常用考研数学公式.doc

1、1高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcs22Caxaxdax axaxdaIndInnn rcsinl22)(1cossi2 222220202一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：锐 角 三 角 函 数 公 式正 弦 ： sin = 的

2、 对 边 / 啊 的 斜 边 余 弦 ： cos = 的 邻 边 / 的 斜 边 正 切 ： tan = 的 对 边 / 的 邻 边 余 切 ： cot = 的 邻 边 / 的 对 边 二 倍 角 公 式sin2A=2sinAcosA cos2A=cos2A-sin2A=1-2sin2A=2cos2A-1 tan2A=（ 2tanA） /（ 1-tan2A） 三 倍 角 公 式sin3 =4sin sin( /3+ )sin( /3- ) cos3 =4cos cos( /3+ )cos( /3- ) tan3a = tan a tan( /3+a) tan( /3-a) 三 倍 角 公 式

3、推 导 sin3a =sin(2a+a) xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx3=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina( 3/2)2-si

4、n2a =4sina(sin260-sin2a) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosacos2a-( 3/2)2 =4cosa(cos2a-cos230) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2

5、 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上 述 两 式 相 比 可 得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 半 角 公 式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(

6、a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 4和 差 化 积sin +sin = 2 sin( + )/2 cos( - )/2 sin -sin = 2 cos( + )/2 sin( - )/2 cos +cos = 2 cos( + )/2 cos( - )/2 cos -cos = -2 sin( + )/2 sin( - )/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积 化 和 差sin sin = cos( - )-

7、cos( + ) /2 cos cos = cos( + )+cos( - )/2 sin cos = sin( + )+sin( - )/2 cos sin = sin( + )-sin( - )/2 双 曲 函 数sinh(a) = ea-e(-a)/2 cosh(a) = ea+e(-a)/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公 式 一 ： 设 为 任 意 角 ， 终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 的 值 相 等 ： sin（ 2k ） = sin cos（ 2k ） = cos 5tan（ 2k ） = tan cot（ 2k ） = cot

8、公 式 二 ： 设 为 任 意 角 ， + 的 三 角 函 数 值 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ ） = -sin cos（ ） = -cos tan（ ） = tan cot（ ） = cot 公 式 三 ： 任 意 角 与 - 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ - ） = -sin cos（ - ） = cos tan（ - ） = -tan cot（ - ） = -cot 公 式 四 ： 利 用 公 式 二 和 公 式 三 可 以 得 到 - 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ - ） = sin cos（

9、 - ） = -cos tan（ - ） = -tan cot（ - ） = -cot 公 式 五 ： 利 用 公 式 -和 公 式 三 可 以 得 到 2 - 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ 2 - ） = -sin cos（ 2 - ） = cos tan（ 2 - ） = -tan cot（ 2 - ） = -cot 公 式 六 ： /2 及 3 /2 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ /2+ ） = cos cos（ /2+ ） = -sin tan（ /2+ ） = -cot cot（ /2+ ） = -tan sin（ /2

10、- ） = cos cos（ /2- ） = sin tan（ /2- ） = cot cot（ /2- ） = tan sin（ 3 /2+ ） = -cos cos（ 3 /2+ ） = sin 6tan（ 3 /2+ ） = -cot cot（ 3 /2+ ） = -tan sin（ 3 /2- ） = -cos cos（ 3 /2- ） = -sin tan（ 3 /2- ） = cot cot（ 3 /2- ） = tan (以 上 k Z) Asin( t+ )+ Bsin( t+ ) = (A2 +B2 +2ABcos( - ) sin t + arcsin (Asin +Bsi

11、n ) / A2 +B2; +2ABcos( - ) 表 示 根 号 ,包 括 中 的 内 容 诱 导 公 式sin(- ) = -sin cos(- ) = cos tan (- )=-tan sin( /2- ) = cos cos( /2- ) = sin sin( /2+ ) = cos cos( /2+ ) = -sin sin( - ) = sin cos( - ) = -cos sin( + ) = -sin cos( + ) = -cos tanA= sinA/cosA tan（ /2 ） cot tan（ /2 ） cot tan（ ） tan tan（ ） tan 诱 导

12、公 式 记 背 诀 窍 ： 奇 变 偶 不 变 ， 符 号 看 象 限 万 能 公 式7其 它 公 式(1) (sin )2+(cos )2=1 (2)1+(tan )2=(sec )2 (3)1+(cot )2=(csc )2 证 明 下 面 两 式 ,只 需 将 一 式 ,左 右 同 除 (sin )2,第 二 个 除 (cos )2 即 可 (4)对 于 任 意 非 直 角 三 角 形 ,总 有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证 : A+B= -C tan(A+B)=tan( -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan -tanC)/(1

13、+tan tanC) 整 理 可 得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得 证 同 样 可 以 得 证 ,当 x+y+z=n (n Z)时 ,该 关 系 式 也 成 立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可 得 出 以 下 结 论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA） 2+(cosB） 2+(cosC） 2=1-2cosAcosBcosC (8)（ sinA） 2+（ sinB） 2+（ si

14、nC） 2=2+2cosAcosBcosC 其 他 非 重 点 三 角 函 数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 内 容 规 律8三 角 函 数 看 似 很 多 ， 很 复 杂 ， 但 只 要 掌 握 了 三 角 函 数 的 本 质 及 内 部 规 律 就 会 发 现 三 角函 数 各 个 公 式 之 间 有 强 大 的 联 系 。 而 掌 握 三 角 函 数 的 内 部 规 律 及 本 质 也 是 学 好 三 角 函 数 的关 键 所 在 . 1、 三 角 函 数 本 质 ： 根 据 右 图 ， 有 sin =y/ r; cos =x/r; tan =y

15、/x; cot =x/y。 深 刻 理 解 了 这 一 点 ， 下 面 所 有 的 三 角 公 式 都 可 以 从 这 里 出 发 推 导 出 来 ， 比 如 以 推 导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为 例 ： 推 导 ： 首 先 画 单 位 圆 交 X 轴 于 C， D， 在 单 位 圆 上 有 任 意 A， B 点 。 角 AOD 为 ， BOD 为 ， 旋 转 AOB 使 OB 与 OD 重 合 ， 形 成 新 AOD。 A(cos ,sin ),B(cos ,sin ),A(cos( - ),sin( - ) OA=OA=OB=OD=1,D(1,0) co

16、s( - )-12+sin( - )2=(cos -cos )2+(sin -sin )2 和 差 化 积 及 积 化 和 差 用 还 原 法 结 合 上 面 公 式 可 推 出 （ 换 (a+b)/2 与 (a-b)/2） 单 位 圆 定 义 单 位 圆 六 个 三 角 函 数 也 可 以 依 据 半 径 为 一 中 心 为 原 点 的 单 位 圆 来 定 义 。 单 位 圆 定 义 在 实 际 计算 上 没 有 大 的 价 值 ； 实 际 上 对 多 数 角 它 都 依 赖 于 直 角 三 角 形 。 但 是 单 位 圆 定 义 的 确 允 许 三角 函 数 对 所 有 正 数 和 负 数

17、 辐 角 都 有 定 义 ， 而 不 只 是 对 于 在 0 和 /2 弧 度 之 间 的 角 。 它也 提 供 了 一 个 图 象 ， 把 所 有 重 要 的 三 角 函 数 都 包 含 了 。 根 据 勾 股 定 理 ， 单 位 圆 的 等 式 是 ：图 象 中 给 出 了 用 弧 度 度 量 的 一 些 常 见 的 角 。 逆 时 针 方 向 的 度 量 是 正 角 ， 而 顺 时 针 的 度量 是 负 角 。 设 一 个 过 原 点 的 线 ， 同 x 轴 正 半 部 分 得 到 一 个 角 ， 并 与 单 位 圆 相 交 。 这个 交 点 的 x 和 y 坐 标 分 别 等 于 co

18、s 和 sin 。 图 象 中 的 三 角 形 确 保 了 这 个 公 式 ；半 径 等 于 斜 边 且 长 度 为 1， 所 以 有 sin = y/1 和 cos = x/1。 单 位 圆 可 以 被 视 为是 通 过 改 变 邻 边 和 对 边 的 长 度 ， 但 保 持 斜 边 等 于 1 的 一 种 查 看 无 限 个 三 角 形 的 方 式 。 两 角 和 公 式 9sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+si

19、nAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xF

20、fabfab)(F)()( )曲率： .1;0.)1(limM sM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 定积分的近似计算：10 ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 13124011010 抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ：定积分应用相关公式： babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：空间解析几何和向量代数： 。代 表 平 行 六 面 体 的 体 积 为 锐 角 时 ，向 量 的 混 合 积 ： 例 ： 线 速 度 ：两 向 量 之 间 的 夹 角 ： 是 一 个 数 量 轴 的 夹 角 。与是向 量 在 轴 上 的 投 影 ：点 的 距 离 ：空 间 ,cos)( .sin,cos,Pr)(Pr ,cos)()()(2 2222121 21212121 bacbaccba rwvkjic babababjjj uABABzyxMzyxzyxzyx zyxzyx zyxzyxuu