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类型八上培优5半角模型.docx

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:11947274
  • 上传时间:2021-05-13
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    1、实用标准文档八上培优 5半角模型方法:截长补短图形中,往往出现90套 45的情况,或者120套 60的情况。还有2套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是:截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等,翻折分割构全等。截长法,补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49 页,新观察在第34 页,新观察培优也有涉及,在第27页 2 两个例题, 29 页有习题。这些题大同小异,只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34 页 14 题1. 如图, 四边形 ABCD中,A= C=90,D=60,AB=BC,E、F,分别在 AD、CD上,且EBF=60求证: EF=AE

    2、+CF2. 如图 2,在上题中,若E、F 分别在 AD、 DC的延长线上,其余条件不变,求证:AE=EF+CF3. 如图, A=B=90 , CA=CB=4, ACB=120, ECF=60, AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积 .文案大全实用标准文档CCB DBAAFFEE4如图 1在四边形ABCD中AB=AD, B+ D=180, E、F 分别是边BC、CD上的点, 且 BAD=2EAF(1)求证: EF=BE+DF;(2)在( 1)问中,若将AEF绕点 A 逆时针旋转,当点E、 F 分别运动到BC、 CD延长线上时,如图 2 所示,试探究EF、 BE、DF 之间的数量关系3

    3、. 如图 3,在四边形 ABDC中, B+C=180,DB=DC,BDC=120,以 D为顶点作一个 60的角,角的两边分别交 AB、AC于 E、 F 两点,连接 EF,探索线段 BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明文案大全实用标准文档勤学早第40 页试题1. ( 1)如图,已知 AB= AC, BAC=90, MAN=45, 过点 C 作 NC AC交 AN于点 N,过点 B 作 BM 垂直 AB交 AM于点 M,当 MAN在 BAC内部时,求证: BM+CN =MN;BMGBMBMGNNNACACAC证明 :延长 MB到点 G,使 BG=CN,连接 AG,证 ABG ACN(SAS)

    4、,AN=AG,BAG= ,NAC. LGAM=GAB + BAM= CAN+ BAM=45= L MAN,证 AMN AMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM十 NC.证明二: ( 此证明方法见新观察培优第27 页例 3)(2) 如图 , 在(1) 的条件下,当 AM和 AN在 AB两侧时, (1) 的结论是否成立 ?请说明理由 .NNMBMBFACAC解 : 不成立,结论是 :MN=CN一 BM,证明略 .文案大全实用标准文档基本模型二120 套 60 2. 如图, ABC中 ,CA=CB,ACB=120,E 为 AB上一点, DCE=60 , DAE= 120,求证 :D

    5、E=BECCAAFEBEBDD证明 :( 补短法 ) 延长 EB 至点 F, 使 BF=AD,连接 CF,则 CBF CAD,CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图 , ABC中 ,CA=CB, ACB=120,点 E 为 AB上一点, DCE= DAE= 60,求证 :AD+DE= BE.CCDDAAEBEFB证明 :( 截长法 ) 在 BE上截取 BF=AD,连接 CF,易证 CBF CAD,CED ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较:新观察培优版27 页例 4 如图, ABC是边长为1 的等边三角形,BDC是顶角, BDC= 120

    6、的等腰三角形,以D为顶点作一个60角,角的两边分别交AB、 AC于 M、 N, 连结 MN, 试求 AMN的周长 .AMNB2C31DP文案大全实用标准文档分析 : 由于 MDN=60 , BDC=120,所以 BDM十 CDN=60,注意到DB=DC,考虑运用“旋转法”将 BDM和 CDN移到一起,寻找全等三角形。另一方面, AMN 的周长AM+AN + MN= AB+AC+MN-BM- CN. 猜想 MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优 68 页 例 5 如图, 点 A、 B(2,0) 在 x 轴上原点两侧 , C 在 y 轴正半轴上 , OC平分 ACB.(1) 求 A 点坐

    7、标 ;(2) 如图 1, AQ 在 CAB内部,P 是 AQ上一点, 满足 ACB=AQB,AP=BQ. 试判断 CPQ的形状,并予以证明 ;(3) 如图 2. BD BC交 y 轴负半轴于D. BDO=60 , F为线段 AC上一动点, E 在 CB延长线上,满足 CFD+ E=180 .当 F 在 AC上移动时,结论: CE+CF值不变 ; CE- CF 值不变,其中只有一个正确结论,请选出正确结论并求其值.yyCCFDB13AOxP22 ED1AO BxG分析 :(1)由 A0C BOC得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2) 由 ACP BCQ得 CP=CQ.(3) 由 BDB

    8、C, BDO=60,可证得等边 ABC.由角平分线和 DB_ BC的条件 , 运用对称性知 DA AC, 连结 DA, 加上条件 CFD+ E=180,可证得ADF BDE, 于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三2套文案大全实用标准文档4.(1) 如图 1,在四边形ABCD中,AB=AD, B+D=180, E,F分别是 BC,CD上的点,且 EAF=12 BAD, 求证 :EF= BE+ DF;(2) 如图 2, 在(1) 的条件下 , 若将 AEF绕点 A逆时针旋转, 当点 E,F 分别运动到 BC,CD延长线上时,则 EF,BE,DF 之间的数量关系是EF=BE- DFG

    9、ADFFADEBECBMC解 :(1)EF=BE+DF, 延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,证 ABE ADG (SAS), . AE = AG,BAE=DAG, EAF=1 BAD,2 GAF=DAG+ DAF=BAE+DAF= BAD- EAF= EAF, EAF= GAF,证 AEF GAF(SAS),. EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地试题:文案大全实用标准文档4探究:如图, 点 E、F 分别在正方形ABCD的边 BC、CD上, EAF=45,连结 EF,求证:EF=BE+DF应用:如图,在四边形ABCD

    10、中,点 E、 F 分别在 BC、CD上, AB=AD, B+ D=90, EAF=12BAD,若 EF=3, BE=2,则 DF=5通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的下面是一个案例,请补充完整原题:如图 1,点 E、F 分别在正方形 ABCD的边 BC、CD上, EAF=45,连接 EF,求证:EF=BE+DF(1)思路梳理 AB=AD,把 ABE绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG,可使 AB 与 AD重合 ADG=B=90, FDG= ADG+ADC=180,则点 F、 D、 G共线根据,易证 AFG,从而得EF=BE+DF;(2)类比引申如图 2,四边形ABCD

    11、中, AB=AD, BAD=90点 E、 F 分别在边BC、CD上, EAF=45若 B、D 都不是直角, 但当 B 与 D 满足等量关系时,仍有 EF=BE+DF,请给出证明;(3)联想拓展如图 3,在 ABC中, BAC=90, AB=AC,点 D、 E 均在边 BC上,且 DAE=45,猜想 BD、 DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程7( 1)如图 1,在四边形ABCD中,AB=AD, B=D=90,E、F 分别是边BC、CD上的点, 且 AE=AF,EAF=1 BAD现有三种添加辅助线的方式:延长EB 至 G,使 BG=BE,连接AG;延长FD2至 G,使 DG=BE,连接 A

    12、G;过点 A 作 AG EF,垂足为 G;选择其中一种方法添加辅助线,求证:EF=BE+FD;文案大全实用标准文档( 2)如图 2,在四边形 ABCD中, AB=AD,若 B+ D=180, EAF=1 BAD,证明( 1)中结论2是否还成立?(3)如图 3,在四边形ABCD中,AB=AD, B+ADC=180, E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点,且 EAF=1 BAD,( 1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间2的数量关系,并证明8( 1)如图 1,在四边形 ABCD中, AB=AD, B= D=90, E、 F 分别是边 BC、 CD上的点,且 EAF=

    13、1 BAD求证: EF=BE+FD21(2)如图 2,在四边形ABCD中,AB=AD, B+D=180,E、F 分别是边BC、CD上的点,且 EAF=2BAD,( 1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、 BE、 FD它们之间的数量关系,并证明(3)如图 3,在四边形ABCD中,AB=AD, B+ADC=180, E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点,且 EAF=1 BAD,( 1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、2BE、 FD它们之间的数量关系,并证明半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?文案大全实用标准文档1如图 1,在

    14、平面直角坐标系中,AOB为等腰直角三角形,A( 4, 4)(1)求 B点坐标;(2)如图 2,若 C 为 x 正半轴上一动点, 以 AC为直角边作等腰直角 ACD, ACD=90,连接 OD,求 AOD的度数;(3)如图 3,过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E,F 为 x 轴负半轴上一点, G在 EF 的延长线上,以EG为直角边作等腰 Rt EGH,过 A 作 x 轴垂线交 EH于点 M,连 FM,等式 AM=FM+OF是否成立?若成立,请说明;若不成立,说明理由解:( 1)如图所示,作AE OB于 E,A( 4, 4), OE=4, AOB为等腰直角三角形,且AE OB, OE=EB

    15、=4, OB=8,B( 8, 0);( 2)如图所示,作 AE OB于 E,DFOB于 F, ACD为等腰直角三角形,AC=DC, ACD=90即 ACF+DCF=90, FDC+ DCF=90, ACF= FDC,又 DFC= AEC=90, DFC CEA(AAS), EC=DF=4, FC=AE, A( 4,4), AE=OE=4, FC=OE,即 OF+EF=CE+EF, OF=CE, OF=DF, DOF=45, AOB为等腰直角三角形, AOB=45, AOD= AOB+DOF=90;(3) AM=FM+OF成立,理由:如图所示,在AM AE=OE=4,上截取 AN=OF,连 EN

    16、又 EAN= EOF=90, AN=OF,A( 4, 4), EAN EOF(SAS),文案大全实用标准文档 OEF=AEN, EF=EN,又 EM=EM,又 EGH为等腰直角三角形, NEM FEM(SAS), GEH=45,即 OEF+ OEM=45, MN=MF, AEN+OEM=45 AM-MF=AM-MN=AN,又 AEO=90, AM-MF=OF, NEM=45 = FEM,即 AM=FM+OF;【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型2如图,直线 L 交 x

    17、 轴、 y 轴分别于 A、 B 两点, A( a, 0) B( 0,b),且( a-b ) 2 +|b-4|=0 (1)求 A、 B 两点坐标;(2) C 为线段 AB上一点, C 点的横坐标是 3, P 是 y 轴正半轴上一点,且满足 OCP=45,求 P 点坐标;(3)在( 2)的条件下,过 B 作 BD OC,交 OC、 OA分别于 F、D两点, E 为 OA上一点,且 CEA= BDO,试判断线段 OD与 AE的数量关系,并说明理由( 1)解:( a-b )2 +|b-4|=0 , a-b=0 , b-4=0 , a=4, b=4,A( 4, 0), B( 0,4);( 2)文案大全实

    18、用标准文档3如图,已知A( a, b), ABy 轴于 B,且满足 |a-2|+(b-2 ) 2=0,( 1)求 A点坐标;( 2)如图 1,分别以 AB, AO为边作等边三角形 ABC和 AOD,试判定线段 AC和 DC的数量关系和位置关系,并说明理由;( 3)如图 2,过 A 作 AE x 轴于 E,点 F、 G分别为线段 OE、 AE上两个动点,满足 FBG=45,试探究 OFAG 的值是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,请说明理由FG2017-2018 江汉期中如图点 P 为 ABC的外角 BCD的平分线上一点,PA=PB( 1)求证: PAC= PBC;( 2)作 PE BC于

    19、 E,若 AC=5, BC=11,求 S PCE: S PBE;文案大全实用标准文档1(3)若 M、 N 分别是边AC、 BC上的点,且MPN= APB,则线段AM、 MN、 BN之间有何数量关2系,并说明理由解:( 1)如图 1,过点 P 作 PE BC于 E, PF AC+CF=BC-CE, 5+CF=11-CE, CE=CF=3, PFC PEC, S=S, PFCPEC Rt PAF Rt PEB, S PAF=SPEB, S: S =S: S PCE PBE PFCPFAAC于 F,=1CF PF: 1AC PFPC平分 DCB,22PE=PF,=CF: AC=3:( 3+5)=3:

    20、 8;在 Rt PAF和 Rt PEB中,PF PEPA PB,Rt PAF Rt PEB, PAC=PBC,( 2 ) 如图2 ,过点P 作PF AC 于F ,PE BC,CP是 BCD的平分线, PE=PF, PCF= PCE,PC=PC, PCF PCE, CF=CE,由( 1)知, Rt PAF Rt PEB, AF=BE, AF=AC+CF, BE=BC-CE,( 3)如图 3,在 BC上截取 BQ=AM,在 PMA和 PQB中,PA PBPAM PBQMA BQ, PMA PQB, PM=PQ, MPA=QPB, APM+ QPA=APQ+ QPB,即: APB= MPQ,1 MP

    21、N= APB,21 MPN= MPQ,2 MPN= QPN,文案大全实用标准文档在 MPN和 QPC中, BN=AM+MNPN PN【点评】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,角平分线定理和角平MPN QPN分线的定义,解( 1)的关键是判断出 PE=PF,MP QP,解( 2)的关键是求出 CE=CF=3,解( 3)的关 MPN QPC,键是构造全等三角形判断出APB= MPQ,是MN=QN,一道中等难度的中考常考题2015-2016 江岸八上期末已知在 ABC中, AB=AC,射线 BM、BN在 ABC内部,分别交线段AC于点 G、 H( 1)如图 1,若 ABC=60、

    22、 MBN=30,作 AE BN于点 D,分别交 BC、BM于点 E、 F求证: CE=AG;若 BF=2AF,连接 CF,求 CFE的度数;( 2)如图 2,点 E 为 BC上一点, AE 交 BM于点 F,连接 CF,若 BFE= BAC=2 CFE,直接写出SV ABF=SV ACF【分析】( 1)由 AB=AC, ABC=60得到 ABC为等边三角形, 根据等边三角形的性质得到BAC= ACB=60, AB=CA,求得 BFD= AFG=60,推出 EAC= GBA证得 GBA EAC,根据全等三角形的性质即可得到结论;如图 1,取 BF 的中点 K 连接 AK,由 BF=2AF,推出

    23、FAK是等腰三角形,根据等腰三角形的性质得到FAK= FKA,求得 AKF 1 BFD 30 ,根据全等三角2形的性质得到 AG=CE, BG=AE, AGB= AEC,推出 GAK EFC,根据全等三角形的性质得到 CFE= AKF即可得到结论;(2)如图 2,在 BF 上取 BK=AF,连接 AK,推出 EAC= FBA,根据全等三角形的性质得到S ABK=S ACF, AKB= AFC,证得 FAK是等腰三角形,根据等腰三角形的性质得到AF=FK,即可得到结论【解答】解:( 1) AB=AC, ABC=60AB CA ABC为等边三角形, GAB ECA,则 BAC=ACB=60, AB

    24、=CA, GBA EAC,AD BN, MBN=30, CE=AG; BFD=AFG=60,如图 1,取 BF 的中点 K连接 AK, ABF+BAF=60, BF=2AF,BAF+ EAC=601 EAC=GBA AF=BK=FK= BF,2在 GBA与 EAC中, FAK是等腰三角形,GBA EAC文案大全实用标准文档 FAK=FKA, BFD=FAK+ FKA=2 AKF, BFD=60,1 AKF BFD 30 , GBA EAC,AG=CE, BG=AE, AGB=AEC,KG=BG-BK=AE-AF=FE,在 GAK与EFC中,AG CEAGB AECKG FE, GAK EFC,

    25、 CFE=AKF, CFE=AKF=30;方法二:只要证明 ADB BFC即可解决问题; S ABK=SACF, AKB= AFC, BFE=2 CFE, BFE=2 AKF, BFE=2 AKF=AKF+KAF, AKF= KAF, FAK是等腰三角形, AF=FK, BK=AF=FK, S ABK=SAFK, S ABF=SABK+S AFK=2S ABK=2S ACF, SV ABF =2SV ACF故答案为: 2(2)如图 2,在 BF 上取BK=AF,连接 AK, BFE=BAF+ ABF, BFE=BAC, BAF+EAC= BAF+ABF, EAC=FBA,在 ABK与 ACF中,AB ACABK FACBK AF, ABK AFC,文案大全

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