1、关于水车上任意一点距离水面的高度与水流速的关系的研究1 .问题的提出水车又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服 世界的过程中创造出来的高超劳动技艺， 是珍贵的历史文化遗产。相 传为汉灵帝时华岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在 蜀国推广使 用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有 1700余年历史。现代，水车作为一种古老而独具智慧的艺术品出现在我们的生活 中，人们在惊异古老智慧的同时，是否想过它身上所蕴含的数学问 题？比如：水车上一点距离水面的高度与水流速有何关系？由图1可知，水车的高度具有一定的周期性，故，此模型应为研 究周期现象的模型。在研究过程中，不考虑其他影响水车转速或水流
2、 速的因素。为了更好地学习数学知识，并将它充分运用到实际生活中，我对此 问题想做进一步的研究。2 .问题的分析问题的条件有两点：1 .题目中要求建立数学模型来研究水车上一点距离水面的高度与 水流速的关系，属于周期现象。2 .研究过程中不需要考虑其他因素对水流速与转速的影响。3 .模型的假设与符号说明假设水流速为恒定值符号说明h水车上一点距离水面的图度v水流速w水车的角速度r水车的半径t时间b水车圆心与水面的距离DC水车上一点转过的角度4. 模型建立向图2如图2,水车半径为r,其中心。距离水面距离为b,规定水流速为v,向左为正方向，任意一点 P点距离水面的高度为ho求h与v的函数解析式。5. 模
3、型求解水流速即可看为水车的线速度，则由已知可得水车的角速度w=v/r.为了方便，不妨从当OP与水面平行时开始计时，即从ONfe开始计时，在t时刻水车转动的角度 =wt=vt/r 如图2所示，过点P向水面作垂线，交ONT点Q,交水面于点A, PA即为点P距离水面的高度。h=PA=PQ+QA=PQ+OMPQ=OP- sin 民把式，式代入式得：h=r sin (t v/r ) +b这就是水车上任意一点距离水面高度 h与水流速v的函数解析式。6. 结果分析研究函数h= r - sin (t v/r ) +b的性质(1):确定周期T=2 兀/w=2 兀 / (t/r ) =2 兀 r/t(2):确定频
4、率f=1/T=t/2 兀 r(3):讨论性质当 vt/r 6 【2k 兀-兀/2,2k 兀 +兀 /2 】(k 6 Z),即 v6 2k% r/t-兀 r/2t , 2k% r/t+ 兀 r/2t (k6Z)时，函数递增。当 vt/r 6 2k% +%/2 , 2k 兀+3 兀/2】(k 6 Z),即 v6 2k%r/t+ 兀 r/2t , 2k 兀 r/t+3 兀 r/2t ( k 6 Z)时，函数递 减。7. 研究拓展如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化。水面上涨时 参数b减小，水面回落时参数b增大。如果水流速度加快，将使周期 T减小，转速减慢时则使周期 T增大。8. 方案评价(1) .本文把所解决的实际问题转化为函数周期问题，建立模型思 路清晰合理。(2) .简化了水车模型，计算起来更加简便。(3) .将研究结果进行拓展，增强了实用价值(4) .但在实际运用中还应考虑自然因素对水流速的影响，根据实际情况进行灵活改变。(5) .面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能，通 过这个问题的研究，我更加熟练的掌握了把问题提供的“条件”逐条 地“翻译”成“数学语言”。
