直 线叫做圆的切线，唯一公共 点叫做切点.d =r。直 线i与OO相切相交541直线与圆后两个公共点，直 线叫做圆的割线.d r ,相离；d r,相交.题模精讲题模一：利用数量关系推导直线和圆的位置关系例1.1. 1如图，AD是。的切线，切点为 A, AB是。的弦.过点 B作BC AD,交O。于 点C 连接AC,过点C作CD/ AB,交AD于点D,连接AO并延长交BC于点M,交
2、过点C的 直线于点巳且/ BCPh ACD(1)判断直线PC与。的位置关系，并说明理由；(2)若 AB=9 BC=6 求 PC的长.【答案】(1) PC与圆O相切；(2) PC=27 .7【解析】(1) PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE,连接EB,如图，. CE为直径，EBC=90 ,即/ E+/BCE=90 ,. AB / DC,/ ACD= / BAC , / BAC= Z E, Z BCP= / ACD . E=/BCP, ./ BCP+Z BCE=90 ,即/ PCE=90 , CEXPC, .PC与圆O相切；(2) AD是。O的切线，切点为 A ,.-.OA AD , BC
3、/ AD ,.-.AM BC,BM=CM= 1 BC=32，.AC=AB=9 ,在 RtAAMC 中，AM= VAC2 -CM 2 =6 2 ,设。的半径为 r,则 OC=r, OM=AM-r=6 72-r,在 RtAOCM 中，OM2+CM2=OC2,即 32+ (6&-)2=r2,解得 r= 27；2 , .CE=2r= 港OM=6点-交1,. / E= Z MCP , RtAPCMRtACEB,即上二一27.221,244题模二：利用直线和圆的位置关系求参数的取值范围=2 cm, 以点P例1.2.1 射线QNf等边/ ABC勺两边 AB BC分别交于点 M N,且AC/ QN AM =
4、BM QM =4cm动点P从点Q出发，沿射线 QNA每秒1cm的速度向右移动，经过 t秒, 为圆心， 点cm为半径的圆与 ABC勺边相切，请写出可取的所有值 【答案】 t =2或3 Wt E7或t=8【解析】该题考察的是三角形相关综合问题. ABC是等边三角形， .N为BC中点，分为三种情况：如图 1 , 当。P切AB于M时，连接PM则 PM =3cm , /PM M =90,即 t =2 ;如图2,当。P于AC切于A点时，连接PA,则 /CAP =/APM =90% ZPMA =/BMN =60。， AP=3cm,即 t =3 ,当。P于AC切于C点时，连接P C贝U/CPN =NACP=9
5、0 NC =/BNM =60 CP = 3cm,即当3 t 7时，。P和AC边相切；如图3,当。P切BC于N时，连接PN则 PN=3cm, /PNN=90口，即 t =8 ；故答案为：t =2或3 MtM7或t =8.例1.2.2直线l与半径为r的。相交，且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是()A. r 6D.r 6【答案】C【解析】直线l与半径为r的。相交，且点O到直线l的距离d=6,r6.故选C.例1.2.3 已知/ AOB=30 , P是OA的一点，OP=24cm以r为半径作。P.(1)若r=12cm,试判断。P与OB位置关系；(2)若。P与OB相离，试求出r需满足的条件.【答案】
6、(1)相切；(2) 0cmvrv 12cm.【解析】过点P作PC LOB,垂足为 C,则/ OCP=9 0 . / AOB=30 , OP=24cm ,PC= OP=12cm . 2(1)当 r=12cm 时，r=PC,.O P与OB相切，即。P与OB位置关系是相切.(2)当。P与OB相离时，rvPC,，r需满足的条件是：0cmvrv 12cm.例1.2.4如图，在平面直角坐标系中，已知。O的半彳仝为1,动直线AB与x轴交于点P(x, 0), 直线AB与x轴正方向夹角为45、，若直线AB与。有公共点，则x的取值范围是()B. B, -2 x 2D.-2 x2.4,以DE为直径的圆与 BC的位置
7、关系是：相交.故选：A.随练1.2如图，给定一个半径长为 2的圆，圆心。到水平直线l的距离为 d,即OM=d我 们把圆上到直线 l的距离等于 1的点的个数记为 m.如d=0时，l为经过圆心 O的一条 直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于 1的点，即 m=4,由此可知：(1)当 d=3 时，m=;(2)当 m=2时，d的取值范围是 .【答案】0vdv3.【解析】(1 )当d=3时，3 2,即 d r,，直线与圆相离，则m=1 ,故答案为：1;(2)当m=2时，则圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为2, ，直线与圆相交或相切或相离，0V d 3,d的取值范围是0vdv3随练1.3如图，以点。为
8、圆心的两个同心圆: 交，则弦长AB的取值范围是 A. 8WAB 10C.8vAB 10【答案】C【解析】当AB与小圆相切时， OCLAB ,贝U AB=2AC=2 725=9=2X4=8;当AB过圆心时最长即为大圆的直径10.则弦长AB的取值范围是8ABC 10.故选C.随练1.4 如图，在 RtABC中，/C=90 +与AB有何位置关系？为什么？【答案】当r 4.8时，以C为圆心，【解析】作CD LAB于D,半径分别为5和3,若大圆的弦AB与小圆相B. AB8D.8vAB 10ACC为圆心，r为半径的圆与 r为半径的圆与 AB相切； r为半径的圆与 AB相交.=6, BC =8 ,以C为圆心
9、，r为半径的圆AB相离;在直角三角形 ABC中，根据勾股定理得 AB=10,则CD =6父8士 10=4.8 ;当r 4.8时，以C为圆心，r为半径的圆与 AB相交.随练1.5如图，在以。为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O,且与小圆相交于点 A,与大圆相交于点 B.小圆的切线 AC与大圆相交于点 D,且CO平分/ ACB(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段 AG AD BC之间的数量关系，并说明理由.(3)若AB=8, BC=1Q求大圆与小圆围成的圆环的面积.【答案】(1) BC所在直线与小圆相切(2) AC+AD=BC(3) 16兀【解析】(1) BC所在
10、直线与小圆相切.理由如下: 过圆心O作OELBC,垂足为E;.AC是小圆的切线， AB经过圆心 O,OA XAC ;又CO 平分/ ACB , OEXBC, .OE=OA ,BC所在直线是小圆的切线.(2) AC+AD=BC .理由如下：连接OD. AC切小圆。于点A, BC切小圆。于点E,，CE=CA ; .在 RtAOAD 与 RtAOEB 中， RtAOAD RtAOEB (HL), EB=AD ; BC=CE+EB , BC=AC+AD .(3) / BAC=90 , AB=8cm , BC=10cm , . AC=6cm ; BC=AC+AD , .AD=BC - AC=4cm ,圆
11、环的面积为：S=Tt (OD) 2兀(OA) 2=兀(OD2OA2),又. OD2 - OA2=AD2,S=42 兀=164cm2) .随练1.6如图：已知点P(3,4),以点P为圆心，为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则 r的取值范围是()A.r 4B.r 4且 r 05C.r 3D.r a3且 r 5【答案】B【解析】作PAx轴，连结OP,如图，点P的坐标为(3,4),，当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为r4且r#5. 随练1.7 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (1, 0), B (1-a, 0), C (1+a, 0) (a 0),点P在以D (4,
12、 4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足/ BPC=90 ,则a的最 大值是.【答案】6【解析】：A (1, 0), B (1a, 0), C (1+a, 0) (a 0),1. AB=1 - ( 1 - a) =a, CA=a+1 - 1=a,.AB=AC ,. / BPC=90 ,PA=AB=AC=a ,如图延长AD交。D于P；此时AP最大，-A (1, 0), D (4, 4),.AD=5 ,.AP =5+1=6 ,二. a的最大值为6.随练1.8 如图，在 ABC中，已知 AB=BC=CA=4cmAD BC于D,点P、Q分别从 B、C两点 同时出发，其中点 P沿BC向终点C运动，速
13、度为1cm/s；点Q沿CA AB向终点B运动，速 度为2cm/s,设它们运动的时间为 x (s).(1)求x为何值时，PQL AQ(2)设 PQD勺面积为y (cm2),当0vxv2时，求y与x的函数关系式；(3)当0Vx2时，求证：AD平分 PQD的面积；(4)探索以PQ为直径的圆与 AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程).【答案】(1) x=4; (2) y=-由x2+褥x; (3)证明见解析；(4)当0W江或fVX525516 ， 16V或，vxW4时，以PQ为直径的圆与 AC相交.55【解析】(1)当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC,当 Q 在 AC上时，
14、由题意得， BP=x, CQ=2x, PC=4- x;AB=BC=CA=4 . . / C=60 ;若 PQ,AC,则有/ QPC=30 , . PC=2CQ，4 x=2X2x，x=f ;5，3(2)y= - - x2+ 33 x,如图，当0vxv 2时，P在BD上，Q在AC上，过点 Q作QNBC于N;/C=60, QC=2x, . . QN=QCsin60 =,3x; / AB=AC, AD, BC, . BD=CDBC=222 .DP=2-x, . y=1 PD?QN=1 (2-x) ?V3x=- 3x2+J3x; 222(3)当 0vxv 2 时，在 RtaNC 中，QC=2x, / C=60 ; . . NC=x, . BP=NQ3 BD=CD, . . DP=DN; - AD BC, QN BC, . . AD/ QN, . OP=OQ . . SAPDO=SDQO,4 .AD平分APQD的面积；(4)显然，不存在 x的值，使得以PQ为直径的圆与 AC相离，由（1）可知，当x=4时，以PQ为直径的圆与 AC相切;5当点Q在AB上时，8-2x=2,解得x=16,故当x=f或时，以PQ为直径的圆与 AC相2555切，当0WM 4或4 vxv 16或0vxWd时，以PQ为直径的圆与 AC相交. 5555
