1、动物群落稳定发展的数学模型动物群落稳定发展的数学模型摘 要：本文以国家某自然保护区的管理为背景，用数学方法探讨分析了保护区内某种群稳定发展的问题.首先根据种群发展而提出的三个问题分别用微分模型，优化模型和回归模型建立了各自的数学模型，然后运用EXCEL、LINGO 和 MATLAB 软件对模型进行求解，得到了近三年该动物年龄结构分布、维持动物群落稳定发展所需注射雌性动物的数量和该动物群落现有数量 和时间 的回归模型 ，最后用 EXCEL 和Mt 8.10752.43tMMATLAB 软件对模型进行稳定性检验，证明模型是稳定的.关键词：动物群落;稳定发展;年龄结构;存活率;目标函数;回归分析Th
2、e mathematical model of the animal communitys stable developmentAbstract: This text take the management of some natural sanctuary as background, it use mathematical method to study the problem of animal communitys stable deve- lopment. At first, article according to three problems of the communitys
3、development use differential model、superior model and regression model respectively to build up each mathematical model, then it make use of the EXCEL、LINGO and MATLAB to solve the model, getting the animals age structure distributes、getting the quantity of pantheress animals which need to inject to
4、 make the animals community maintenance at 11000 or so, getting the regression model of and : . Mt 810752.43tAt last, make use of the EXCEL and MATLAB carrying on stability examination, and prove the model is stable. Key word: Animals community; Stable development; Age structure; Target function; Re
5、gression analysis目 录1引言12 变量及符号说明13 模型假设24 问题一34.1 问题一的分析及模型建立34.2 模型求解45 问题二85.1 问题二的分析及模型建立85.2 模型求解 106 问题三106.1 问题三的分析及模型建立106.2 模型求解117 模型的稳定性分析127.1 问题一的稳定性分析127.2 问题二的稳定性分析137.3 问题三的稳定性分析138 模型的改进方向149 结论14致谢15参考文献15附录16动物群落稳定发展的数学模型1引 言某自然保护区内居住着大约 11000 头某种动物.管理者希望有一个健康稳定的环境以便维持这 11000 头动物的
6、稳定发展.有关部门逐年统计了该动物的数量，发现在过去的 20 年中，整个动物群落经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在 11000 头左右，而其中每年大约有近 600 头到 800 头是被转移的.近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移这些动物也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法.用这种方法注射一次可以使得一头成熟的雌性动物在两年内不会受孕.目前该自然保护区中已经很少发生移入和移出动物的情况.该动物的性别比也非常接近 1：1，且采取了措施维持这个性别比。新出生的幼仔的性别比也在 1：1 左右.而双胞胎的机会接近于 1.35%。该动物在 11 岁和 13 岁之间将第一次怀孕，平均
7、每 3.5 年产下一个幼仔直到 60 岁左右为止.每次怀孕期为22 个月.注射避孕药会使雌性动物每月发情，但不会怀孕.该动物通常在 3.5 年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应.新生的幼仔中大约有 70%到80%可以活到 1 岁.但是其后的存活率很高，要超过 95%，并且这个存活率在各个年龄段都是相同的，一直到 60 岁左右.在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。该自然保护区有一个近两年内从这个地区运出的该动物的大致年龄和性别的统计数据表，但是没有其他任何可用的数据.根据以上背景，我们所要讨论的问题是：1 探讨年龄在 2 岁到 60 岁之间该动物的合理存活率模型，推测这个动物
8、群落当年的年龄结构. 2 估计每年有多少雌性动物要注射避孕药，可以使该动物群维持在 11000头左右.这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响.3 如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止，那时重新壮大该动物群落的能力如何？2 变量及符号说明 表示第 年该动物的数量；)(tXt 表示第 年初第 岁该动物的数量；0xi i 表示第 年末第 岁该动物的数量；)(1tit 分别表示新生幼仔、一岁以后各年龄段该动物的存活率及双胞3,2,胎出生的几率： 表示第 年初该动物得数量，则 ；)0(Xt 601,)()(itxX 表示第 年末该动物的数量，则 ；)1(t 601,)()(it
9、分别表示雌性动物、注射过避孕药但在两年内不再注射避孕药3,2,i的雌性动物、注射过避孕药但在两年内重复注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率； 分别表示 1360岁雌性个体、159 岁个体、60 岁该动3,21,im物个体的数量； 分别表示 1360雌性动物没有注射避孕药、注射避孕药但,if在两年内不重复注射及注射过避孕药但在两年内重复注射的数量； 表示表示每年出生幼仔的数量与该年个体死亡的数量的差值.3 模型假设 假设同一年中各个年龄段个体数量的比例是稳定的,为 ；59221.: 该动物群落的死亡是自然发生的，不考虑其它因素的影响； 设新生幼仔的存活率为 0.75，以后各年龄段的存活率为 0.95
10、，超过 60岁的动物则视为自动死亡； 在整个过程中不考虑个体之间的差异； 该动物群落中雌雄的性别比例为 1：1； 该动物从 13岁开始怀孕，经过两年后生幼仔； 假设该动物群落在近几年的总数都保持在 11000头左右.4 问题一4.1 模型的分析及建立要研究动物群落的稳定发展，首先要知道该动物群落在近几年的年龄结构，记第 年自然保护区内该动物的数量为 ，第 年初及 第年末该动物的数量t )(tXt为 和 ，则当年从保护区内运走的该动物数量为 ，考虑当年该动)0(X1 dtX)(物的增量，显然有： ；此外，在由年初向年末的过渡中，在)1(0)(dtX年末每个年龄段的动物数量等于年初存活下来的该动物
11、的数量，即：（年末新生幼仔的数量等于年初新生幼仔在当年存活的数量，)(1)(0,1,0 txtx其中 表示新生幼子的存活率） ， （年末第)59.1(),2)(0,1, itxtxii个年龄段的动物数量等于年初第 个年龄段该动物存活的数量，其中 表示i 2第 个年龄段该动物的存活率） ；在由当年向下一年过渡中，下一年第 个年1i龄段的该动物数量等于当年第 个年龄段该动物的数量，即：i.根据微分方程模型，该动物的动态发展过程符合下述模型：)()1(,0, txtxii模型一：4.2 模型求解根据题目原始数据中近两年从自然保护区运走的该动物数量以及模型假设2)(1)( )59.1,)()(10)(
12、 )59.0(),)1()(01)(603,0, ,1, ,01,6 1,6,60,iiii iiiiiitxtxttxttxXtxXdtX和模型假设 ， 用 Excel 软件调试求解（其中第 各年龄段的动物数量i） ，使当年该动物的数量维持在 11000 头左右，59ti, 2.1*)0(xiX从而可得出该动物群落近三年的年龄结构，如下表所示:表 1 该动物群落近三年年龄结构Table1 The animal communitys age structure of three years岁数 q1 q1yz q1y q2 q2yz q2y 当年 无运走当年0 789 0 789 802 0
13、802 790 7441 591 0 591 601 0 601 592 5582 561 0 561 570 20 550 562 5303 532 3 529 541 21 520 533 5034 505 4 501 513 13 500 506 4775 479 7 472 487 12 475 480 4536 455 20 435 462 13 449 456 4307 432 9 423 438 22 416 433 4088 410 15 395 416 14 402 411 3879 389 9 380 395 40 355 390 36710 369 22 347 375
14、14 361 370 34811 350 3 347 356 26 330 351 33012 332 23 309 338 13 325 333 31313 315 5 310 321 14 307 316 29714 299 13 286 304 27 277 300 28215 284 21 263 288 3 285 285 26716 269 0 269 273 14 259 270 25317 255 22 233 259 12 247 256 24018 242 14 228 246 20 226 243 22819 229 5 224 233 25 208 230 21620
15、217 13 204 221 17 204 218 20521 206 10 196 209 14 195 207 19422 195 0 195 198 10 188 196 18423 185 13 172 188 0 188 186 17424 175 30 145 178 2 176 176 16525 166 14 152 169 3 166 167 15626 157 12 145 160 4 156 158 14827 149 0 149 152 4 148 150 14028 141 20 121 144 3 141 142 13329 133 6 127 136 2 134
16、134 12630 126 3 123 129 3 126 127 11931 119 5 114 122 13 109 120 11332 113 8 105 115 16 99 114 10733 107 12 95 109 13 96 108 10134 101 10 91 103 10 93 102 9535 95 3 92 97 10 87 96 9036 90 7 83 92 12 80 91 8537 85 14 71 87 16 71 86 8038 80 10 70 82 12 70 81 7639 76 16 60 77 10 67 76 7240 72 21 51 73
17、12 61 72 6841 68 13 55 69 19 50 68 6442 64 10 54 65 13 52 64 6043 60 12 48 61 24 37 60 5744 57 6 51 57 17 40 57 5445 54 3 51 54 16 38 54 5146 51 6 45 51 25 26 51 4847 48 9 39 48 12 36 48 4548 45 13 32 45 45 0 45 4249 42 10 32 42 23 19 42 3950 39 3 36 39 34 5 39 3751 37 6 31 37 13 24 37 3552 35 21 14
18、 35 16 19 35 3353 33 15 18 33 10 23 33 3154 31 4 27 31 17 14 31 2955 29 13 16 29 13 16 29 2756 27 10 17 27 13 14 27 2557 25 32 -7 25 12 13 25 2358 23 14 9 23 3 20 23 2159 21 0 21 21 22 -1 21 1960 19 0 19 19 0 19 19 18zs11683 622 11061 11870 856 11014 11722 11020780 711 793 704 779 738l2730 2488 2755
19、 2464 2726 2583注： 表示前 年的年龄分布情况；qii 表示前 年的运走情况；yz 表示前 年的剩余动物年龄分布情况；ii 表示当年该动物的总数；zs 表示当年生幼子的雌性动物的数量； 表示能生幼子的雌性动物的数量；lzs 上表中每年运走的该动物数量来自于自然学报；对上表中数据进行抽样（按年龄进行等距抽样,并利用 Excel 软件对上述抽样数据用图形表示，便可直观掌握该动物群落年龄结构分布情况：表 2 抽样数据表Table 2 Sampling data watch年龄 q1y q2y 当年0 789 802 7906 435 449 45612 309 325 33318 228 226 24324 145 176 17630 123 126 12736 83 80 9142 54 52 6448 32 0 4554 27 14 3160 19 19 19图 1由上图可以看出，这三组数据所得出的曲线轨迹基本相同，其各个年龄段的分布情况也基本相同，由此可以直观的看出该动物年龄结构分布在每年基本上是稳定的.每年所生幼仔的数量减去生幼仔的雌性个体的数量所得值便为双胞
