1、第 3 讲圆锥曲线的综合问题第一课时圆锥曲线中的取值、范围、证明问题解答题1.(2019 河北九校第二次联考 )已知抛物线 C:y 2=2px(p0)的焦点为 F,若过点 F 且斜率为1 的直线与抛物线 C 相交于 M,N 两点 ,且 |MN|=8.(1)求抛物线 C 的方程 ;?(2)设直线 l 为抛物线 C 的切线 ,且 lMN,P 为 l 上一点 ,求 的最小值 .(?,则直线 MN 的方程为 y=x-?解析(1)由题意可知 F2 ,0)2,2代入 y2=2px(p0)得 x2 -3px+?4=0,设 M(x 1,y1),N(x 2,y2),则 x1+x2=3p, |MN|=8,x1+x
2、2+p=8,即 3p+p=8,解得 p=2,抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)设直线 l 的方程为 y=x+b,代入 y2=4x,得 x2+(2b-4)x+b 2=0, 直线 l 为抛物线 C 的切线 ,=0,解得 b=1, 直线 l 的方程为 y=x+1.由 (1)可知 ,x1+x2=6,x1x2=1,设 P(m,m+1),则 ?=(x1-m,y1-(m+1), ?=(x2-m,y2-(m+1), ? ?=(x1-m)(x2-m)+y 1-(m+1)y 2 -(m+1)=x 1x2-m(x1+x2)+m2+y1 y2-(m+1)(y 1+y2)+(m +1)2,(y1y2)2=16x1
3、x2=16,y1y2=-4,22?-?=4(x1-x2),12y1+y2=4?1-?2=4,?-?12?=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1) 2=2(m2-4m-3)=2(m-2)2-7-14,当且仅当 m=2,即点 P 的坐标为 (2,3)时,?取得最小值 -14.222.(2019 河南洛阳尖子生联考 )如图 ,椭圆 ?2+?2=1(ab0)的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭?圆于 A,B 两点 ,|AF|的最大值为 M,|BF|的最小值为 m,满足 M m=34a2 .(1)若线段 AB 垂直于 x 轴时 ,|AB|= 32,求椭圆的方程 ;(2)设线段 AB 的中点为 G,
4、AB 的垂直平分线与x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点 ,O 是坐标?原点 ,记 GFD 的面积为 S1,OED 的面积为 S2,求?1的取值范围 .2解析(1)由题意得 F(-c,0),则根据椭圆的性质得 ,M=a+c,m=a-c,又 M m=34a2 ,a2-c2=34a2,即 a2 =4c2,a=2c.2又|AB|=2?=32,且 a2=b2+c2, a=1,b2=34,2椭圆的方程为x2+4?3=1.22= c,(2)由(1)可知 a=2c,则 b= ?-?3椭圆的方程为22=1.?2 +?24?3?由题意知直线 AB 的斜率一定存在且不为零 ,设直线 AB 的方程为 y=k(x+c)(k 0),A(x 1122),y ),B(x,y?= ?(?+?),22222222消去 y 并整理得 (4k+3)x则由 ?+?+8ck x+4kc -12c =0,22 = 14?3?26?23?+x8?+yG4?x12212122( -2,2) .3?22DGAB, 设 D(x D k=-1, xD=-?.4? +322,0),-4?-?4? +324? +322222( -4?+?)+ (3?222)9?易得 RtFGD 与 RtEOD 相似 ,1=2 =4? +34? +324? +3 =9+29.?2?2?( -?)24? +3?故?1的取值范围是 (9,+ ).2
