1、2016 2017 学年第一学期高等数学 -1 练习册高等数学 -1 练习册专业 :姓名 :学号 :第一章函数与极限 1.1映射与函数一、本节学习目标：1. 掌握常见函数的定义域， 函数的特性。掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。2. 熟悉基本初等函数的类型、性质及图形, 了解初等函数的概念。二、本节重难点:1.a 的邻域： U (a,) x xa x axa (a,a)2.构成函数的要素 : 定义域及对应法则。函数相等：函数的定义域 和对应法则 相同。3.f , f1 互为反函数，且有 f 1f xx， xD f ， ff1 yy， y Rf .f1 的定义域为 f 的值域。练习题1.
2、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. f (x)x2 , g( x)xB.f (x)ln x2 , g( x)2ln xC.f (x)x2 , g( x)( x)2D. f ( x)( x) 2 , g(x)xx(x)22.下列函数中为偶函数的是（）A.x cos2xB. x3cos xC.x sin xD. x sin x23. 下列函数中，奇函数是 ( ) A.y1x3B.yln xC.yx+sin xD.yx2 +cosx4.下列函数中不是初等函数的是（）xx0x211A. y0x0 B. yln sin( x1)C. y2 cosx D. yxx1xx00x15.凡是分段函数都不是
3、初等函数。（）6.复合函数 yf g( x) 的定义域即 ug(x) 的定义域。（）1的定义域是 ( 1,) 。（）7.函数 yln( x1)8.满足 x 32 的全体实数，称以为中心，为半径的邻域。9.1, f f ( x)。10. yarcsin( x1) 的定义域设 f ( x)x2。11ln(1 x2 ) 的复合过程。12.sin2 111. 指出函数 y指出函数 y2x 的复合过程。 1.2数列的极限一、本节学习目标：1. 理解数列极限的概念。二、本节重难点 :1. “-N”语言：0， NN ,使得当 nN时，有 xna.记作 lim xna.n注 ：（ 1 ）的 任 意 性 。（的
4、 作 用 在 于 衡 量 xn 与 a 的 接 近 程 度 ）（ 2 ） N 的 选 取 是 与有 关 的 。2. 如 果 数 列 xn 收 敛 于 a ， 那 么 它 的 任 一 子 数 列 也 收 敛 ， 且 极 限 也 是 a 。3. 推 论 ： 如 果 数 列 中 两 个 子 列 的 极 限 存 在 不 相 等 ， 则 这 个 数 列 发 散 。4. 常 用 结 论 : (1)lim x2k 1lim x2 k alim xn akkn(2)若 lim x2k1 , limx2k 至 少 有 一 个 不 存 在 ， 或 lim x2 k 1 , limx2k 存kkkk在 ， 但 li
5、m x2k1 limx2k， 则 lim xn 不 存 在 。kkn练习题1.设数 列 xn ， 当 n 越 来 越 大 时 ， xna 越 来 越 小 ， 则 lim xn a.（）n2.设数列 x ， 对0， N N,当 nN 时 , 有 无 穷 多 个xn满 足xa,nn则 lim xna .（）n3.数列 xn ,对0， xn 中 仅 有 有 限 个 xn 不 满 足 xn a,则 lim xna.（）n4.有界数列 xn 必 收 敛 . （）5.无界数列 xn 必 发 散 。（）6.发散数列 xn 必 无 界 . （）7.若数列 xn 收 敛 ， 则 数 列 xn 有 界 。（）28
6、. 用 数 列 极 限 的 定 义 证 明 下 列 极 限 ：（ 1 ） lim 2n12（ 2 ） lim sinn0n3n13nn 1.3函数的极限一、本节学习目标：1. 理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质。二、本节重难点 :1.自变量趋于有限值时函数的极限：limf (x)A 或 f (x)A（当 xx0）xx02.自变量趋于无穷大时函数的极限:limf (x)A 或 f (x)A(当 x)x3.(1)limf (x) Alimf ( x)limf (x)A .x x0x x0xx0(2)limf (x) 不存在lim f (x), limf ( x) 中至少有一个不存在, 或 li
7、mf (x) ，x x0xxxxxx000limf ( x) 存在但 limf (x)limf (x) .x x0x x0xx0(3)limf ( x) Alimf ( x)limf ( x)A .xxx(4)lim() 不存在lim(), lim()中至少有一个不存在, 或lim( )，fxfxfxfxxxxxlimf (x) 存在但 limf ( x)limf (x) .xxx4. 对于分段函数在其定义域内的分界点处的极限一定要讨论左、右极限。练习题1.当 x1时，函数 y3x12，问等于多少时， 能使 x1时， y20.012. 当 x2x1X 时， y 2 0.01时，函数 y2 ，问
8、 X 等于多少时， 能使 xx3xx33 时， f ( x) 的左右极限 .3. 设 f (x)x，讨论当 x3x 13x+1x3x3 时， f ( x) 的左右极限，并说明lim f (x) 是否4. 设 f (x)，讨论当2x 1x3x 3存在。x5. 对函数f ( x)，回答下列问题：x（ 1）函数f (x) 在 x0 处的左右极限是否存在？（ 2）函数f (x) 在 x0 处是否有极限？为什么？(3)函数 f ( x) 在 x1 处是否有极限？4 1.4无穷小与无穷大一、本节学习目标：1. 熟悉无穷小，无穷大的概念。2. 掌握无穷小的性质，会利用无穷小量的性质求极限。3. 知道无穷小量
9、与无穷大量之间的关系。二、本节重难点 :1. 无穷小量是一个 变量 .2.任何很小很小的非零数都不是无穷小量，常量中只有0 是无穷小 .3. 无穷小量的性质： (1) 两个无穷小的和是无穷小。(2) 有界量与无穷小的乘积是无穷小。(3) 常数与无穷小的乘积是无穷小。4. 无穷大量是 无界变量 。5. 无穷小量和无穷大量的关系 ：在自变量的同一变化过程, （ 1）如果 fx 为无穷大，那么1为无穷小；f ( x)（ 2）如果 fx 为无穷小， 且 f x 0，那么1为无穷大。f (x)练习题1.lim ex2.lim exx 0xlim ex13.4.lim exxx 05.无穷多个无穷小量的和
10、是无穷小量。 （） 6. 两个无穷小量的商是无穷小量。 （）7.两个无穷大的和也是无穷大。 （）8.无穷大与无穷大的积也是无穷大。（）9.无穷小与无穷大的和一定是无穷大。 （）10.无穷小与无穷大的积一定是无穷大。 （）11.非零常量与无穷大量的乘积是无穷大。（）12.求极限 lim( xsin 1 )13.求极限 lim( x2 cos 1)x 0xx0x514. 求极限 lim( 1 sin x)15.求极限 lim arctan xxxxx 1.5极限运算法则一、本节学习目标：1. 理解并熟练掌握极限的运算法则二、本节重难点 :1. 函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商注意
11、运用上述法则有前提条件：(1)函数的个数有限（2）每个函数都有极限（ 3）有分母时，分母的极限值不为02. lim Pn ( x) Pn ( x0 ) , 其中 Pn (x) 为 n 次多项式。x x03.（ 1） limP( x) 是 0 型 （ P( x),Q( x) 同时有极限为零的因式） ，求极限的方法：x x0Q (x)0一般地分子分母同除以为零的因式。（ 2） limPn ( x) 是型 ，求极限的方法：分子分母同除以x 的最高次幂。xQm ( x)练习题1.数列 xn 和 y n 都 收 敛 ， 则 数 列 xnyn 必 收 敛 。（）2. 数 列 xn 和 y n 都 发 散
12、， 则 数 列 xnyn 必 发 散 。（）3. 若 数 列 xn 收 敛 ， 而 y n 发 散 ， 则 数 列 xy必 发 散 。（）nn4.若 lim( anbn )0 ，则必有 lim an0 或 lim bn 0 .（）nnn2( n1)(n 2)5.lim 2n 2n6.lim5n2n4n1n67. lim (n1)(n2)( n 3)8.lim1 +1+ L +1n31n1335(2n1)(2n1)2n9. lim3n 12nnnn3211.lim 2x2x1x213.limx22x 6x4x 215. lim x222x 1x 1x110.lim n( n 1n)n12.lim
13、 x25x 2 x314.limx23x 4x24x 216.lim x26x8x 4 x25x472lim x217. lim 3x2x118.23x 1x4xx1x 1x219. lim2x33x120.limx35x214x52x74x26x5xx21 lim1 x1 x22 . lim(133 )x 02xx 1 1x1 x23lim(2 x 3) 20(3 x 2) 30(5x50x1)24 . 已知 a,b 为常数， lim(x21， bxax b) 1 ，则 ax25 . a,b 为常数，已知 lim axb2，则 a， b.x 1 x1 1.6极限存在准则两个重要极限一、本节学
14、习目标：81. 理解极限存在的两个准则。2.会用重要极限来计算其他函数的极限。二、本节重难点:1. 夹逼准则判别数列或函数的极限，适用于一些特定的形式，需要对数列或函数适度放大，缩小。2. 单调有界准则：单调有界数列必有极限。单调有界准则是证明数列极限存在常用的形式。3. 两个重要极限公式 : lim sin x1.lim (1 1)x ex 0xxxsinx1， lim1推广形式 ： lim( x)1x ( x) e( x) 0( x)0练习题1. lim sin 3x2.lim tan 5xx 0 sin5xx 0x3. lim x sin 14.lim x cot xxxx 012) x
15、5. lim(1 3x) x6. lim(1x 0xx7. lim(12 ) x 58.lim( x1)2 xxxxx199. 利用极限收敛准则求极限(1) lim n(11L1222)nnn 2nn(2) lim(14Ln2333)nn 1n 2nn（ 3） lim112L122n( n1)(n 2)(2n)(4)数列 x12, x222 , x32 22 ,K 的极限存在并求 lim xn .n1010. 一投资者欲用 1000 元投资 5 年，设年利率为 6%，试分别按单利、复利、每年按4 次复利付息方式计算，到第5 年末，该投资者应得的本利和A. 1.7无穷小的比较一、本节学习目标：1
16、. 理解无穷小量的阶的概念。二、本节重难点 :1. 常用的等价无穷小代换 :当 x0 时， sin x :x ， ln(1x) :x ， tanx : x , ex 1 : x , arctanx : x1 cos x : 1 x2 ,n 1 x1 : 1 x2n练习题1. lim sin 3x2.lim tan 2xx 0 2xx 0 sin 3x3.1cos2x4.tan xsin xlimx2limx3x 0x 05. lim e2x 16.lim arcsin xx 0xx 05x117. limsin5 xcot 3xx 09.ln(13x sin x)limtan x2x 08.3
17、 1+2x1limx0 ln（13x)10.(ex21)arcsin xlim2x)(1 cos2x)x 0 ln（1 1.8函数的连续性与间断点 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 1.10 闭区间上连续函数的性质一、学习目标：1. 理解函数连续的概念 .2.理解间断点的概念，并会判别间断点的类型。3. 理解连续函数的运算 .4.理解并熟练掌握闭区间上连续函数的性质二、重难点 :1. 函数 yf ( x) 在点 x0 处连续limylim f (x0Vx) f (x0 ) 0x 0x 0limf ( x)f ( x0 )x x0limf ( x)f ( x0 )lim f ( x)x
18、x0x x0即 f (x0 )f (x0 )f (x0 )2. 间断点的分类 :左右极限相等（可去间断点）第一类( 左右极限都存在 )左右极限不相等（跳跃间断点）间断点无穷间断点第二类( 左右极限至少有一个不存在)震荡间断点123. 复合函数的极限法则4. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。5. 幂指函数(x)v ( x)( )0,( ) 1)，若 lim u(x) a 0,lim v( x) b ,uu xu x那么 lim u(x)v ( x )ab.练习题1. 设函数 f ( x)exx0 ，试确定常数 a ，使函数 yf (x) 连续。x ax03xb0x12. 设函数 f (x)
19、ax1 ，试确定常数 a,b ，使函数 yf ( x) 在 x1 处连续。xb1x23. 研究函数 f ( x)x20x1 的连续性。2x1x2134. 指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型。x21x211（ 1） f ( x)（ 2）f ( x)ex 123x+2x1x5. lim x22x 56. lim ln sin xx 0x 0x7. lim(13tan 2 x)cot2 xx08.证明方程 x33x1至少有一个根介于1 和 2 之间。第一章测验题1.下列函数中，表示同一函数的是()A.f (x)x， g( x)sin(arcsin x)B.f (x)1， g(x)sin2
20、xcos2 xC.f (x) x，g( x)x22. 若 limf ( x)0 ， limg( x)xaxaA. limf ( x)g( x)0xaD. f ( x)2lg x， g( x)lg x20 ，则下列结论中不正确的是（）B.lim f (x)g( x)0xa14C.lim f ( x)gg(x)0xa3.若 lim f (x)， limg( x)xaxaA. lim f ( x)g(x)xaD. lim f ( x)0x a g (x)，则下列结论中正确的是（）B.lim f (x)g( x)xaC.lim f ( x)gg( x)D. limf (x)xaxa g (x)4.当
21、x0时，下列变量中与sin 2 x 为等价无穷小的是（）A.xB.xC. x25.若 limfx3 ，则 f (2)3 ()x26.若 limfx3 ，则 f (x) 在 x2 处连续 ()x27.若 f ( x) 在 x0 无定义，则 limf ( x) 必不存在 ()x x08.函数 f ( x)x.x2的定义域为3x 29.函数 yearctan x21 是由10.lim 1 arctan x.x x11. 函数f (x)1的间断点是，是2（x2）12 . 若 limx2 +axb5，则 a， b.1xx113 .若 lim( x2 +1ax b)0 ，则 a， b.x1+x2x1x01
22、4. 设 f ( x)20x1 ，求 f (2)，f ( 1) 。x11x32D. x3复合而成的 .间断点。1515. lim x22x316.lim x2417.limln(1 2x)x5x3x1x 2 x2x 0sin 3x21) xsin x18. lim(1 3x) x19.lim(120.lim e xx 0xx1x 021. lim x2 1x2 122.lim ln(2x2 )xx 0 sin(1x2 )tanax023. 设 f ( x)xf ( x) 存在，求 a 的值。x，已知 limx2x xx 001624. 某厂生产某产品， 每日最多生产 100 单位，它的日固定成本为 130 元，生产一个单位的可变成本为 6 元，求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。25.已知某工厂每批生产某种商品q 单位的总费用为C (q)6q400 , 得到的收益是R(q)10q0.01q2 ，求利润函数，并问每批生产多少单位时能使生产者保持盈亏平衡？第二章导数与微
