1、.第一章函数的基本性质之单调性一、基本知识1 定义：对于函数yf (x) ，对于定义域内的自变量的任意两个值x1 , x2 ，当x1x2 时，都有f (x1 )f ( x2 )(或 f (x1 )f ( x2 ) ，那么就说函数yf ( x) 在这个区间上是增（或减）函数。重点 2 证明方法和步骤：（ 1）取值：设 x1 , x2 是给定区间上任意两个值，且x1x2 ；（ 2） 作差： f ( x1 ) f ( x2 ) ；（ 3） 变形：（如因式分解、配方等） ；（ 4）定号：即f ( x1 )f (x2 )0或 f ( x1 )f (x2 )0 ；（ 5）根据定义下结论。3 常见函数的单调
2、性时，在 R 上是增函数； k0时，在 R 上是减函数（ 2 ），在（， 0 ），（0 ， + ）上是增函数，（ k0 时），在（， 0 ），（ 0 ， + ）上是减函数，（ 3 ）二次函数的单调性：对函数f (x) ax 2bx c (a 0) ，当 a0b的左侧单调减小，右侧单调增加；时函数 f ( x) 在对称轴 x2a当 a0时函数 f ( x) 在对称轴b的左侧单调增加，右侧单调减小；x2a4 复合函数的单调性：复合函数yf ( g(x) 在区间 (a, b) 具有单调性的规律见下表：y f (u)增 减 u g( x)增 减 增 减 y f (g( x)增 减 减 增 以上规律还可
3、总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”。在函数 f ( x) 、 g( x) 公共定义域内，增函数f ( x)增函数f ( x)增函数 g( x) 是增函数；减函数减函数 g( x) 是增函数；减函数f ( x)减函数 g ( x)f ( x)增函数 g ( x).是减函数；是减函数.5 函数的单调性的应用：判断函数 yf ( x) 的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例题分析例 1 ：证明函数f(x)=在 (0 ， + )上是减函数。例 2 ：证明在定义域上是增函数。例 3 ：证明函数f(x)=x 3 的单调性。例 4 ：讨论函数y1 x2 在 1,1 上的单调性例 5 ：
4、讨论函数f(x) 的单调性1例 6 ：讨论函数f (x)x( x0) 的单调性x.例 7 ：求函数的单调区间。习题：求函数的单调区间。例 8 ：设 f(x) 在定义域内是减函数，且f(x) 0 ，在其定义域内判断函数y f(x) 2.的单调性(x 1) 2x 0例 9 ：若 f(x) ，则 f(x) 的单调增区间是_，单调减区间是_x 1x 0例 10 ：对于任意x 0 ，不等式x2 +2x-a 0 恒成立，求实数a 的取值范围。例 11 ：若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数m 的值为习题：若函数,在上是增函数，则实数m 的范围为 ;.例 12 ：若定义在R 上的单调减函数f(x) 满足
5、，求 a 的取值范围。习题：若定义在上的单调减函数f(x) 满足，求 a 的取值范围。针对性训练一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )1 函数 y x2 的单调减区间为()A (， 0B 0 ，)C (， 0) D (，)2 若函数 y kx b 是 R 上的减函数，那么()A k0C k 0 D无法确定3 下列函数在指定区间上为单调函数的是()2A y， x ( ，0)0 ，()x2B y， x (1 ，)x1Cy x2 ， x RD y |x| ， x R4 已知函数f(x) x2 bx c 的图象的对称轴为直线x1 ，则 ()A f( 1)f(1)f(2)B f(1)f( 1)f
6、(2)Cf(2)f( 1)f(1)D f(1)f(2)f( 1)二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )5 若 f(x) 是 R 上的增函数，且f(x 1 )f(x 2 )，则 x1 与 x2 的大小关系是_6 设函数 f(x) 是 (，) 上的减函数，则f(a 2 1) 与 f(a) 的大小是 _三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 )x 27 求函数 f(x) 的单调区间，并证明f(x) 在其单调区间上的单调性x 1.8 定义在 ( 1,1) 上的函数f(x) 是减函数，且满足f(1 a) f(a) ，求实数a 的取值范围9 (10 分 )函数 f(x) x2 2ax 3 在区间 1,2 上单调，求a 的取值范围.
