1、第1讲不等关系与不等式1比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab0ab；ab0ab；ab0a0，则有1ab；1ab；1abbb，bcac.(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd.(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n2)(6)可开方性：ab0 (nN，n2)1ab，ab0.2a0bb0,0c.40axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)1若m0且mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm答案D解析(取特殊值法)令m3，n2分别代入各选项检验，可知D
2、正确2已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定答案B解析MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0，MN.故选B3若，则的取值范围是_.答案(，0)解析由已知，得，所以，又，所以0，故解析因为()2172，()2172，所以()2()2，所以.5已知a，b，cR，有以下命题：若，则；若，则ab，则a2cb2c.其中正确的是_(请把正确命题的序号都填上)答案解析若c0，则命题不成立由得0，于是a0知命题正确故正确命题的序号为.考向一不等式的性质例1(1
3、)若abb2；|1a|b1|；.其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析因为ab|b|0，所以a2b2，所以a21b2，故正确又因为ab0，所以a1b10，所以|1a|b1|，故正确因为abab，故正确所以三个不等式都正确故选D(2)(多选)(2020山东省、海南省新高考高三4月模拟)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A若ab，则b，则ac2bc2C若a0b，则a2ab0，则答案BD解析根据ab，取a1，b1，则b，由不等式的基本性质知ac2bc2成立，故B正确；由a0b，取a1，b1，则a2ab0，(ab)c0，acabbcab，即a(cb)b(ca)，ca0，cb0，
4、故D正确故选BD解决此类题目常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件(2)利用特殊值法排除错误答案(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断1如果a0b且a2b2，那么以下不等式中正确的个数是()a2b0；a3ab2.A0 B1 C2 D3答案C解析由得a2b0，0，又b0，0，正确；由得a3ab2，不正确故选C2已知a，bR，下列四个条件中，使1成立的必要不充分条件是()Aab1 Bab1C|a|b| Dln aln b答案C解析1100(ab)b0ab
5、0或ab|b|，但由|a|b|不能得到ab0或ab1，故|a|b|是使1成立的必要不充分条件故选C多角度探究突破考向二比较两个数(式)的大小角度1作差法例2(1)已知ab0，m0，则()ABCb0，m0，所以ba0，所以0，即0，所以.(2)(2020山东齐鲁名校联考)已知0aN BMNCMN D不能确定答案A解析0a0,1b0,1ab0.MN0，MN.故选A 作差法的步骤(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论3(2020北京东城区测试)若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小关系是()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)Cf(x)0f(x)g(x)故选B
6、角度2作商法例3设a，b都是正数，且ab，则aabb与abba的大小关系是_.答案aabbabba解析aabbbaab.若ab，则1，ab0，ab1，aabbabba；若ab，则01，ab1，aabbabba.作商法的步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论4.若a0，且a7，则()A77aa7aa7D77aa与7aa7的大小不确定答案C解析77aaa77a，则当a7时，01,7a1，77aa7aa7；当0a1,7a0，则7a1，77aa7aa7.综上，77aa7aa7.角度3特殊值法例4有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一个颜色，且三个房间颜色各不相同已知三
7、个房间粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()Aaxbycz BazbycxCaybzcx Daybxcz答案B解析采用特殊值法验证即可，若x1，y2，z3，a1，b2，c3，则axbycz14，azbycx10，aybzcx11，aybxcz13.由此可知最低的总费用是azbycx. 特殊值法比较大小的思路利用特殊值法比较两数(式)的大小时需要注意以下问题：赋值应该满足前提条件，当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项5.若a0，b0，则p
8、与qab的大小关系为()Apq Dpq答案B解析解法一：(特殊值排除法)令ab1，则pq2，排除A，C；令a1，b2，则pq，排除D故选B解法二：(作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pq.综上，pq.故选B角度4中间量法例5已知实数aln (ln )，bln ，c2ln ，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCbac Dcab答案A解析因为ee2，所以ln (1,2)，即b(1,2)由ln (1,2)，得aln (ln )(ln 1，ln 2)，而ln 2ln e1，所以a(0,1)由2ln e2ln 2ln e2
9、，得c(2,4)所以abc.故选A中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)logax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小6.若0ab1，则ab，logba，logb的大小关系是_.答案logbablogba解析0a1.又0b1，logblog10.0ablogbb1，logbablogba.角度5函数性质法例6若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbae)，y，易知当xe时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)
10、f(5)，即cba.解法二：易知a，b，c都是正数，log8164b；log62510241，所以bc.即cbb0，c1，则下列各式成立的是()Aln aln b Baccb D1)都是增函数，又ab0，所以A错误，C正确；可取a2，b1，c2，代入可知，B，D错误故选C考向三应用不等式的性质求范围例7(1)已知实数a(1,3)，b，则的取值范围是_.答案(4,24)解析依题意可得48，又1a3，所以424.(2)已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)答案(3,8)解析解法一：设2x3y(xy)(xy)()x()y，对应系数相等，则2x3y(xy)(xy)(3,8
11、)解法二：令2x3y23b(3,8)利用不等式性质求代数式的取值范围由af(x，y)b，cg(x，y)y01，则的取值范围为()AB(，3)C(，3D答案B解析由题意，得3x0y020，y03x02，x0y01，x03x021，解得x0，3，x0，0，3，所以(，3).故选B一、单项选择题1若ab0，cd B D答案D解析由cd00，又ab0，故由不等式性质，得0，所以b，0 Bab0 Dab0答案A解析因为，所以b，所以ba0.3若a，bR，且a|b|0 Ba3b30Ca2b20 Dab0答案D解析由a|b|0知a|b|，当b0时，ab0成立，当b0时，ab0成立，所以ab0恒成立故选D4已
12、知a0，1babab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a答案D解析由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小因为1b0，所以bb21.又因为aab2a.故选D5设x，yR，则“xy0”是“1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析因为xy0，所以0，所以xy，即1，所以“xy0”是“1”的充分条件；当x2，y1时，1，但xyy0”不是“1”的必要条件故选A6已知xyz，xyz0，则下列不等式成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|答案C解析xyz且xyz0，3xxyz0,3z0，zz，xyxz.7已知ax2
13、x，blg 3，ce，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcabCcba Dbc1，blg 3lg ，ce.所以bca.故选D8若0，给出下列不等式：0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A BC D答案C解析由0可知ba0.中，因为ab0，所以0，故有，故正确；中，因为baa0，故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，所以ab，故正确；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误故选C9若6a10，b2a，cab，则c的取值范围是()A9,18 B(15,30)C9,30 D(9,30)答案D解析因为b2a，
14、所以ab3a，即c3a.因为6a10，所以9c30.故选D10已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbcaCbca Dba0，所以b1a2a，所以abc.二、多项选择题11已知0a0 B2ba1C2ab2 Dlog2(ab)2答案BD解析因为0a0,0a1,0b2，则0ab1，log2(ab)2.故选BD12(2020湖南长沙天心区校级期末)设a，b为正实数，现有下列命题，其中真命题是()A若a2b21，则ab1B若1，则ab1C若|1，则|ab|1D若|a3b3|1，则|ab|a10，a1ba1，即ab1，B错误；若|1，则可取a9，
15、b4，而|ab|51，C错误；由|a3b3|1，若ab0，则a3b31，即(a1)(a2a1)b3，a21ab2，a1b，即ab1，若0aa2，b1a，即ba1，|ab|1，D正确故选AD三、填空题13若13，42，则|的取值范围是_.答案(3,3)解析42，0|4，4|0.又13，3|0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P与Q的大小关系为_.答案PQ解析当0a1时，a3a2，a31loga(a21)当a1时，a3a2，a31a21.因为ylogax在(0，)上为增函数，所以loga(a31)loga(a21)综上知，PQ.15设0x1x2(1)20，ba，cb(1x)0，
16、cb，cba.c最大解法二：取x，则a，b1，c1，显然c最大16(2020山东省威海市一模)为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m2的新型生鲜销售市场市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2，月租费为x万元；每间肉食水产店面的建造面积为20 m2，月租费为0.8万元全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.(1)两类店面间数的建造方案为_种；(2)市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值
17、为_万元答案(1)16(2)1解析设蔬菜水果类和肉食水产类店面间数分别为a，b.(1)由题意知，0.8240028a20b0.852400，化简得，4807a5b510，又ab80，所以4807a5(80a)510，解得40a55，a40,41，55，共16种(2)由题意知0.9x，0.8b(80b)x72x，x0.8，bmax804040，x0.80.81，即x的最大值为1万元四、解答题17(2020湖北龙泉中学模拟)已知1lg (xy)4，1lg 2，求lg 的取值范围解令lg mlg (xy)nlg lg (xmym)lg lg .解得m，n.lg lg (xy)lg .1lg (xy)4，lg (xy)2.又1lg 2，lg 3，1lg (xy)lg 5，1lg 5.故lg 的取值范围是1,5
