1、第 2 讲复数、平面向量一、选择题1.(2019 河南名校联考 )若复数 z 满足 z(2-4i)=1+3i, 则 |z|=()A.1B.23C. 22D.21答案 C依题意知 z=(1+3i)(2+4i)-10+10i1 1( -121)22故选) + (= 20=-2 +2i,故 |z|=(2 - 4i)(2+4i)22= 2 ,C.2.(2019 湖南娄底二模 )复数 z 满足 (1+i)z=|-4i|,则 z=()A.2+2iB.1+2iC.2-2iD.1-2i答案C由(1+i)z=|-4i|=4,得 z= 4 = 4(1 - i) =2-2i.故选 C.1+i(1+i)(1 - i)
2、3.已知复数 ?+i2-i是纯虚数 (i 是虚数单位 ),则实数 a 等于 ()A.-2B.2C.12D.-1答案C因为 ?+i2-i=2?5-1+2+?5i 是纯虚数 ,所以 2?5-1 =0,2+?50,所以 a=12,选 C.4.(2019 安徽蚌埠第一次教学质量检测)已知复数z 满足z(1-i)=2-i, 其中i 是虚数单位,则复数z 在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2答案Az(1-i)=2-i, z=21- ii=(2(1 -i)(1+i)i)(1+i) =2+i2-i =3+i2 ,则在复平面内对应的点的坐标为( 32 ,12) ,位于第
3、一象限 .故选 A.5.复数 z=(a+1)+(a2-3)i(i 为虚数单位 ),若 z0,则实数 a 的值是 ()3B.1A. C.-1D.- 3答案D由题意得?+ 1 0,3 2解得 a=- .故选 D.?-3 = 0,6.(2019广东六校第一次联考 )在 ABC 中 ,D 为 AB 的中点 ,点 E 满足 ?=4?,则?=()5445A. 6?B.?-33-65445C.6? ?3? ?+3?+6?D.? ?答案因为的中点 点? ?14?AD为 AB?,?=,所以, E 满足=4 ,所以=234?14154?=?+?=? ?A.? ?故选3+2=3( + )-2=6-3 ,7.(201
4、9 河北唐山模拟 )已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b 的夹角的余弦值为 ()A. 31010B.- 31010C. 22D.- 22答案C因为向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),所以 b=(2,0),则向量 a,b 的夹角的余弦值为1 2+1 0 2=.8.已知在平面直角坐标系xOy 中 ,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3 三点共线且向量 ?与向量3a=(1,-1)共线 ,若? ?3 = 1 +(1-)2 ,则 =()A.-3B.3C.1D.-1答案D设?3=(x,y),则由 ?3a,知 x+y=0,于是 ?3=(x,-x). 若?3=?
5、1+(1-)?2,则有(x,-x)= (3,1)+(1- )(-1,3)=(4 -1,3-2 ),即4?-1 = ?,所以 4-1+3-2=0,解得 =-1.3-2?= -?,9.已知?则向量? ?=(2,1),点 C(-1,0),D(4,5),在 方向上的投影为 ()A.- 322B.-35C.322D.35答案C因为点 C(-1,0),D(4,5),所以 ?=(5,5),又 ?=(2,1),所以向量 ?在?方向上的投?1532影为 |?|cos= |?=52= 2 .10.(2019 湖南湘潭模拟 )在 ABC 中 ,|?+?|=|?-?|,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点
6、 ,则 ?=()A. 98B.109C.259D.269答案B? ? ?由|+|=|-|知 ,以 A 为坐标原点 , , 的方向分别为 x 轴 ,y 轴的正方向建立平面直角坐标系41)22则,则 A(0,0),B(2,0),C(0,1), 不妨设 E(,(, )33,F 33 ,? ?(4, 1)(2, 2)8210=3333=9+9= 9 .11.(2019 广东揭阳模拟 )已知 O 是 ABC 内一点 ,?+?+?=0,?=2 且 BAC=60,则 OBC 的面积为 ()A. 33B.3C.23D.23答案A?+?+?=0,O 是 ABC 的重心 ,于是 S OBC=13 SABC . ?
7、=2, |?| |?|cosBAC=2, BAC=60 ,|?| |?|=4.SABC =12|?|?|sinBAC= 3, OBC 的面积为 33,故选 A.12.(2019 河南郑州第二次质量预测)在 Rt ABC 中, C=90,CB=2,CA=4,P 在边 AC 的中线 BD 上,则? ? 的最小值为 ()A.- 12B.0C.4D.-1答案A解法一 :因为 BC=2,AC=4, BCD=90 ,所以 AC 的中线 BD=2 ,且2CBD=45 .因为点 P 在边 AC 的中线 BD 上 ,所以设? ?= (01),如图所示 ,所以22? ? ? ? ? ? ? =|?|?|cos=(
8、 + )=( + ) = +13522221211 ? ?1故选+)=8?-)-2当 =时 , 取得最小值 -A.(2-4=8(4,42,解法二 :依题意 ,以 C 为坐标原点 ,分别以 AC,BC 所在的直线为 x 轴 ,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,则 B(0,2),D(2,0),所以直线 BD 的方程为 y=-x+2, 因为点 P 在边 AC 的中线 BD 上 ,所以可设 P(t,2-t)(0 t2),所以 ?=(t,2-t),?=(t,-t),所以?=t22121当1时,? ?1故选-t(2-t)=2t-2t=2(?- )-2 取得最小值 -2, t=22,A.二、填空题13.
9、已知复数 z 满足 (1+ i)z= i,i是虚数单位 ,则 z=.33答案43+43i3i3i(1 -3i)3+3i33=4+解析由已知得 z=1+ 3i =(1+ 3i)(1 -3i)44 i.14.设i+12+i -2i=a+bi(a,b R,i 为虚数单位 ),则 b-ai=.答案 -25-23i2+i(2+i)(1- i)353553解析因为 i+1 -2i=(i+1)(1- i)-2i=2-2i=a+bi,所以 a=2,b=-2,因此 b-ai=-2-2i.15.在如图所示的平面图形中,已知 OM=1,ON=2, MON=120 ,?=2?,?=2?,则?的值为.答案-6解析解法一
10、 :连接 OA. ?=?-?=3?-3?=3(?-?)-3(?-?)=3(?-?),22? ? ? ? ? ? =3( - ) =3( -| |)=3(2 1 cos 120 -1 )=3(-2)=-6.解法二 :在 ABC 中 ,不妨设 A=90,取特殊情况 ONAC, 以 A 为坐标原点 ,AB,AC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为MON=120 ,ON=2,OM=1, 所以 O(2, 23) ,C(0, 323) ,M ( 52 ,0) ,B( 152 ,0) .故 ?=( - 152 ,323) ( 12 ,- 23) =-154 -94=-6.16.(2019 安徽合肥模拟 )在 ABC 中,(?-3?)?,则角 A 的最大值为.答案6解析因为 (?-3?) ?,所以 (?-3?) ?=0,即(?-3?)(?-?)=0,则222?2?即?3当且仅当 ? 3 ?时等号? ?cos A=|? +3|?=|?3|? 23=-4+3=0,+?,| |= | |?4|?1624|?|?4|?成立 .所以 0A 6 ,即角 A 的最大值为 6.
