1、小学数学奥林匹克竞赛模拟题第一部分第二节二、有规律的数列习题二1 、找出以下各个数列的规律,在括号里填上适当的数。(1)3 , 12 ,27 , 48 ,75 , ( ) ;(2)3 , 26 ,111 ,324 ,755 ,1518 , 2751 ,( ) ;(3)2 , 10 ,10 , 66 ,26 , 218 , 50 ,514 ,82 , 1002 ,( ) , ( );(4)0.25 ,0.4 , 0.5, 1.6 ,0.75 , 3.6 ,1,6.4 , ( ), ( )。2 、239 被某数除,所得的商与除数相同,余数比除数少1,求出余数来。3 、在一个两位数的两个数字中间加一
2、个0,那么所得的3 位数是原数的7 倍,求这个两位数。4 、一个两位数,把它的个位数字与十位数字交换位置后所得的两位数比原数多18 ,求出这个两位数来。5、由算式,求出 x, y ,z代表什么数。6、六年级有甲乙丙丁4 个班,不算甲班,其余 3班一共有 147 人,不算丁班,其余3 个班共有 144 人,乙丙两班人数之和与甲丁两班人数之和相等,求4 个班共有多少人?7 、计算下式的值:(1+) (+)-(1+) (+)。8 、(第 7 题的推广 )设 n 3 是一个自然数,计算下式的值:(1+ +)( + + + )-(1+ + + + )( + +)。9 、有 9个不同的自然数, 从小到大排
3、成一行, 相加的和为61 ,如果去掉其中最小的和最大的数,剩下 7 个数的和是49 ,求在原来排列的次序中,第三个数是多少?10 、计算。11 、一个分数在约分前分子分母的和为108 ,如果分子加上15 ,分母加上12 再作约分,恰好得到,求原来的分数化成最简分数应是多少?12 、连结圆周上任意两点的线段叫做弦,直径正好就是经过圆心的弦。一个圆被一条直径和一条弦划分,最多可分成4个区域。一个圆被 2 条直径和一条弦划分,最多可分成 7 个区域。那么,一个圆若被一百条直径和一条弦来分,最多可分成多少个区域呢?13、 3 个三角形最多可把整个平面分成多少个区域?4 个三角形呢?10 个三角形呢?1
4、4、仿照例 6 的方法计算 13 +23+3 3+ +n3。15、 10 条直线最多可以把平面分成几部分?习题二提示及部分解答1 、(1)仿例 1(1) 题的方法即可; (2)反复用例 1(1) 题的做法,直到找出规律为止; (3) 这是由两个数列凑合而成的,对每个数列用上述方法; (4) 它也是由两个数列合成的,做法与上一小题同。2、解法一:因为商与除数相同,所以商与除数的乘积是一个平方数,而且这个平方数一定不超过239( 想一想理由是什么? ) 。然后判断不超过 239 的平方数中,哪个平方数是符合题目要求的( 这里要用到除法中除数与余数的大小关系)。由此即可求出除数。解法二:设除数是x
5、,那么根据条件,并把除法改用乘法(想想怎样用乘法对除法作验算 )写出来就可得到 239=x 2 +x-1 。等式两边都加 1 得 239+1=x 2+x,这就是 x(x+1)=240 。把这个式看成是两个连续自然数的积是240 ,你应该知道怎样求 x 了。3、设这个两位数为 ab ,a 是十位数字, b 是个位数字,那么这个两位数可以写成10a+b 。同理,中间加一个 0所得的 3位数可以写成 100a+b 。于是由题给条件可列出下面的式子,100a+b=7(10a+b),从而 100a+b-b-70a=70a+7b-b-70a,这就是 30a=6b ,因此 b=5a 。注意到 a 、b 只能
6、取小于10 的数即可求出它们的值。4、注意两位数 ab 与 ba 分别可表示成 10a+b 以及 10b+a ,然后按题意列式求解。5、这种几个字母轮换出现的式子通常用加法去做,即把3 个式子的左边和右边分别相加,这就得到4x+4y+4z=44,由此即可求出x+y+z 的值。6 、根据条件列出以下式子:由 , 两式推出丁 =甲 +3,代入 式得2 甲 =乙 +丙-3把 式两边都乘以2得2 甲 +2 乙 +2丙=288用 式代替 式中的2 甲,就可求出乙 + 丙的值。再利用式就可求出四班人数总和。7 、算式里有4 个括号, 4 个括号中共同有的是+,就设 a=+,题目中的式子就变成(1+a) (
7、a+)-(1+a+) a,利用分配律两次(参考 (2.8) 式的计算过程 )就可以算出它的值。8 、做法与上题同,只不过这次应假设a=+ +,于是原式变为(1+a) (a+)-(1+a+) a。9 、注意其中最小与最大的两个数的和是61-49=12 。由此再利用2+3+4+5+6+7+8+9+10=54比 61 小推出,最小,最大两数只可能是1 和 11 。最后注意1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。剩下的推理由你自己完成。10 、此题与第7、8 两题类同,千万不要直接计算。注意到分子、分母中四个数的共同点,可以设a=9876543210,于是原式变为,用分配律把分母的值算出
8、来即可。11 、假设约分前分子为a,分母为 b,那么由题意得到a+b=108(1)=(2)注意到 (2)式就是 b+12=2 (a+15) ,即有 b+12-2a-12=2a+2 15-2a-12 ,这就是b-2a=18 。(3)(1) 式表示 a 与 b 的和是 108 ,而 (3) 式表示 b 比 a 的 2 倍还多 18 ,现在求 a, b 就容易了。12 、解法一:先研究3 条直径和 1 条弦最多可把圆分成几个区域,结论是10 个,再由数列4,7, 10 ,的规律求出问题的答案。解法二:先考虑一百条直径把圆分成多少个区域(注意每加一条不同的直径,划分的区域多出2 个 ),然后再添上一条
9、弦,看它能增加最多多少个区域。13 、注意先研究一个及两个三角形的情形。方法与上题类似。14 、先证明对任何自然数 n 有(n+1) 4=n4+4n 3+6n 2 +4n+1 ,(1)由此推出(n+1) 4-n 4=4n 4+6n 2+4n+1 。(2)然后利用(2) 式分别取n 为1,2, ,n-1,n 得出n 个等式。把这些等式左、右两边分别相加,然后利用(2.15) 式及关于前 n 个自然数的和的公式就得出要求的计算公式了。详细过程参见例6 。另解:此题还有一个特殊的解法。直接计算可得1 3=12;13 +2 3=3 2 ;1 3+23 +33=62 ;13 +23+3 3 +43=10 2;1 3+23 +33+4 3 +53=15 2; 注意到数列1 ,3 ,6,10 ,15 , , (1)它的规律是:其中第n 个数等于 1+2+ +n,即可得出1 3+23 +n 3 =(1+2+ +n)2 =()2 。(2)在寻找数列(1)中第n 个数的规律时,仍然要用到正文中例1 给出的方法,即把(1)写成并注意 3=1+2 , 6=1+2+3 ,10=1+2+3+4 ,15=1+2+3+4+5等等。15 、仿照例3 或习题第13 题。