1、集合及其运算知识点1 元素与集合(1) 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2) 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或?表示2 集合间的基本关系表示文字语言符号语言关系相等集合 A与集合 B中的所有元素都相同A B集合间的子集A中任意一个元素均为B中的元素A? B基本关系真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且 B中至少有一个元素不是 A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语A B x|x A，且 xB? A x|x U，且 x?AA B x|xA，或 xB言U函数知识点1 函数的基本概念(1)
2、函数的定义一般地，设A， B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A B为从集合A到集合B的一个函数记作y f(x)，x A.(2) 函数的定义域、值域在函数 y f(x)， x A中， x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(3) 函数的三要素是：定义域、值域和对应关系(4) 表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法(5) 分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段1函
3、数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数2 函数定义域的求法类型x满足的条件2nf( x) 0f x ， n N*1与 f(x) 0f( x) 0f xlog af(x)f( x) 0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3 函数值域的求法方法示例示例答案配方法y x2 x 2y 9，4性质法y exy (0， )单调性法y x x 2y 2， )3换元法y sin2 x sin x 1y 4， 3分离常数法y xy (， 1) (1， )x 14 函数的单调性(1) 单调函数的定义增函
4、数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I ，如果对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量 x1， x2定义当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，当 x1 x2时，都有 f(x1) f( x2)，那么就说函数f(x)在区那么就说函数f(x) 在区间 D上是间 D 上是减函数增函数续表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2) 单调区间的定义若函数 y f(x)在区间 D上是增函数或减函数，则称函数y f(x)在这一区间具有 (严格的 )单调性，区间 D叫做函数 y f(x)的单调区间5 函数的最值前提设函数 y f(x)的定义域为 I ，如果存在实数 M满足条
5、件(1) 对于任意 xI ，都有 f(x) M；(3) 对于任意 xI ，都有 f(x) M；(2)存在 x I ，使得 f( x ) M.(4) 存在 x I ，使得 f( x ) M.0000结论M为最大值M为最小值6 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f( x)关于 y轴对称，那么函数 f( x)是偶函数奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x，都有 f( x) f(x关于原点对称) ，那么函数 f(x)是奇函数7.奇 (偶 )函数的性质(1) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上
6、的单调性相反(2) 在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3) 若函数 f(x)是奇函数且在 x 0处有定义，则 f(0) 0. 8 周期性(1) 周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x T) f(x)，那么就称函数y f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2) 最小正周期：如果在周期函数f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期9 幂函数(1) 幂函数一般地，形如y x 的函数称为幂函数，
7、其中x是自变量， 为常数(2) 常见的 5种幂函数的图象(3) 常见的 5种幂函数的性质函数特征231y xy xy xyx2性质定义域RRR0， )值域R0， )R0， )奇偶性奇偶奇非奇非偶单调性增( ， 0减， 0， )增增增定点(0,0)， (1,1)10.二次函数(1) 二次函数的定义形如 f( x) ax2 bx c(a 0)的函数叫做二次函数(2) 二次函数的三种常见解析式一般式： f(x) ax2 bxc( a 0) ；顶点式： f(x) a(x m)2n(a 0)， (m， n)为顶点坐标；两根式： f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)其中 x1， x2 分别是 f
8、(x) 0的两实根y x 1 x|x R，且 x 0 y|y R，且 y 0奇(， 0)减， (0， )减(1,1)(3) 二次函数的图象和性质函数二次函数 y ax2bx c(a， b，c是常数， a 0)图象a0a0，且 a 1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 xlog aN，其中 a叫做对数的底数， N叫做真数15 对数的性质与运算法则(1) 对数的性质几个恒等式 ( M，N， a，b都是正数，且 a，b 1)N； log aaNN； log bNlogaN；nlog bma1log ab； log ablogb a，推广 logablogbclog cdlog ad.(2)
9、 对数的运算法则(a0，且 a 1， M0，N0) loga (MN) logaM logaN； logaM log aM log aN； log aMn nlog aM(nR )； loga n M 1log aM.Nn16 对数函数的图象与性质a 10a 1图象(1) 定义域： (0， )(2)值域： R(3)过点 (1,0)，即 x1时， y 0性质(4) 当 x1时， y0当 0x 1时， y 0(6)在 (0， )上是增函数(5)当 x 1时， y 0当 0 x1时， y 0(7)在 (0， )上是减函数17 函数的零点(1) 函数的零点的概念：对于函数 y f(x)，把使 f(x)
10、 0的实数 x叫做函数 y f( x)的零点(2) 函数的零点与方程的根的关系方程 f( x) 0有实数根 ? 函数 y f(x) 的图象与 x轴有交点 ? 函数 y f(x)有零点(3) 零点存在性定理如果函数 yf(x)满足：在闭区间 a， b 上连续； f(a) f(b)0；则函数 y f(x)在 (a， b)上存在零点，即存在 c (a， b)，使得 f(c) 0，这个 c也就是方程 f(x) 0的根平面向量知识点1 向量的有关概念名称定义备注平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相
11、等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为 02.向量的线性运算向量定义法则 (或几何意义 )运算律运算加法求两个向量三角形法则和的运算平行四边形法则(1)交换律：a b b a.(2)结合律：(a b) ca (b c)求 a与 b的相反向量减法 b的和的运算叫做a与 b的差三角形法则求实数 与(1)|a| |a|；(2) 当 0时， a的方向与 a的方向相数乘向量 a的积同；当 0时， a的方向与 a的方向的运算相反；当 0时， a 03.共线向量定理向量 a(a 0)与 b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba.4 平面向量基本定理如果 e1， e2是同一
12、平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，使 a e e .1 12 2其中，不共线的向量e1 ，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a (x1， y1)， b (x2，y2)，则a ba ( b)(a) a；( )a a a；(a b) a ba，有且只有一对实数1， 2a b (x1 x2， y1 y2) ，a b (x1 x2， y1 y2)， a (x1， y1)， |a|22x1 y1.(2) 向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1 1 (x22 y21 22212
13、121.， y )， B(x ， y ) ，则 AB x ，y y )， |AB|xx y6 平面向量共线的坐标表示设 a (x1， y1)， b (x2，y2)，则 a b? x1y2 x2y1 0. 7 平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a与 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos叫作 a与 b的数量积 (或内积 )，记作 ab，即 ab |a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 0a0.(2)几何意义：数量积 ab等于 a的长度 |a|与b在 a的方向上的投影 |b|cos 的乘积8 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a (x1， y1)， b (
14、x2， y2)， 为向量 a， b的夹角(1)1212数量积： ab |a|b|cos xx y y .2 2(2) 模： |a| aa x1 y1.abx x y y(3) 夹角： cos 12122222.|a|b|x1 y1 x2 y2(4) 两非零向量 ab的充要条件： ab 0? x1x2y1y20.(5)|ab| |a|b|(当且仅当 a b时等号成立 )? |x1x2 y1y2 |2222x1y1 x2y2.9 平面向量数量积的运算律(1) ab ba(交换律 ) (2)ab (ab) a(b)(结合律 ) (3)( a b) c ac bc(分配律 )10 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1) 证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a b(b 0)? a b? x1 y2 x2y1 0.(2) 证明垂直问题，常用数量积的运算性质a b? ab 0? x1x2y1y2 0(a，b均为非零向量 )(3) 求夹角问题，利用夹角公式abx x y ycos |a|b|12122( 为 a与 b的夹角 )2y2x2x1 y212
