1、求第一类函数的极限例讨论下列函数当x, x, x时的极限：（ 1）（ 2）（ 3）1xf (x)121f (x)x12（x）2（0h( x)xx）x10分析： 先作出函数的图像，根据函数极限的定义，观察、分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限解： 作出所给各函数的图像由图像可知：（ 1） limf ( x) 不存在，limf (x) 1, lim f ( x) 不存在xxx（ 2） limg(x)0, limg( x)0, lim g(x)0xxx（ 3） limh(x)1, limh(x)2, lim g( x) 不存在xxx说明： 函数 f ( x) 当 x时的极限与数列an当 n时的极
2、限不同，前者包括当x时的极限，当x时的极限，只有limf ( x)limf ( x) 时， limf (x) 的极xxx限才存在n1x由 于 lim111 ， 容 易 错 误 地 认 为 lim11 事 实 上 ，22nxxxxlim11 ， lim11 不存在，所以 lim11 的极不存在1x2x2x2求函数的左右极限例讨论下列函数在点x1 处的左极限、右极限以及函数在x1 处的极限：（ 1） f (x)x1( x1)log 4 x( x1)（ 2） g( x)x1( x1)x2 ( x 1)（ 3） h( x)1( x1)x1( x1)2 (x 1)（ 4） ( x)( x 1)( x23
3、x 2)x2分析： 先作出各个函数的图像，通过观察、分析函数的图像，函数的变化趋势，根据函数的极限的定义，求出函数在点 x 1处的左、右极限以及在 x 1 处的极限解： 作出所给各函数的图像由图像可知：（ 1）lim()0, lim()0，因此lim() 0x 1fxx 1fxx 1fx（ 2）lim()0, lim()1，因此lim()不存在g xg xg xx1x1x1（ 3）lim()不存在，lim ( )0，因此lim( )不存在x 1h xh xx 1h xx 1（ 4） ( x)(x 1)( x 23x 2)( x 1) 2 (x2) x2由函数极限的定义有：lim ( x)lim
4、 (x) lim h( x)0 x 1x1x 1说明： 利用定义求函数在一点处的左、右极限是最常用的方法，分段函数在分点处的左、右极限与分点附近两侧的解析式有关，不能代错，如（1）中 lim f ( x)lim log 4 x x 1x 1判断函数的极限是否存在例判断函数f ( x)x 21x在 x=1 处的极限是否存在1分析 ：函数表达式中含有绝对值符号，因此要分类讨论，即分别求点x 1 处的左极限和右极限解： limx21limx21lim (x 1)2；x1 x1x1 1xx1limx21x21lim ( x1)2.x1lim1x 1x1 xx 1因为 limx21limx21 ，所以函数 f (x)x 21在 x=1 处的极限不存在x 1x1x 1x1x1说明 ：本题表明了函数在一点处的极限与函数在这点的左极限、右极限的关系，即limf ( x)alimf ( x)limf ( x)a.x x0x x0xx0
