1、椭圆练习题 1A 组基础过关一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 )1 (2012 厦门模拟 ) 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()123A. 2B. 2C. 2D. 2由题意得 2a22b? a 2b，又 a2 b2 c2? bc?a 2c? e2解析2 .答案B2(2012 长沙调研 )中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ()x2y2x2y2x2y2x2y2A.81721B.819 1C.81451D.813611解析依题意知： 2a18， a9,2c3 2a， c 3，2 2 b2a2c2 81972，椭圆
2、方程为 81x72y1.答案A长春模拟)椭圆x2 4y2 1 的离心率为 ()3 (20123322A. 2B.4C. 2D.3先将 x2 4y21x2y21a2b23解析化为标准方程1 1 1，则 a1，b2，c2 .4c 3离心率 ea 2 .答案A24(2012 佛山月考 )设 F1、F2 分别是椭圆 x4 y21 的左、右焦点， P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 PF1PF2，则点 P 的横坐标为 ()826A1B.3C 2 2D.3x2解析由题意知，点 P 即为圆 x2y23 与椭圆4 y2 1 在第一象限的交点， 解x2y2 3，26方程组x2得点 P 的横坐标为23.4 y 1
3、，答案D5(2011 州模拟惠)已知椭圆 G 的中心在坐标原点， 长轴在 x 轴上，离心率为32 ，且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆 G 的方程为 ()x2y2x2y2x2y2x2y2A. 4 9 1B. 9 4 1C.369 1D. 9 36 1解析依题意设椭圆 G 的方程为x2y22 2 1(a b 0)，ab椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，2a 12， a 6，3a2 b23椭圆的离心率为2 .a2，36b2362 .解得 b29，椭圆 G 的方程为： x2y21.369答案C二、填空题 (每小题 4 分，共 12 分 )x2y26若椭圆 25161 上一点
4、 P 到焦点 F1 的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 _解析由椭圆的定义可知， |PF1|PF2| 2a，所以点 P 到其另一个焦点F2 的距离为 |PF2| 2a|PF1 |1064.答案47(2011 皖南八校联考 )已知 F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且满足 |PF1| 2|PF2|， PF1F230，则椭圆的离心率为 _解析 在三角形 PF1F2 中，由正弦定理得sinPF2F1 1，即 PF2F12，设 |PF2|1，则 |PF1| 2， |F2F1| 3，2c3离心率 e 2a 3 .3答案3228(2011 江西 )若椭圆 xa2yb
5、2 1 的焦点在 x 轴上，过点 1，12 作圆 x2y21 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 _1解析由题可设斜率存在的切线的方程为y2k(x1)(k 为切线的斜率 )，即 2kx2y 2k10，|2k 1|3由4k24 1，解得 k4，所以圆 x2y21 的一条切线方程为3x 4y50，3 4求得切点 A 5，5 ，易知另一切点 B(1,0)，则直线 AB 的方程为 y 2x 2.令 y0 得右焦点为 (1,0)，令 x0 得上顶点为 (0,2) a2b2c2 5，x2y2故得所求椭圆方程为5 4 1.x2y2答案 5 4 1三、解答题 (
6、共 23 分 )x2y29(11 分 )已知点 P(3,4)是椭圆 a2b21(a b0)上的一点， F1， F2 是椭圆的两焦点，若 PF1PF2.试求： (1)椭圆的方程； (2)PF1 F2 的面积916解(1) P 点在椭圆上，a2 b2 1.又 PF1PF2， 4 4 1，得： c225，3c 3c又 a2b2 c2，由得 a2 45，b2 20.x2y2椭圆方程为 45 201.1(2)S PF1F22|F1F2|45420.10(12 分)(2011 陕西 )如图，设 P 是圆 x2y2 25 上的动点，点D 是 P 在 x 轴4上的投影， M 为 PD 上一点，且 |MD|5|
7、PD|.(1)当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹 C 的方程；4(2)求过点 (3,0)且斜率为 5的直线被 C 所截线段的长度解 (1)设 M 的坐标为 (x，y)，P 的坐标为 (xP， yP)，xP x，由已知得P5y 4y， P 在圆上， x25y2 25，即 C 的方程为 x2 y2 1.4251644(2)过点 (3,0)且斜率为 5的直线方程为 y5(x3)，设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，4将直线方程 y5(x3)代入 C 的方程，得x2 x 321，即 x23x80.252513 41 23 41 x 2， x 2. 线 段 AB的 长 度 为
8、 |AB| x1x22 y1y22 116x1x22 2541 4125 41 5 .B 级提高题一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 )丽水模拟若是以1，222PFF为焦点的椭圆 x2y2 1(a b 0)上的一点，1 (2012)ab 1，则此椭圆的离心率为 ()且 PF120，tanPF1 2PFF25211A. 3B. 3C.3D.2解析在 RtPF12 中，设|PF2 ，则2 12 5， 2c5F|1|PF |2.|F F|e2a3 .答案A汕头一模x222 是椭圆的左、 右焦点， y1 上有一点 P，F1，2 (2011)已知椭圆42F若 F12 为直角三角形，则这样的点P有
9、()PFA3 个B 4 个C6 个D8 个解析当 PF1 F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有 2 个；同理当 PF2 F1 为直角时，这样的点 P 有 2 个；当 P 点为椭圆的短轴端点时， F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P 有 2 个故符合要求的点 P 有 6 个答案C二、填空题 (每小题 4 分，共 8分)镇江调研已知1222x2y21(ab0)的两个焦点，3 (2011)F(c,0)，F (c,0)为椭圆 abP 为椭圆上一点且 2PF1PF2c，则此椭圆离心率的取值范围是 _解析设 P(x，y)，则 PF1PF2(cx， y) 2222(c x， y)x c y
10、c 2 2 b2223c2 a2 a2将 y b a2x代入式解得 x c2，又 x20， a2， 2c2 a23c2， eca 33， 22 .答案323 ， 24(2011 江浙)设 F1， 2 分别为椭圆 x2y2 1 的左，右焦点，点 A，B 在椭圆上，F3，则点 A 的坐标是 _若 F1A5F2B解析根据题意设 A 点坐标为 (m，n)， B 点坐标为 (c，d)F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为( 2，0)、(2，0)，可得 F1 (m2，n)，F2AB，cm 6 2，dnm21 5F25点 、 都在椭圆上， 3(c2，d)，F AB5.A Bm62 225n 2n 1
11、，351.解得 m 0，n1，故点 A 坐标为 (0， 1)答案(0， 1)三、解答题 (共 22 分 )分大连模拟设， 分别为椭圆 x22)(2011)2 y21(ab0)的左，右顶点，5 (10ABab31， 2为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距(1)求椭圆的方程；(2)设 P(4， x)(x0)，若直线 AP， BP 分别与椭圆相交异于A， B 的点 M，N，求证： MBN 为钝角(1)解(1)依题意，得 a2c，b2 a2c23c2，2232y2设椭圆方程为 x 2 y21，将 ，代入，得 c21，故椭圆方程为 x1.4c3c1243(2)证明由(1)，知 A(2,0)， B(2,0
12、)，设 M(x0， y0)，则2322x02，y04(4x0)，6y0由 P，A，M 三点共线，得 x x02，6yBM(x0 ， 0 ，2，0，2 y )BPx 202 2x0 6y0 5 0 ，BMBP402(2x )0x 2即 MBP 为锐角，则 MBN 为钝角6()(12 分)(2011西安五校一模 )已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 C 的13离心率为2，且经过点 M 1， 2 .(1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点A，B，满足 PAPBPM2 ？若存在，求出直线l1 的方程；若不存在，请说明理由12921，x2y
13、2a4bc 1解 (1)设椭圆 C 的方程为 a2 b21(ab0)，由题意得解得a2，a2 b2 c2，a2 4， b23.x2y2故椭圆 C 的方程为4 3 1.(2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为yk1(x 2)1，代入椭圆 C 的方程得， (34k22 8k111)x16k216k1 因为直线l111)x(2k80.与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，设 A，B 两点的坐标分别为 (x1， 1， 2， 2，y )(xy )所以 8k1122211 ，所以11) 4(34k1116k8)32(6k3)k(2k)(16k01 2.又 x1 28k2k 1，x1
14、 2216k 8，x11x113 4k23 4k211 2因为 PA PM，PB5即 (x12)(x22) (y1 1)(y21) 4，所以 (x122252)(1 1)|PM|4.2) (xk2 5即 x1x22(x1x2) 4(1k1)4.216k1 88k1 2k11216k124k151所以2 22434 (1k132 ，解得 k14k134k1)4k142.11因为 k1 2，所以 k12.1于是存在直线 l 1 满足条件，其方程为y 2x.【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：, 第一步：假设结论成立 .,第二步： 以存在为条件，进行推理求解.,第三步： 明确规范结论，
15、若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设 .,第四步：回顾检验本题若忽略0 这一隐含条件，结果会造成两解.椭圆练习题 2一、填空题1椭圆 2x 23y 26 的焦距为 _。如果方程x2my22表示焦点在y轴的椭圆，则 m 的取值范围是_。23若椭圆的两焦点为（2，0）和（ 2， 0），且椭圆过点 (53,) ，则椭圆方程是 _。22x2y21的焦距是2，则m的值是 _ 。4椭圆4m5若椭圆长轴的长等于焦距的4 倍，则这个椭圆的离心率为_。6 P 是椭圆x 2y 21上的一点，F1 和 F2 是焦点，若121 254F PF =30，则 F PF 的面积等于 _。7已知
16、P 是椭圆x2y21 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是17 ，则点 P 到左焦100362点的距离是 _ 。x2y21的点到左准线的距离为5，则它到右焦点的距离为_。8椭圆925x2y21的中心到准线的距离是_。9椭圆3210中心在原点，准线方程为x = 4，离心率为1 的椭圆方程是 _。211点 P 在椭圆 7 x 24y 228 上，则点P 到直线 3x2 y160 的距离的最大值是_。12直线 yx1 被椭圆x2y21所截得的弦的中点坐标是_ 。42x2y21的弦被点（ 4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是 _。13若椭圆936x2y21) ， F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M
17、 ，14已知椭圆1内有一点 P(1,4 3使 | MP | 2 | MF |之值为最小的 M 的坐标是 _。二、解答题115已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e，短轴长为6 ，求椭圆的方程2x2+25 y2=1 上两点， F 为椭圆的右焦点，若816AB为椭圆AF2BF2 =a ，AB已知、2a29a 25中点到椭圆左准线的距离为3 ，求该椭圆方程 。2x22+ y =1 交于 P 、 Q 两点， M 是 l 上的动点，满足关系17 一条变动的直线l 与椭圆42MP MQ2 若直线 l 在变动过程中始终保持其斜率等于1求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状。椭圆 2 参考答案一、填空题 x2y2
18、15 14( 23)1 22(0,1)36454610668 69310x2y 2112413741135312 ( 2 , 1)13 x 2 y 8 014（ 26，-1）333二、解答题b3由c1a2 3 ，椭圆的方程为：x2y 2或 y 2x 21.e115a2c3129129a 2b 2c216设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，e4ex1aex28a ，, 由焦半径公式有 a55 x1x21 a 即 AB中点横坐标为225 y 2a=1，椭圆方程为x2917 设动点M ( x, y) ，动直线 l ：yxmy ，得x 22y 2的解，消去4 01，又左准线方程为 x5153aa ，aa，即444421。y x m ，并设 P( x1, y1 ) ， Q (x2 , y2 ) 是方程组3x24mx2m240 其中16m212(2m24)0 ，6m6，且 x1x24m， x1x22m24，33又 MP2 x x1 ， MQ2 x x2 由 MP MQ2 ，得 x x1 xx21 ，也即 x 2( x1x2 ) xx1 x21 ，于是有 x24mx2m241。33myx ，x22 y243 。由 x22 y 243 ，得椭圆 x 22x21 夹在直线77yx6 间两段弧，且不包含端点由x 22 y243，得椭圆x 22 y21。
