1、第 2 讲圆锥曲线的方程与性质一、选择题22?1.(2019 湖南五市十校联考 )已知双曲线 C:?2- 3 =1(m0)的离心率为 2,则 C 的焦点坐标为()A.( 2,0)B.( 2,0)C.(0,2)D.(0, 2)?232?2答案A 由题意知 ,离心率 e=1解得所以+ 3=2,又=1 + 2m =1,?= +2 =2,c=?双曲线 C 的焦点在 x 轴上 ,所以双曲线 C的焦点坐标为 ( 2,0),故选 A.2.(2019 河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点 (2,1),且渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 相切的双曲线的标准方程为 ()222?A. 11 -11 =1B. 2
2、-y2=132222?C. 11 -11=1D.11- 11=133答案A设双曲线的渐近线方程为y=kx,即 kx-y=0,由渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 相切可|? 0-2|?2 +1=1,解得 k=3.2-2又双曲线经过点 (2,1),所以双曲线的焦点在 x 轴上 ,可设双曲线的方程为 ?2?2 =1(a0,b0),?41211412 -2 = 1,将(2,1)代入可得解得 ? =3 , 故所求双曲线的标准方程为2- 2=1,由?32=? = 11,?22?11 -11 =1.故选 A.323.(2019 皖北名校联考 ,7)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 ?4 +y2=1 相交于
3、A,B 两点 ,则 |AB|的最大值为 ()A.45B.4 10C.810D.855555答案B设 A,B 两点的坐标分别为 (x112 2),直线l的方程为y=x+m,由,y ),(x ,y?=?+ ?,228?4(?2-1)2 ?2消去 y 得 5x+8mx+4(m -1)=0,则 x1+x2=-,x1x2=.4 + ? = 155212 12(?2|AB|=1+ ?+ ?2)-4?1?2|x-x |=+ ?1=2( -8?216(? 2 -1)=425-?2 ,5 )-55当 m=0 时,|AB|取得最大值 4105,故选 B.4.(多选 )已知 F1,F2 分别是双曲线C:y2-x2=
4、1 的上、下焦点 ,点 P 是其一条渐近线上的一点 ,且以线段 F12 为直径的圆经过点P,则()FA. 双曲线 C 的渐近线方程为 y=xB.以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2 =1C.点 P 的横坐标为 1D.PF1F2 的面积为 2答案ACD等轴双曲线 C:y22的渐近线方程为y= 故A正确.由双曲线的方程可-x =1x,知|F12所以以1 2 为直径的圆的方程为22故B错误.点0 0)在圆2 2F |=22,F Fx+y =2,P(x ,yx +y =222上,不妨设点 P(x0 0在直线? + ? = 2,则点的横坐标为 故y=x 上 ,则00解得 |x0P,y )? =?
5、,|=1,1, C00正确 .由上述分析可得 ,PF1 2 的面积为 1故D正确 故选ACD.F221=2,.25.(2019 湖南五市十校联考 )在平面直角坐标系xOy 中 ,抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为 C 上一点 ,PQ 垂直 l 于点 Q,M,N 分别为 PQ,PF 的中点 ,直线 MN 与 x 轴交于点R,若 NFR=60,则|NR|=()A.2 B.3C.23D.3答案A如图 ,连接 MF,QF,设准线 l 与 x 轴交于点 H, y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为 C 上一点 , |FH|=2,|PF|=|PQ|.M,N 分别为 PQ,PF
6、的中点 ,MN QF.PQ 垂直 l 于点 Q,PQOR,又 NFR=60, QPF=60, PQF 为等边三角形 ,MF PQ,F 为 HR 的中点 , |FR|=|FH|=2,|NR|=2.故选 A.22?6.(2019 安徽合肥模拟 )已知 A,B,C 是双曲线2-2 =1(a0,b0)上的三个点 ,直线AB 经过?原点 O,AC 经过右焦点 F,若 BFAC,且 3|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率为 ()A. 10B.52210D.2C. 33答案A如图 ,设双曲线的左焦点为 E,连接 AE,CE,BE,由题意知 |BF|=|AE|,|BE|=|AF|,四边形 AEBF 为矩形
7、,令 |BF|=|AE|=m,|AF|=n,由双曲线的定义 ,得|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,在直角三角形 EAC 中,m2+(3n+n)2=(3n+2a)2,将 2a=m-n 代入 ,化简 ,可得 m=3n,所以 n=a,m=3a,在直角三角形 EAF 中,m2+n2=(2c)2,即 9a2+a2=4c2,? 10可得 e= =.故选 A.?2二、填空题7.(2019 江西七校第一次联考 )点 M(2,1) 到抛物线 y=ax2 的准线的距离为2,则 a 的值为.答案1 或- 1412解析易知 a0,抛物线方程化为标准形式为x2=?1y,因为点 M(2,1) 到抛物线的准线的
8、距离为 2,所以当 a0 时,?1解得1当a0)的焦点为 F,其准线与双曲线?-?=133相交于 A,B 两点 ,若 ABF 为等边三角形 ,则 p=,抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.答案6322解析抛物线的焦点坐标为 (0, ?将准线方程与双曲线方程联立可得2 ) ,准线方程为 y=-2,2222?33?3 -12 =1,解得 x= 3 +4 .因为 ABF 为等边三角形,所以 2 |AB|=p,即2 23 +4 =p,解得 p=6.则抛物线的焦点坐标为 (0,3),易知双曲线的渐近线方程为 y=x,则抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为33 22 = 2 .10.已知直线 y=k(x
9、+2)(k0) 与抛物线 C:y2=8x 交于 A,B 两点 ,F 为 C 的焦点 .若|FA|=2|FB|,则 k=.答案2 23解析设抛物线 C:y2=8x 的准线为 l,易知 l:x=-2,直线 y=k(x+2)(k0) 恒过定点 P(-2,0).如图 ,过 A,B 分别作 AM l 于点 M,BN l 于点 N,由 |FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,点 B 为线段 AP 的中点 ,连接 OB,则 |OB|=1 |AF|,|OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1.2k0,点 B 的坐标为 (1,22),k= 22 -0=2 2 .1- (-2)3三、解答题2?211.设 O
10、 为坐标原点 ,动点 M 在椭圆 C: 2 +y =1(a1,a R)上,过 O 的直线交椭圆 C 于 A,B?两点 ,F 为椭圆 C 的左焦点 .(1)若 FAB 的面积的最大值为1,求 a 的值 ;1(2)若直线 MA,MB 的斜率的乘积等于 -3,求椭圆 C 的离心率 .解析12所以(1)因为 SFAB = |OF| |yA-yB| |OF|= ?a=2.2-1=1,(2)由题意可设 A(x 0,y0),B(-x 0,-y0),M(x,y),22?-?+?22?2?2? -?则+y=1,000=022+?=1,kMA kMB =220?-?+? -?000221 -?)1222-(1 -
11、0-22(? -? )11=?=022?22=-2=- ,? - ? -?300所以 a2所以所以2 2=3,a=3,c= ?-?=2,? 26所以椭圆的离心率e= =.? 332 2? ?12.(2019天津 ,18,13 分)设椭圆2+2 =1(ab0)的左焦点为F,上顶点为 B.已知椭圆的短轴?5长为 4,离心率为 5 .(1)求椭圆的方程 ;(2)设点 P 在椭圆上 ,且异于椭圆的上、下顶点 ,点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点 ,点 N 在 y轴的负半轴上 .若|ON|=|OF|(O为原点 ),且 OPMN, 求直线 PB 的斜率 .解析 (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意 ,2
12、b=4,? 5又22 2可得?= 5,a =b +c ,a= 5,b=2,c=1.22所以 ,椭圆的方程为 ?+? =1.54(2)由题意 ,设 P(xP,yP)(xP0),M(x M ,0).设直线 PB 的斜率为 k(k 0),又 B(0,2),则直线 PB?=?+ 2,2220?22整理得 (4+5k可得的方程为 y=kx+2,与椭圆方程联立 ?P,5 +4= 1,)x +20kx=0,x =-4+5? 2代入 y=kx+2 得 yP8 -10?2= 4+5?2 ,? 4 -5?2进而直线 OP 的斜率?=.? -10?在 y=kx+2 中,令 y=0,得 xM=-?2.由题意得 N(0
13、,-1),所以直线 MN 的斜率为-?2 .2?由 OPMN, 得4- 5?-10? ( -) =-1,2化简得 k2242 30=从而5 .5 ,k=所以 ,直线 PB 的斜率为 230 或-230 .5522?=1(ab0)的左焦点为 F,左顶点为 A, 上顶点为 B. 已13.(2019 天津 ,19,14 分) 设椭圆 2+ 2?知3|OA|=2|OB|(O 为原点 ).(1)求椭圆的离心率 ;(2)设经过点 F 且斜率为 3的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P,圆 C 同时与 x 轴和直线4l 相切 ,圆心 C 在直线 x=4 上,且 OCAP.求椭圆的方程 .解析(1)设椭
14、圆的半焦距为c,由已知有 3a=2b.又由 a22 2 消去2322? 1得=b +c ,ba =( 2 a)+c ,解得 ?=2.所以 ,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆的方程为22=1.?+ ?224?3?由题意知 ,F(-c,0),则直线 l 的方程为 y=3(x+c).422?2 +2 = 1,点 P 的坐标满足 4?33?=(x +c),4消去 y 并化简 ,得到 7x22解得1213?+6cx-13c =0,x =c,x =- .7代入到 l 的方程 ,解得 y1 329=2 c,y =-14 c.3因为点 P 在 x 轴上方 ,所以 P(?, c)
15、 .2由圆心 C 在直线 x=4 上,可设 C(4,t).因为 OC AP,且由 (1)知 A(-2c,0),?3 c所以=2 ,解得 t=2.则 C(4,2).4?+2?因为圆 C 与 x 轴相切 ,所以圆的半径为 2,|3(4+c) -2|又由圆 C 与 l 相切 ,得432 =2,可得 c=2.1+( 4 )2 2? ?所以 ,椭圆的方程为 16 +12 =1.命题拓展预测如图 ,由部分抛物线 y2=mx+1(m0,x0) 和半圆 x2+y2=r2(x 0)所组成的曲线称为“黄金抛物线 C”,若“黄金抛物线 C”经过点 (3,2)和( - 1 , 3 ) .22(1)求“黄金抛物线C”的
16、方程 ;(2)设 P(0,1)和 Q(0,-1),过点 P 作直线 l 与“黄金抛物线 C”交于 A,P,B 三点 ,问:是否存在这样的直线 l,使得 QP 平分 AQB?若存在 ,求出直线 l 的方程 ;若不存在 ,请说明理由 .(1)因为“黄金抛物线C”过点 (3,2)和( -13解析2 ,2 ) ,所以 r21 23 2解得=( - 2 )+( 2 ) =1,4=3m+1,m=1.所以“黄金抛物线C”的方程为 y2=x+1(x0) 和 x2+y2=1(x0).(2)假设存在这样的直线l,使得 QP 平分 AQB.显然直线 l 的斜率存在且不为0,结合题意可设直线 l 的方程为 y=kx+
17、1(k 0),A(x A,yA),B(x B,yB),不妨令 xA0 0)1 -2?1 -?1-2?,1 -?1,所以直线 BQ 的斜率 kBQ=?.所以 xB=2 ,yB=,即 B(2) ,由 xB0 知 k?21- 2?由?=?+ 1,消去 y 并整理 ,得 (k2+1)x2+2kx=0,22? + ? = 1(x 0)所以 xA22=-2?A1- ?,即A( -2?1 -?) ,由A0,=- .? +1? +1? +1? +1?因为 QP 平分 AQB, 且直线 QP 的斜率不存在 ,所以 kAQ+kBQ=0,即-1?由1可得?+1 -2?=0,0k 2,k=2-1.所以存在直线 l:y=( 2-1)x+1,使得 QP 平分 AQB.
