1、Mathematica 使用教程一、要点Mathematica 是一个敏感的软件 . 所有的 Mathematica 函数都以大写字母开头 ; 圆括号 ( ),花括号 , 方括号 都有特殊用途 , 应特别注意 ;句号“ .” ,分号“ ; ” ,逗号“ ,”感叹号“！”等都有特殊用途 , 应特别注意 ; 用主键盘区的组合键 Shfit+Enter 或数字键盘中的 Enter 键执行命令 .二、介绍案例1. 输入与输出例 1 计算1+1: 在打开的命令窗口中输入1+2+3并按组合键Shfit+Enter 执行上述命令 ,则屏幕上将显示:In1 : =1+2+3Out1 =6这里 In1 : =表
2、示第一个输入,Out1=表示第一个输出,即计算结果 .2. 数学常数Pi 表示圆周率;E 表示无理数e;I 表示虚数单位i;Degree 表示/180;Infinity 表示无穷大 .注 :Pi,Degree,Infinity 的第一个字母必须大写 ,其后面的字母必须小写 .3. 算术运算Mathematica 中用“ +”、“- ”、“ * ”、“ /” 和“ ”分别表示算术运算中的加、减、乘、除和乘方 .1111242例 2计算48 31009.9输入100(1/4)*(1/9)(-1/2)+8(-1/3)*(4/9)(1/2)*Pi则输出3 103这是准确值 . 如果要求近似值 ,再输入
3、N%则输出10.543这里 %表示上一次输出的结果,命令 N% 表示对上一次的结果取近似值. 还用 % 表示上上次输出的结果 ,用 %6 表示 Out6 的输出结果 .注 : 关于乘号 *,Mathematica 常用空格来代替 . 例如 ,x y z 则表示 x*y*z, 而 xyz 表示字符串,Mathematica 将它理解为一个变量名. 常数与字符之间的乘号或空格可以省略.4. 代数运算例 3分解因式x 2 3x2输入Factorx2+3x+2输出(1 x )(2x)例 4 展开因式 (1 x)( 2 x )输入Expand(1+x)(2+x)输出23xx 2例 5通分212x3x1输
4、入Together1/(x+3)+2/(x+2)输出83x(2x )(3 x)例 6将表达式83x展开成部分分式( 2 x )(3x)输入Apart(8+3x)/(2+x)(3+x)输出21x2x 3例 7化简表达式(1x)( 2x) (1 x)(3 x)输入Simplify(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)输出57x2x 2三、部分函数1. 内部函数Mathematica 系统内部定义了许多函数,并且常用英文全名作为函数名,所有函数名的第一个字母都必须大写 ,后面的字母必须小写.当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第一个字母都必须大写 ,其余的字母必须小写 . Mathematic
5、a 函数 (命令 )的基本格式为函数名 表达式 ,选项 下面列举了一些常用函数 :算术平方根xSqrtx指数函数 exExpx对数函数 log a xLoga,x对数函数 ln xLogx三角函数Sinx, Cosx, Tanx, Cotx, Secx, Cscx反三角函数ArcSinx,ArcCosx,ArcTanx,ArcCotx,AsrcSecx,ArcCscx双曲函数Sinhx,Coshx,Tanhx,反双曲函数ArcSinhx,ArcCoshx,ArcTanhx四舍五入函数Roundx(* 取最接近 x 的整数 *)取整函数Floorx(* 取不超过 x 的最大整数 *)取模Modm
6、,n(*求 m/n 的模 *)取绝对值函数Absxn 的阶乘n!符号函数Signx取近似值Nx,n(* 取 x 的有 n 位有效数字的近似值,当 n 缺省时 ,n 的默认值为 6*)例 8求 的有 6 位和 20 位有效数字的近似值 .输入NPi输出 3.14159输入NPi, 20输出 3.1415926535897932285注: 第一个输入语句也常用另一种形式:输入Pi/N输出 3.14159例 9计算函数值(1) 输入SinPi/3输出322(2)输入ArcSin.45输出 0.466765(3)输入Round-1.52输出 -2例10 计算表达式1e2sin6 2arctan(0.6
7、) 的值1ln 23 2输入 1/(1+Log2)*SinPi/6-Exp-2/(2+2(2/3)*ArcTan.6 输出 0.2749212. 自定义函数在 Mathematica 系统内 ,由字母开头的字母数字串都可用作变量名,但要注意其中不能包含空格或标点符号 .变量的赋值有两种方式. 立即赋值运算符是“=”, 延迟赋值运算符是“: =”. 定义函数使用的符号是延迟赋值运算符“: =” .例 11 定义函数f ( x)x32 x 21 , 并计算f (2) , f (4) , f (6) .输入Clearf,x;(* 清除对变量f 原先的赋值 *)fx_:=x3+2*x2+1;(* 定义
8、函数的表达式*)f2(* 求 f (2) 的值 *)fx/.x-4(* 求 f (4) 的值 ,另一种方法 *)x=6;(* 给变量 x 立即赋值 6*)fx(* 求 f (6) 的值 , 又一种方法 *)输出1797289注: 本例 1、 2、 5 行的结尾有“ ; ”,它表示这些语句的输出结果不在屏幕上显示.四、解方程在 Mathematica 系统内 ,方程中的等号用符号“=”表示 . 最基本的求解方程的命令为Solveeqns, vars它表示对系数按常规约定求出方程( 组) 的全部解 ,其中 eqns 表示方程 (组 ),vars 表示所求未知变量.例 12 解方程 x 2 3x 2
9、 0输入Solvex2+3x+2=0, x输出 x2, x1例 13解方程组axby0cxdy1输入 Solvea x + b y = 0,c x + d y =1, x,y输出xb, yabcadbcad例 14解无理方程x1x 1a输入 SolveSqrtx-1+ Sqrtx+1 = a, x输出4a 4x4a2很多方程是根本不能求出准确解的,此时应转而求其近似解 .求方程的近似解的方法有两种 ,一种是在方程组的系数中使用小数,这样所求的解即为方程的近似解;另一种是利用下列专门用于3求方程 ( 组)数值解的命令 :NSolveeqns, vars (* 求代数方程 (组 )的全部数值解 *
10、)FindRooteqns, x, x0, y, y0,后一个命令表示从点 ( x0 , y 0 , ) 出发找方程 (组 )的一个近似解 , 这时常常需要利用图像法先大致确定所求根的范围 ,是大致在什么点的附近 .例 15 求方程 x 3 1 0 的近似解输入 NSolvex3-1= 0, x输出 x-0.5-0.866025ii,x-0.5+0.866025ii, x1.输入FindRootx3-1=0,x, .5输出 x1.下面再介绍一个很有用的命令:Eliminateeqns, elims (*从一组等式中消去变量 ( 组)elims*)x2y2z21例 16 从方程组x2( y1)2
11、(z1)21 消去未知数 y、z.xy1输入Eliminatex2+y2+z2 =1,3x 2x2+(y-1)2 + (z-1)2 =1, x + y= 1,y, z输出2x0注: 上面这个输入语句为多行语句, 它可以像上面例子中那样在行尾处有逗号的地方将行与行隔开 , 来迫使 Mathematica 从前一行继续到下一行在执行该语句. 有时候多行语句的意义不太明确 ,通常发生在其中有一行本身就是可执行的语句的情形 ,此时可在该行尾放一个继续的记号“ ” , 来迫使 Mathematica 继续到下一行再执行该语句 .五、保存与退出Mathematica 很容易保存Notebook 中显示的内
12、容 ,打开位于窗口第一行的File 菜单 ,点击 Save后得到保存文件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为*.nb 文件 . 如果只想保存全部输入的命令 ,而不想保存全部输出结果 ,则可以打开下拉式菜单 Kernel, 选中 Delete All Output, 然后再执行保存命令 . 而退出 Mathematica 与退出 Word 的操作是一样的 .六、查询与帮助查询某个函数 (命令 )的基本功能 ,键入“ ?函数名” ,想要了解更多一些, 键入“ ?函数名” , 例如 ,输入?Plot则输出Plotf,x,xmin,xmax generates a plot of f as a
13、 functionof x from xmin to xmax. Plotf1,f2, ,x,xmin,xmax plots several functions fi 它告诉了我们关于绘图命令“ Plot ”的基本使用方法 .例 17 在区间 1,1 上作出抛物线yx 2 的图形 .输入Plotx2,x,-1,1则输出410.80.60.40.2-1-0.50.51例 18 在区间 0,2 上作出 ysin x 与 ycos x 的图形 .输入PlotSinx,Cosx,x,0,2Pi则输出10.5123456-0.5-1如果输入?Plot则 Mathematica 会输出关于这个命令的选项的
14、详细说明,请读者试之 .此外 ,Mathematica 的 Help 菜单中提供了大量的帮助信息,其中 Help 菜单中的第一项HelpBrowser( 帮助游览器 )是常用的查询工具,读者若想了解更多的使用信息,则应自己通过Help 菜单去学习 .编辑本段 Mathematica基本运算a+mathematica 数学实验(第 2 版 )b+c加5a-b 减a b c或a*b*c乘a/b 除-a 负号ab 次方Mathematica数字的形式256 整数2.56实数11/35分数2+6I复数常用的数学常数Pi圆周率， =3.141592654E 尤拉常数，e=2.71828182Degree
15、角度转换弧度的常数，Pi/180I 虚数，其值为-1Infinity无限大指定之前计算结果的方法% 前一个运算结果% 前二个运算结果%(n个 %)前 n 个运算结果%n 或Outn前 n 个运算结果复数的运算指令a+bI复数Conjugatea+bI共轭复数Rez, Imz复数 z 的实数 /虚数部分Absz复数 z 的大小或模数(Modulus)Argz复数 z 的幅角 (Argument)Mathematica输出的控制指令expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最後一个运算的结果 expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果expr;做运算，但
16、不印出结果编辑本段 常用数学函数Sinx,Cosx,Tanx,Cotx,Secx,Cscx三角函数，其引数的单位为弪度Sinhx,Coshx,Tanhx, 双曲函数ArcSinx,ArcCosx,ArcTanx反三角函数ArcCotx,ArcSecx,ArcCscx6Arc Sinhx,ArcCoshx,ArcTanhx, 反双曲函数Sqrtx根号Expx指数Logx自然对数Loga,x以 a 为底的对数Absx绝对值Roundx最接近 x 的整数Floorx小於或等於 x的最大整数Ceilingx大於或等於x 的最小整数Moda,b a/b所得的馀数n! 阶乘Random0至 1 之 间 的
17、 随 机 数 （ 最 新 版 本 已 经 不 用 这 个 函 数 ， 改 为 使 用RandomReal）Maxa,b,c,.， Mina,b,c, a,b,c,的极大 /极小值编辑本段 数之设定x=a 将变数 x 的值设为 ax=y=b将变数 x 和 y 的值均设为bx=. 或 Clearx 除去变数x 所存的值变数使用的一些法则xy 中间没有空格，视为变数xyx y x 乘上 y3x 3 乘上 xx3 变数 x3x2y为x2 y 次方运算子比乘法的运算子有较高的处理顺序编辑本段 四个常用处理代数的指令Expandexpr将expr 展开Factorexpr将 expr 因式分解Simpli
18、fyexpr将expr 化简成精简的式子FullSimplifyexpr Mathematica会尝试更多的化简公式，将expr 化成更精简的式子编辑本段 多项式 / 分式转换的函数ExpandAllexpr把算是全部展开Togetherexpr将expr 各项通分在并成一项Apartexpr把分式拆开成数项分式的和Apartexpr,var视 var 以外的变数为常数，将expr 拆成数项的和7Cancelexpr把分子和分母共同的因子消去编辑本段 分母 / 分子的运算Denominatorexpr取出 expr 的分母Numeratorexpr取出 expr 的分子ExpandDenomi
19、natorexpr展开 expr 的分母ExpandNumeratorexpr展开 expr 的分子编辑本段 多项式的另二种转换函数Collectexpr,x将 expr表示成 x 的多项式，如Collectexpr,x,y, 将 expr分别表示成x,y, 的多项式FactorTermsexpr将 expr 的数值因子提出，如 4x+2=2(2x+1)FactorTermsexpr,x将 expr 中把所有不包含x 项的因子提出FactorTermsexpr,x,y, 将 expr 中把所有不包含x,y,.项的因子提出编辑本段 三角函数、双曲函数和指数的运算TrigExpandexpr将三角
20、函数展开TrigFactorexpr将三角函数所组成的数学式因式分解TrigReduceexpr将相乘或次方的三角函数化成一次方的基本三角函数之组合ExpToTrigexpr将指数函数化成三角函数或双曲函数TrigToExpexpr将三角函数或双曲函数化成指数函数复数、次方乘积之展开ComplexExpandexpr 假设所有的变数都是实数来对expr 展开ComplexExpandexpr,x,y,假设 x,y,. 等变数均为复数来对expr 展开PowerExpandexpr将多项式项次、系数与最高次方之取得Coefficientexpr,form於 expr中 form 的系数Expon
21、entexpr,form於 expr 中 form 的最高次方Partexpr,n 或 exprn在 expr 项中第 n 个项代换运算子expr/.x-value将 expr 里所有的 x 均代换成 valueexpr/.x-value1,y-value2, 执行数个不同变数的代换expr/.x-value1,x-value2, 将 expr 代入不同的 x 值expr/.x-value1,y-value2, 重复代换到expr不再改变为止8求解方程式的根Solvelhs=rhs,x解方程式lhs=rhs ，求 xNsolvelhs=rhs,x解方程式lhs=rhs 的数值解Solvelhs
22、1=rhs1,lhs2=rhs2,x,y, 解联立方程式，求x,y, NSolvelhs1=rhs1,lhs2=rhs2,x,y, 解联立方程式的数值解FindRootlhs=rhs,x,x0由初始点 x0求 lhs=rhs 的根Mathematica的四种括号(term)圆括号，括号内的term 先计算fx 方括号，内放函数的引数x,y,z大括号或串列括号，内放串列的元素pi 或 Partp,i双方括号，p 的第 i 项元素pi,j或 Partp,i,j p的第 i 项第 j 个元素缩短 Mathematica输出的指令expr/Short显示一行的计算结果Shortexpr,n显示 n 行
23、的计算结果Command;执行 command ，但不列出结果查询 Mathematica的物件?Command查询 Command 的语法及说明?Command查询 Command 的语法和属性及选择项?Aaaa*查询所有开头为Aaaa 的物件函数的定义、查询与清除fx_= expr立即定义函数fxfx_:= expr延迟定义函数fxfx_,y_, 函数 f 有两个以上的引数?f 查询函数f 的定义Clearf或f=.清除 f的定义Removef将 f 自系统中清除掉含有预设值的 Patterna_+b_. b 的预设值为0，即若 b 从缺，则b 以 0 代替x_ y_ y 的预设值为1x_
24、y_ y的预设值为19条件式的自订函数lhs:=rhs/;condition当 condition成立时，lhs 才会定义成rhsIf 指令Iftest,then,else若 test 为真，则回应then ，否则回应elseIftest,then,else,unknow同上，若test 无法判定真或假时，则回应unknow极限Limitexpr,x-c 当 x 趋近 c 时，求 expr 的极限 Limitexpr,x-c,Direction-1 Limitexpr,x-c,Direction-1微分Df,x函数 f 对 x 作微分Df,x1,x2, 函数 f 对 x1,x2, 作微分Df,
25、x,n函数 f 对 x 微分 n 次Df,x,NonConstants-y,z, 函数 f 对 x 作微分，将y,z, 视为 x 的函数全微分Dtf全微分dfDtf,x全微分Dtf,x1,x2, 全微分Dtf,x,Constants-c1,c2, 全微分，视c1,c2, 为常数不定积分Integratef,x不定积分f dx定积分Integratef,x,xmin,xmax定积分Integratef,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax定积分数列之和与积Sumf,i,imin,imax求和Sumf,i,imin,imax,di求数列和，引数i 以 di 递增Sumf,i,imin,i
26、max,j,jmin,jmaxProductf,i,imin,imax求积Productf,i,imin,imax,di求数列之积，引数i 以 di 递增10Productf,i,imin,imax,j,jmin,jmax函数之泰勒展开式Seriesexpr,x,x0,n对 expr 於 x0点作泰勒级数展开至(x-x0)n 项Seriesexpr,x,x0,m,y,y0,n对 x0和 y0 展开关系运算子a=b等於ab大於a=b大於等於ab小於avalue指定特殊的绘图选项，画出函数f 的图形Plot几种常用选项的指令选项预设值说明AspectRatio 1/GoldenRatio图形高和宽
27、之比例，高/宽Axes True是否把坐标轴画出AxesLabel Automatic为坐标轴贴上标记，若设定为AxesLabel-?ylabel?，则为 y 轴之标记。 若设定为AxesLabel-?xlabel?,?ylabel?，则为 x 轴 ,y 轴 的标记AxesOrigin Automatic坐标轴的相交的点DefaultFont $DefaultFont图形里文字的预设字型11Frame False是否将图形加上外框FrameLabel False从 x 轴下方依顺时针方向加上图形外框的标记FrameTicks Automatic (如果 Frame 设为 True) 为外框加上
28、刻度;None 则不加刻度GridLines None设 Automatic则於主要刻度上加上网格线PlotLabel None整张图之图名PlotRange Automatic指定 y 方向画图的范围Ticks Automati坐标轴之刻度，设None 则没有刻度记号出现 Automatic 、None 、 True 、 False为 Mathmatica常用的选项设定，其代表意义分别为使用内部设定、不包含此项、作此项目、不作此项目。串列绘图ListPloty1,y2, 画出 1,y1,2,y2,的点ListPlotx1,y1,x2,y2, 画出 x1,y1,x2,y2,的点ListPlot
29、x1,y1,x2,y2,PlotJoined-True把画出来的点用线段连接绘图颜色的指定Plotf1,f2,x,xmin,xmax,PlotStyle- RGBColorr1,g1,b1,RGBColorr2,g2,b2,彩色绘图Plotf1,f2,x,xmin,xmax,PlotStyle-GrayLevel,GrayLevelj,灰阶绘图图形处理指令Showplot重画一个图Showplot1,plot2, 将数张图并成一张Showplot,option-opt加入选项图形之排列ShowGraphicsArrayplot1,plot2,将图形横向排列ShowGraphicsArray,将
30、图形垂直排列ShowGraphicsArrayplot1,plot2, 将图形成二维矩阵 式排列二维参数图ParametricPlotf1,f2,t,tmin,tmax参数绘图12ParametricPlotf1,f2,g1,g2,t,tmin,tmax同时绘数个参数图ParametricPlotf1,f2,t,tmin,tmax,AspectRatio-Automatic保持曲线的真正形状，即x,y 坐标比为1 ： 1等高线图ContourPlotf,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax於指定范围之内画出f 的等高线图ContourPlot的选项选项预设值说明ColorFunction Automatic上色的预设值为灰阶，选Hue 则为系列色彩Contours 10等高线的数目。设Contours- z1,z2, 则指定等高值为z1,z2, ContourShading True Contour的上色，选False 则不上色PlotRange Automatic高度 z 值的范围，也可指定zmin,zmax13
