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类型椭圆常结论及其结论(完全版).docx

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:11964319
  • 上传时间:2021-06-10
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    椭圆常结论及其结论(完全版).docx
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    1、2 椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1) 内常数 e,那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e 就是离心率 (点与线成对出现,左对左,右对右 )对于 x 2y 21,左准线 l1: xa 2;右准线 l 2 : xa 2a 2b 2cc对于 y 2x21,下准线 l1: ya 2;上准线 l 2 : ya 2a 2b2cc椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称焦点到准线的距离a 2a2c 2b2pc(焦参数)cccPyB2A1xA2F1OF2B1二、焦半径圆锥曲线 上任意一点 M 与

    2、圆锥曲线焦点的连线段,叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式:焦点在 x 轴(左焦半径)r1 a ex0 , (右焦半径) r2 aex0 , 其中 e 是离心率焦点在 y 轴MF1aey0 , MF 2a ey0 其中 F1 , F2 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关可以记为: 左加右减,上减下加PF1ac, PF2a c推导:以焦点 在 x 轴为例如上图,设椭圆上一点P x0 , y0,在y 轴左边.PF1e ,根据椭圆第二定义,PM则 PF1 e PM e x0c2e x0a2c x0a2a ex0ccac同理可得PF2aex0三、通径:

    3、圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦,以焦点在x 轴为例,弦 ABb2b2坐标: A c,, B c,aa弦 AB 长度: AB2b2a四、若 P 是椭圆: x 2y 21 上的点 . F 1,F 2 为焦点,若F 1PF 2,则PF 1F 2 的面积为a 2b 2b 2 tan .2推导:如图 S PF F1 PF1 PF2 sin122根据余弦定理,得222cosPFPFF1 F2=2 PF1PF2=PF1PF )22 PF1 PF2 4c22 PF1PF2=4a22 PF1PF24c 22 PF1PF2=4b22 PF1PF22 PF1PF22b2得 PF1PF21cosS PF1

    4、F21 PF1 PF2 sin= 112b2sin = b2sin=b2 tan22cos1cos2yPB2xA1A2F1OF2B1五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k , 直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2 ) , 则它的弦长AB1 k 2 x1x2(1 k 2 ) (x1 x2 )24x1x2112 y1 y2k注 : 实质上是由两点间距离公式推导出来的, 只是用了交点坐标设而不求的技巧而已( 因为 y1y2 k ( x1x2 ) ,运用 韦达定理 来进行计算 .当直线斜率不存在是, 则 AB y1 y2 .六、圆锥曲线的中点弦问题:(

    5、1) 椭圆中点弦的斜率公式:设 M ( x0 , y0 ) 为椭圆x2y21弦 AB ( AB 不平行 y 轴)的中点,则有:a2b2kABkOMb2a2证明:设 A( x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,则有yx12y121Ay1y2a2b2MkAB,两式相减得:x1x2x22y221F 1F2Bxa2b2Ox12x22y12y220 整理得:a2b2y12y22b2x12x22,即a2( y1y2 )( y1y2 )b2(x1x2 )(x1x2 ),因为 M ( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点,所以a2kOMy02x0y1y2 ,所以 kABb2kOM2x02y0x1x2

    6、a(2) 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在椭圆 x2y 21中,以 M ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率k= b2 x0 ;a2b 2a 2 y0由( 1)得 kABb2kOM2ak ABb21b2x0a2kOMa2y0七、椭圆的参数方程xa cos( 为参数 )ybsin八、共离心率的椭圆系的方程:椭圆 x 2y 21( ab 0) 的离心率是 ec (ca2 b2 ) ,方程 x 2y 2 t (t 是大于0 的参a 2b 2aa 2b 2数, ab0 的离心率也是 ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.a例 1、已知椭圆 x2y21上一点 P 到椭

    7、圆左焦点的距离为3,则点 P 到右准线的距离为 _25162 2例 2、如果椭圆 xy 1 弦被点 A( 4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程是369例 3、已知直线 yx1与椭圆 x2y21(ab 0) 相交于 A 、 B 两点,且线段 AB 的中点在直线 l : xa2b22 y0 上,则此椭圆的离心率为_例 4、 F 是椭圆 x2y21的右焦点, A 1,1 为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。43( 1) PAPF 的最小值为yAPH( 2) PA2 PF 的最小值为F 0 Fx分析: PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径PF 或准线作出来考虑问题。解:(1 ) 设另一焦点为

    8、F ,则 F (-1,0)连 A F , P FPAPFPA2aPF2a( PFPA )2aAF45当 P 是 FA 的延长线与椭圆的交点时,PAPF 取得最小值为 4-5 。( 2)作出右准线l,作 PHl 交于 H ,因 a24 , b23 , c21, 所以 a2 ,1c 1 , e.21 PH ,即2 PF PFPH2 PA2 PFPA PH当 A 、 P 、 H 三点共线时,其和最小,最小值为a 2x A 41 3c5x 2y21 上的点到直线xy60的距离的最小值例 、求椭圆3例 6、椭圆顶点 A( a,0),B( 0,b),若右焦点F 到直线 AB 的距离等于,则椭圆的离心率e=()A B CD例 7、在椭圆中, F1,F2 分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是()A B CD

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