1、拉格朗日中值定理与高考数学1 拉格朗日中值定理:若函数f 满足如下条件:( i) f 在闭区间 a, b 上连续;( ii ) f 在开区间 (a,b) 内可导;则在a,b 内至少存在一点,使得 f f bf ab.a1、证明f xf xa 成立(其中 x0 )xa 或x2 例:( 2007年高考全国卷 I第 20题)设函数 fxexe x .()证明:f x的导数 f x2 ;()证明:若对所有 x0 ,都有 fxax,则 a 的取值范围是 (, 2.()略 .()证明:( i )当 x0 时,对任意的 a ,都有 fxax(ii) 当 x0时,问题即转化为exe x对所有 x0 恒成立 .
2、ax令 G xexe xfxf0,由拉格朗日中值定理知0,x内至少存在一点(从xx0而0),使得 f fxf0,即 Gxf ee,由于x0f eee0e 00,故 f 在 0,x上是增函数,让x0 得Gx minf eef 02 ,所以 a 的取值范围是 (, 2 .评注:第 (2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令 gxf xax ,再分a2 和 a2 两种情况讨论 .其中, a2又要去解方程 g x0 .但这有两个缺点:首先,为什么 a 的取值范围要以2 为分界展开 .其次,方程 g x0 求解较为麻烦 .但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论,省去麻烦.二、证明 gagb2ga
3、b(ba), ba成立2例:( 2004年四川卷第 22题)已知函数 fxln(1x)x, gxx ln x .()求函数fx的最大值;()设0ab2a ,证明: gagb2gab(ba)ln 2 .2()略;()证明:依题意,有g xln x1g ag b2 gabg bgabgabg a222由拉格朗日中值定理得,存在a, a b,ab ,b,使得22g b g a bg a bg ag g? b alnln ? b a2222ln ? b aln b ? b aln 4a ? b ab a ln 22a2a2评注:对于不等式中含有ga, gb , gabab的形式,我们往往可以把2ga
4、bg a 和 gbgab,分别对 gabga 和 g bga b 两次2222运用拉格朗日中值定理 .三、证明fx1fx2x1x2成立3 4 例: (2OO6 年四川卷理第 22题)已知函数fxx22a ln x(x0), fx 的导函数是f x , 对任意两个不相等的正x数 x1 , x 2 ,证明:()当 a0时,fx1fx2fx1x222()当 a4时, f x1f x 2x 1x 2 .证明:()不妨设 x1x2 ,即证 fx2x1x2fx1x2fx1由拉格f22朗日中值定理知,存在1x1 , x1x2, 2x1x2 , x2,则 12 且22f x2fx1x2f 2 ? x2x1 ,
5、 fx1x2f x1f 1 ? x22x1 又222f (x) 2x2a ,f x24a.当 a0 时, f x0 .所以 f ( x) 是一个单x2xx3x2调递减函数, 故 f 1f 2从而 fx2fx1 x2fx1x2fx1成立, 因22此命题获证()由 fxx22a ln x 得, f (x)2x2a ,令 gxf x则由拉xx2x格朗日中值定理得:gx1gx 2g(x 1x 2 )下面只要证明: 当 a4 时,任意0 ,都有 g1 ,则有 gx24a1,44x3x2即证 a 4 时, ax2恒成立 .这等价于证明 x2的最小值大于 4 .xx由于 x24x22233 4 ,当且仅当
6、x3 2 时取到最小值,又a433 4 ,xxx故 a 4 时,24a1 恒成立 .x3x2所以由拉格朗日定理得:gx 1g x 2g( x 1x 2 )g x1x 2x 1x 2 .评注:这道题用初等数学的方法证明较为冗长,而且技巧性较强.因而思路较为突兀,大多数考生往往难以想到.相比之下,用拉格朗日中值定理证明,思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性,说明了学习高等数学的重要性.四、证明 fx1fx2x1x2或 f x1fx2x1 x2成立例:( 2008年全国卷 22题)设函数 fxsin x.2cosx()求 fx的单调区间;()如果对任何x0 ,都有 fxax ,求 a 的取值
7、范围 .()略;()证明:当x0 时,显然对任何a ,都有 fxax ;当 x0 时,f xfxf0xx0由拉格朗日中值定理,知存在0,x ,使得 fxfxf0f .由()知xx0f x2cos x12,从而 f x2sin x 2cos xcos x1.令 f x0 得,2cos x22cos xx2k1, 2k2;令 f x0 得, x2k,2k1.所以在2k1, 2k2上, f x 的最大值 fxmaxf 2k21在312k, 2k1上, f xf2k.从而函数 f xx 的最大值 fmax在31x max0 时, f 2k, 2k2上的最大值是f.由 kN 知,当 xx的最大值131x
8、 max.所以, f 的最大值 f .为了使 f 为 fmaxa 恒成立,应有33f maxa .所以 a 的取值范围是1,.3评注:这道题的参考答案的解法是令g xaxfx,再去证明函数gx 的最小值g x这与上述的思路是一样的但首先参考答案的解法中有个参数a 要对参数 a 进min0 .,行分类讨论 ;其次为了判断g x 的单调性 ,还要求 g x0和 gx0 的解 ,这个求解涉及到反余弦 arccos3a ,较为复杂 .而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦,省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性 .五、证明 fx0,( xa) 成立,(其中 fa0 )例:( 2007年安徽卷18题)设 a
9、 0, f xx 1 ln 2 x 2a ln x x 0 .()令 Fxxf x ,讨论 F x在 0,内的单调性并求极值;()求证:当x1时,恒有 xln 2 x2a ln x1 .()略;()证明:即证 fx0 ,由于 x 1 ,则fxfxf1x1x1.由拉格朗日中值定理得,存在1,x,使得fxf1f.由()的解题过程知f x12 ln x2a ,x1xx所 以 fx222a2ln x1 a. 令 fx1 ax2x2 ln xx2x20 得 , x e. 令f x0 得, 1xe1a .故 f x在 x1,上最小值f xminfe1a12 1 a2a e1 a20 .所以 ffx min
10、0 .从而f x0.又 x 1 ,1 a1a1ax1eee则 fx0 成立,从而当x0时, xln 2 x2a ln x 1成立 .评注:这道题的参考答案是用()中F x在 0,内的极小值F20 得到F xxf x0 .又 x1 ,所以 f x0 .从而 fx 在 1,上单调递增 ,故 fx 的最小值 fx minf10 ,所以 xln 2 x 2a ln x1 .但是如果没有() ,很难想到利用 Fxxf x来判断fx的单调性 .而用拉格朗日中值定理证明,就不存在这个问题.f x1f x2f x1f x2(其中 x1x2 )六、证明x1x2或x1x2例:( 2009年辽宁卷理21题)已知函数
11、 f ( x)1x2ax(a1)ln x,a12()讨论函数f ( x) 的单调性;()证明:若a5,则对任意 x1 , x20,, x1f (x1)f (x2 )1.x2 ,有x1x2()略;() f ( x1 )f ( x2 )f .由()得,f xxaa1.所以要证x1x2xf ( x1 )f ( x2 )1成立,即证f aa11 .下面即证之 .x1x2令 g2(a 1) a 1,则a 12a 1 a 5 .由于 1a 5 ,4 a 1所以0 .从而 g0在 R 恒成立 .也即2aa1.又x1 , x2,2aa11 ,即 f a1x1, x20,,故0.则a1 ,也即f ( x1 )f
12、 ( x2 )x11.x2评注:这道题 ()小题存在两个难点:首先有两个变量x1, x2;其次 a 的值是变化的 .参考答案的解法是考虑函数gxf xx .为什么考虑函数g xfxx ?很多考生一下子不易想到 .而且 gx的放缩也不易想到 .拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来,不少高考压轴题以导数命题,往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然,这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时,用拉格朗日中值定理交易解决 .充分体现了高等数学的优越性,有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系,增加学习的兴趣.从以上六道题目与参考答案不同的解法中,我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用 .近几年,高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要 .参考文献1 华东师范大学数学系编 .数学分析(上册) M. 北京:高等教育出版社, 20072 陈素贞 .一道高考题的别解 J. 福建中学数学, 2009( 4)3 李惟峰 . 拉格朗日中值定理在中学数学中的应用J. 数学教学通讯, 2008( 8)4 管雪冲,王颖 . 站 ”高 ”再看高考题 J. 高等数学研究, 2009( 1)