1、【高考专题资料】整理人：智名堂文韬专题：圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】圆的定义： 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程形如： (x a)2( yb) 2r 2这个方程叫做圆的标准方程。王新敞说明： 1、若圆心在坐标原点上，这时ab0 ，则圆的方程就是x2y2r 2 。2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r 0，圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定 a,b,r，可以根据3 个条件，利用 待定系数法 来解决。（二）圆的一般方程将圆的
2、标准方程(xa)2( yb) 2r 2,展开可得 x2y22ax2bya 2b2r 20 。可见，任何一个圆的方程都可以写成: x2y 2DxEyF0 。问题： 形如 x2y2DxEyF0 的方程的曲线是不是圆？将方程 x2y 2DxEyF0 左边配方得： (xD )2( yE ) 2(D 2E 24F )2222D ,E ) 为圆（ 1）当 D 2E 24F0 时，方程（ 1）与标准方程比较， 方程 x2y 2DxEyF 0 表示以 (22心，以D 2E 24F为半径的圆。2D , yE ,所以表示一个（ 2）当 D 2E 24F0 时，方程 x2y 2DxEyF0 只有实数解，解为x22D
3、E点 (,) .（ 3）当 D 2E 24F0 时，方程 x2y 2Dx EyF0 没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当D 2E 24F0 时，方程 x 2y2Dx Ey F 0 称为圆的一般方程 .圆的一般方程的特点： （ i ） x2和 y2 的系数相同，不等于零； （ ii ）没有 xy 这样的二次项。（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（ 1）相离 - 求距离；(2)相切 - 求切线；（ 3）相交 - 求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（ 1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（ 2）利用点到直线的距离公式求圆
4、心到直线的距离（ 3）作判断 : 当 dr 时，直线与圆相离；当d r 时，直线与圆相切;当 dr 时，直线与圆相交。代数方法主要步骤：第1 页 共 7 页【高考专题资料】整理人：智名堂文韬（ 1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（ 2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（ 3）求出其的值，比较与 0 的大小：（ 4）当0时，直线与圆相交。r 2 ；(x0a)( xa)( y0b)( yb)r 2 。例 1 求过两点A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线y0 上的圆的标准方程并判断点P(2 , 4) 与圆的关系变式 1：求过两点A(1, 4) 、 B(3 , 2) 且被直
5、线 y0平分的圆的标准方程.变式 2：求过两点A(1, 4) 、 B(3 , 2) 且圆上所有的点均关于直线y0 对称的圆的标准方程.分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法 ）设圆的标准方程为 ( x a)2( yb)2r 2 圆心在 y0上，故 b0 圆的方程为 ( xa) 2y2r 2 又该圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点(1a) 216r 2解之得： a1 ， r 220 (
6、3a) 24 r 2所以所求圆的方程为 ( x 1)2y220 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 A(1, 4) 、 B(3 , 2) 两点， 所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为 k AB421 ，故 l13的斜率为 1，又 AB 的中点为 ( 2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为： y3x2 即 xy10 又知圆心在直线 y 0上，故圆心坐标为C (1 , 0)半径 rAC(11) 24220第2 页 共 7 页【高考专题资料】整理人：智名堂文韬故所求圆的方程为( x 1)2y220 又点 P(2 , 4) 到圆心 C ( 1 , 0) 的距
7、离为dPC( 2 1)24225r 点 P 在圆外例 2：求过三点 O（ 0， 0）， M （ 1， 1）， N（ 4， 2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。解： 设圆的方程为： x2 y2 Dx Ey F 0，将三个点的坐标代入方程F0DE F2 04D 2E F 20 0F 0， D 8， E 6圆方程为： x2 y28x 6y 0配方：（ x 4） 2 （ y 3）2 25圆心：（4，3）， 半径 r 5例 3：求经过点 A(0 , 5) ，且与直线 x2 y 0 和 2x y0 都相切的圆的方程分析： 欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标又
8、圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解： 圆和直线 x2 y0与 2xy 0 相切，圆心 C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2 y0 和 2x y0 的距离相等x2 yx2 y两直线交角的平分线方程是55x3 y0 或 3xy0 又圆过点A(0 , 5) ，圆心 C 只能在直线3xy0上设圆心 C (t , 3t) C 到直线 2xy0 的距离等于 AC ，2t3tt 2(3t5) 2 5化简整理得 t 26t50 解得： t1或 t5 圆心是 (1 , 3) ，半径为5 或圆心是 (5 , 15) ，半径为 5 5 所求圆的方程为( x 1)2( y3)25 或
9、( x 5) 2( y15)2125 说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 4、已知圆 O： x 2y24 ，求过点 P 2，4与圆 O 相切的切线解： 点 P 2，4 不在圆 O 上，切线 PT 的直线方程可设为yk x 2 42k42 .解得 k3所以 y3 x 2 4即 3x 4 y 10 0根据 d r k 214 ，4，因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2 说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存
10、在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要注意漏解） 还可以运用x0 x y0 y r 2 ，求出切点坐标x0 、 y0 的值来解决，此时没有漏解例 5、自点 A(-3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2y24x 4 y7 0 相切，求光线所在直线方程。第3 页 共 7 页【高考专题资料】整理人：智名堂文韬例 6、 两圆 C1： x2y2D1xE1 yF10 与 C2： x2y2D 2 x E2 y F20 相交于 A 、 B 两点，求它们的公共弦 AB 所在直线的方程分析： 首先求
11、A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求 ”的技巧解： 设两圆 C1 、 C2 的任一交点坐标为( x0 , y0 ) ，则有：22D1 x0E1 y0F10x0y0x0 2y02D2 x0E2 y0F20得： ( D1D 2 )x0(E1E2 ) y0F1F20 A 、 B 的坐标满足方程(D1D2 ) x ( E1E2 ) yF1F20 方程 ( D1D2 )x (E1E2 ) yF1F20 是过 A 、 B 两点的直线方程又过A 、 B 两点的直线是唯一的两圆 C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直线的方程为(D
12、1D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F20 说明： 上述解法中，巧妙地避开了求A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求 ”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例 7、求过点 M (3,1) ，且与圆 (x1)2y24 相切的直线 l 的方程 解： 设切线方程为 y1 k( x3) ，即 kxy3k1 0 ，圆心 (1,0) 到切线 l 的距离等于半径2 ， | k 3k1|2 ，解得 k3， 切线方程为y13 (x
13、3) ，即 3x4 y130 ，2244k1当过点 M 的直线的斜率不存在时，其方程为x3，圆心 (1,0) 到此直线的距离等于半径2，故直线 x3 也适合题意。 所以，所求的直线l 的方程是3x4 y130 或 x3补充： 圆 x2y2DxEy F0 的切点弦方程：第4 页 共 7 页【高考专题资料】整理人：智名堂文韬类型三：弦长、弧问题例 8、求直线 l : 3x y 60 被圆 C : x 2y 22x 4 y 0 截得的弦 AB 的长 .例 9、直线 3x y 230截圆 x2y 24 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d3 ，故弦长 AB2 r 2d 22 ，从而 OAB 是
14、等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB.3例 10、圆 C： ( x1) 2( y2)225 ，直线（ 2m1） x(m1) y7m40( mR) ，（）证明：不论m 取何值时，l 与 C 恒有两个交点；（）求最短弦长所在直线方程。分析： 本题最关键的是直线交点系方程的转化，挖掘出直线恒过定点。再探究定点在圆内，下一步只需要去探究点到直线的距离最大时，直线方程是什么。类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线 3x y 2 30 和圆 x 2y 24 ，判断此直线与已知圆的位置关系.例 12、若直线 yxm 与曲线 y4x2 有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围 .第5 页 共 7
15、 页【高考专题资料】整理人：智名堂文韬解： 曲线 y4x 2表示半圆x 2y24( y0) ，利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是2m2 或 m22 .例 13、圆 ( x3) 2( y3) 29 上到直线 3x4 y110的距离为1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1 、 l 2 的方程，从代数计算中寻找解答解法一： 圆 (x3)2( y3)29 的圆心为 O1 (3, 3) ，半径 r3设圆心 O1 到直线 3x 4 y110 的距离为 d ，则 d3343113如图，在圆心 O132422同侧，与直线 3x 4 y110 平行且距离为1 的直线 l1 与圆有两个交点
16、，这两个交点符合题意 又rd3214y 110 平行的圆的切线的两个切点与直线 3x中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4 y110 ，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为3x4 ym0 ，则 dm111， m115 ，即 m6 ，或 m16 ，也即 l1：3x4 y60 ，或3242l2：3x4 y160 设圆 O1：(x3)2( y 3) 29 的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d2 ，则 d1334363， d2334316132423242 l1 与 O1 相切，与圆 O1 有一个公共点；l2 与圆 O1 相交，与
17、圆 O1 有两个公共点即符合题意的点共3 个类型五：圆中的最值问题例 14、圆 x2y 24x4 y100上的点到直线xy140 的最大距离与最小距离的差是10解：圆 ( x 2) 2( y2) 218 的圆心为 （2，2），半径 r32，圆心到直线的距离d52 r ，(dr )(dr )2r 62直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2 .例 15、 (1)已知圆(3) 2(y4)21， P(x , y) 为圆 O 上的动点，求 dx22O1：xy 的最大、最小值(2)已知圆 O2：(x2) 2y21 ， P( x , y) 为圆上任一点求y2 的最大、最小值，求x2 y 的
18、最大、最小x1值分析： (1)、 (2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决本题类比于2017 年高考理科全国二卷12 题，这类型题目的处理方法就是通过几何意义用线性规划的思路来处理，或者用圆的参数方程，分别把 x,y 表示出来，通过研究三角函数的最值研究。解： (1)圆上点到原点距离的最大值d1 等于圆心到原点的距离d2 等d 1 加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值d32421 6 d2324214 于圆心到原点的距离1减去半径 1所以 d1第6 页 共 7 页【高考专题资料】整理人：智名堂文韬所以 dmax36 dmin16 y2y k 2 0 由于 P( x
19、 , y) 是圆上点，当直(2)设k ，则 kxx1线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值2kk2，得 k33所以 y2 的最大值为 33 ，由 dk2114x14最小值为 33令 x2 yt ，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最4大、最小值由d2m1 ，得 m25 所以 x2 y 的最大值为25 ，最小值为 2 5 5例 16、已知 A(2,0)， B(2,0)，点 P 在圆 ( x3) 2( y4) 242PB2.上运动，则PA的最小值是解：设 P( x, y) ，则2PB22) 2y 2( x2) 2y22( x 2y2 ) 82 OP2，PA( x8 .设圆心为 C (3,4)则 OP min OC223 2r 523 ， PAPB的最小值为 2826 .类型六：直线与圆的综合例 17、在平面直角坐标系x0y 中，经过点（ 0， 3）且斜率为 k 的直线 l 与圆 x2y24 有两个不同的交点P、 Q。（ 1） 求 k 的取值范围；（ 2） 设 A(2,0),B(0,1) 若向量 OPOQ 与 AB 共线，求 k 的值。第7 页 共 7 页
