1、第 2 讲复数、平面向量一、选择题1.(2019 河南名校联考 )若复数 z 满足 z(2-4i)=1+3i, 则 |z|=()321A.1 B. 2C.2D.2答案 C依题意知 z=(1+3i)(2+4i)=-10+10i=-1+1 i,故|z|=( -1 )2+ (1 )2=2,故选 C.(2 -4i)(2+4i)20222222.(2019 湖南娄底二模 )复数 z 满足 (1+i)z=|-4i|,则 z=()A.2+2iB.1+2iC.2-2i D.1-2i答案C 由(1+i)z=|-4i|=4,得 z= 44(1 -i)1+i =(1+i)(1 -i) =2-2i.故选 C.已知复数
2、 ?+i是纯虚数 (i是虚数单位 ),则实数 a 等于 ()3.2 -i1D.-1A.-2B.2 C.2?+i2?-1 2+?答案C 因为2 -i =5 +5 i 是纯虚数 ,所以 2?- 1=0,2+?0,55所以 a=1,选 C.24.(2019 安徽蚌埠第一次教学质量检测)已知复数 z 满足 z(1-i)=2-i, 其中 i 是虚数单位 ,则复数 z 在复平面内对应的点位于 ()A. 第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案 A z(1-i)=2-i,2 -i(2 -i)(1+i)=2+i -i 2 3+i,z= =21 -i (1 -i)(1+i)2则在复平面内对应的点的坐
3、标为 ( 3 1位于第一象限 故选2 , 2) ,.A.5.复数 z=(a+1)+(a2-3)i(i为虚数单位 ),若 z0,则实数 a 的值是 ()A. 3B.1 C.-1D.-3答案D由题意得 ?+ 1 0,2?-3 = 0,解得 a=-3.故选 D.6.(2019 广东六校第一次联考 )在 ABC 中,D 为 AB 的中点 ,点 E 满足 ?=4?,则?=(?)A.5445?-?- ?63B.365445? D.?C.6 ?+3?3?+6?答案A?14?因为 D 为 AB 的中点 ,点 E 满足 ?=4?,所以 ?=2?,=3 ?,所以414154?=?+?=?+?=(?+?)-?=?-
4、?,故选 A.3232637.(2019 河北唐山模拟 )已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b 的夹角的余弦值为 ()310B.-310A. 10102D.-2C. 22答案C因为向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),所以 b=(2,0),则向量 a,b 的夹角的余弦值为1 2+1 0=2 .2228.已知在平面直角坐标系xOy 中 ,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3 三点共线且向量 ?与?向量3a=(1,-1)共线 ,若?=?+(1?-)?,则? =(312)A.-3B.3 C.1 D.-1答案?于是 ?若=?Da,知 x+y=0,) 则设?
5、=(x,y), 则由 ?3=(x,-x).?1+(1-?,3332有 (x,- x)= (3,1)+(1-)(-1,3)=(4 -1,3-2),即 4?-1 = ?,所以 4-1+3-2=0,解得 =-1. 3-2?= -?,9.已知 ?=(2,1),?点 C(-1,0),D(4,5),则向量 ?在?方?向上的投影为 ()A.- 3 22B.-35C.322D.35因为点所以?又?所以向量?答案CC(-1,0),D(4,5),?=(5,5),在 ?方向上的?=(2,1),?3 2?15投影为 |?cos= ? = .|?52 2? ?为 BC 的三等分10.(2019 湖南湘潭模拟 )在 AB
6、C 中,|?+?|=|?-?|,AB=2,AC=1,E,F点 ,则?=()A. 8 B.1099C.25 D.2699答案?为坐标原点?的方向分别为 x 轴,yB?以A由|?+|=|?-|知?,?,?,则 A(0,0),B(2,0),C(0,1), 不妨设 E(4122轴的正方向建立平面直角坐标系3,3 ) ,F( 3,3 ),则?4 1228210?=(3 , 3 )( 3, 3 ) =9+9= 9 .11.(2019 广东揭阳模拟 )已知 O 是 ABC 内一点 ,?+?+?=0,?=2 且BAC=60 ,则 OBC 的面积为 ()332A. 3B.3C.2D. 3答案A是ABC的重心于是
7、S=.?+?+?=0,O,3S ABC?=2,OBC1?|?|?| cos BAC=2, BAC=60,?ABC =1|?BAC= 3,|?|=4. S|?|?| sin2 OBC 的面积为 33 ,故选 A.12.(2019 河南郑州第二次质量预测)在 Rt ABC 中, C=90,CB=2,CA=4, 点 P 在边 AC的中线 BD 上,则 ?的最小值为 ()1A.- 2 B.0 C.4 D.-1答案A解法一 :因为 BC=2,AC=4, BCD=90 ,所以 AC 的中线 BD=22,且CBD=45 .因为点 P 在边 AC 的中线 BD 上 ,所以设 ?=?如图所示 所以(01),?
8、?222?+? =?+?=|?|cos135 +?=(?+?)?=(?)?|?2212111故选 =8(?-4 )-2当 =时,? ?取得最小值 -,A.(22) =8-4,42解法二 :依题意 ,以 C 为坐标原点 ,分别以 AC,BC 所在的直线为 x 轴 ,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,则 B(0,2),D(2,0),所以直线 BD 的方程为 y=-x+2, 因为点 P 在边 AC 的中线 BD 上 ,所以可设 P(t,2-t)(0 t2),所以 ?=(t,2-t),?=(t,-t),所以2?=t2-t(2-t)=2t 2-2t=2(?-12 ) -12 ,当 t=12 时,?
9、?取得最小值 -12 ,故选 A.二、填空题13.已知复数 z 满足 (1+3i)z= 3i,i 是虚数单位 ,则 z=.答案3+3 i44解析由已知得3i=3i(1 -3i)=3+ 3i =3 +3 i.z=1+ 3i(1+ 3i)(1 -3i)44 414.设i+12+i-2i=a+bi(a,bR,i 为虚数单位 ),则 b-ai=.答案 -25-23 i2+i(2+i)(1-i)3 5355 3解析因为 i+1 -2i=(i+1)(1-i)-2i= 2 -2 i=a+bi,所以 a=2,b=-2 ,因此 b-ai=-2 -2 i.15.在如图所示的平面图形中,已知 OM=1,ON=2,
10、MON=120 ,?=2?,?=2?,则?的?值为.答案-6解析解法一 :连接 OA.?=?-?=3?-3?=3(?-?)-3(?-)=3(?-?),? ?2? 2=3(?-?)?=3(?-|?|)=3(2 1 cos 120 -1 )=3(-2)=-6.解法二 :在 ABC 中 ,不妨设 A=90,取特殊情况 ONAC, 以 A 为坐标原点 ,AB,AC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为MON=120 ,ON=2,OM=1, 所以 O(2,33 35152 ) ,C(0,2) ,M( 2,0),B( 2 ,0) .故? ?15 331315 9=( - 2 , 2 ) ( 2 ,-2 )=- 4 -4 =-6.16.(2019 安徽合肥模拟 )在 ABC 中,(?-3) ?,则角 A 的最大值为.答案6解析因为?(?-3?) ?,所以 (?-3?)?=0,即 (?-3?)(?-?)=0,则22|? 3|?332 ? 2|?+3|?即cos A=?=2当且仅当?-4?+3?=0,+ ?16= ,4|? |?4|? 4|?2?|?|=3|?|时等号成立 .所以 0A 6 ,即角 A 的最大值为 6 .
