1、【解析分类汇编系列二：北京 2013（一模）数学理】2 函数1.（2013 届北京石景山区一模理科）8若直角坐标平面内的两点 p、Q 满足条件：p、Q都在函数 y=f（x）的图像上；p、Q 关于原点对称，则称点对P，Q 是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”） 已知函数 ，则此函数的“友好点对”有（ ）对21(0)()4ogxfA 0 B 1 C2 D 3【答案】C根据题意：当 时， ，则 ，若函数为奇函数，可有x0()4fxx。则函数 的图象关于原点对称的函数是2()4f24y。由题意知，作出函数 （ x0）的图象，看它与函数x 2()fx交点个数
2、即可得到友好点对的个数，如图2()1(0)fog观察图象可得：它们的交点个数是 2即 的“友好点对” 有 2 个选 C.()fx2.（2013 届北京朝阳区一模理科） （8）已知函数 .若 ，使*()21,fxN*0,xn成立，则称 为函数 的一个“生成000()1)()63fxffxn 0)n()f点”.函数 的“生成点”共有(A. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个【答案】B由题意知 ，因为00002(1)2()1()21)63xxnxn，所以 ， 。因为 ，所以当0,xnNA12n01+xn79=3216时， ，此时解得 ，生成点为 。1303x0,nx(9,2)当 时，
3、，此时解得 ，生成点为 。7079x所以函数 ()fx的“生成点”共有 2 个，选 B.3 （2013 届北京大兴区一模理科）若集合 ， ，则|2-=xMy|1=-Pyx（ ）MP=A B1|y 1|yC D0| 0|【答案】C， ,所以 ,选 C.MyPyAy4 （2013 届北京丰台区一模理科）如果函数 y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程 ，那么正确的选项是 （ ）lg()lgxyyA y=f(x)是区间（0， ）上的减函数，且 x+y4By=f(x)是区间（1， ）上的增函数，且 x+yC y=f(x)是区间（1， ）上的减函数，且 x+yDy=f(x)是区间（1， ）
4、上的减函数，且 x+y【答案】C由 lg()lgxyy，得 ，因为 ，解0xy， 2()xyxy得 由： 得 则函数4 1() 1f，在 上单调递减，所以选 C.()fx1,)5 （2013 届北京市延庆县一模数学理）已知函数 0,3log)(4xf，则)16(f（ ）A 9B 91C 9D 9【答案】B因为 ，所以 ，选 B.41()log26f21()()316ff6 （2013 届北京西城区一模理科）已知函数 ，其中 若22()logl()fxxc0对于任意的 ，都有 ，则 的取值范围是 （ ）(0,)x1cA B C D1(,4,4(0,81,)8【答案】D因为 ，所以由2222 2(
5、)logl()logl()log()xfxxcxcc，得 ，即 ，所以 ，在()1f22l1()2()22410恒成立。设 ，因为 ，所以若对称0,x241gxcx2(0)gc轴 ，则此时满足条件，所以解得 。若对称轴 ，即42c0x时，则此时应满足条件 ，即所以解得 ，所以此122()cc18c时 ，综上满足条件的 的取值范围是 ，即 ，选 D.8c18,)7 （2013 届东城区一模理科）已知定义在 上的函数 的对称轴为 ，且当R()fx3x时， .若函数 在区间 （ ）上有零点，则 的3x()23xf()fx1,kZk值为 （ ）A 或 B 或 C 或 D 或278718【答案】A当 时
6、，由 ，解得 ，因为 ，即函数的零点3x()230xf2log3x2log3所在的区间为 ，所以 。又函数关于 对称，所以另外一个零点在区间1,k，此时 ，所以选 A.(8,7)78.（2013 届北京朝阳区一模理科） （13）函数 是定义在 上的偶函数，且满足)(xfR.当 时， .若在区间 上方程(2)(fxf0,1x()2f2,3恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .aa【答案】 (,)53由 得函数的周期是 2.由 得 ，设(2)(fxf2()0axf()2fxa，作出函数 的图象，如图,ya(),yfa，要使方程 恰有四个不相等的2()0axf实数根，则直线 的斜率满足 ，
7、由题意可知，2()yaxAHAGk，所以 ，所以 ，即 。(1,2)(3),0)GHA， ， ， =53AHGk， 53a2(,)539 （2013 届北京大兴区一模理科）已知函数 ，定义12,0(),xf=- , ，( , )把满足 （1()fxf=1()nnxfx-2 n*N()nfx=）的 x 的个数称为函数 的“ 周期点” 则 的 周期点是 0, f-2-； 周期点是 n-【答案】 ，42n当 时， ，解得 。当 时， ，解得10,x1()fx0x1(,21()2fxx。所以 的“ 周期点”的个数为 2.3当 时， ， ，解得 。当 时，,4x1()2fx()4fxx(,42， ，解得
8、 。1()2f25当 时， ， 解得 。当 时，3,4x1()2fx2()4fxx3(,14x， ，解得 。所以 的“ 周期点”为1()2fx2()4fxx45()fx2个.4依次类推， 的“ 周期点”的个数为 个。()fxn-2n10 （2013 届北京海淀一模理科）已知函数 有三个不同的零点，2, 0,()3xaxf则实数 的取值范围是_. a【答案】 419要使函数 有三个不同的零点，则满足当 时， 有一个根，此时()fx0x()20xfa满足 ，解得 。当 时，函数 有两个0()1af01a3f不同的根，此时满足 ，解得 ，综上实数 a的取值范围是 。29449419a11 （2013
9、 届房山区一模理科数学）某商品在最近 天内的单价 与时间 的函数关系10()ftt是 2(04,)4()51,ttf tN日销售量 与时间 的函数关系是 .则这种商品()gtt109()(,)3tgttN的日销售额的最大值为 .【答案】 80.5解：由已知销售价 ，销售量2(04,)4()51,ttf tN109()(,)3tgttN日销售额为 ，即当 0t40 时，)(sfg210917398()2)()434t tst此函数的对称轴为 ，又 tN，最大值为 ；当x 167(0)80.52s40t100 时， ，此时函数的对称轴为2()52)()363tst t，最大值为 2130x10s综
10、上，这种商品日销售额 的最大值为 。()t8.512 （2013 届房山区一模理科数学）已知函数 的定义域是 D，若对于任意 ，()fx12,xD当 时，都有 ，则称函数 在 D 上为非减函数.设函数 在12x12()fxff ()f上为非减函数，且满足以下三个条件： ； ； 0, (0)f()52xff.则 ， . (1)()fxf4()5f1(23f【答案】 ,23令 ，则 ， ，所以 ， 。x1()(5ff0)1()f(1)f1()(52ff。因为 ，所以根据根据非减函数的定义可知，4()12f452函数在区间 上的函数值都等于 ，所以 。,5()013f13 （2013 届门头沟区一模
11、理科）定义在 上的函数 ，如果对于任意(,)(,)()fx给定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“等比函数” 。现有定义na)nf (f在 上的如下函数：(,0)(,) ； ； ； ，则其中是“等比2xf2logfx2()fx()ln2xf函数”的 的序号为 ()【答案】若 ，则 ，所以不是常数，所以不是“等比函数” 。()2xf11()2nnaanf若 ， ，所以不是常数，所以不是“等比函数” 。2()logfx211log()nnaf若 ， ，所以是常数，所以 是“等比函数” 。若2()f 2211()()nnfaa，则 ， ，所以是常数，所以是“等()lxf()lfx11l()nnfa比函数” 。所以是“等比函数”的 的序号为.f14 （2013 届北京市延庆县一模数学理）已知函数 )0(2)(3abxaf 有且仅有两个不同的零点 1x， 2，则 （ ）A当 0a时， 0， 21xB当 0时， 21x， 21 C当 时， 21x， D当 a时， 0，
