1、高中数学选修 2-2知识点总结第一章、导数1函数的平均变化率为yff ( x2 )f (x1 )f ( x1x)f ( x1 )xxx2x1x注 1：其中 x 是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念 : 函数 yf ( x) 在 xx0 处的瞬时变化率是limyf (x0x)f (x0)xlimx，x 0x 0则称函数 y f ( x) 在点 x0处可导，并把这个极限叫做y f (x) 在 x0 处的导数，记作f ( x0 ) 或|x x ，即 f (x0 ) = limyf ( x0x)f (x0 )ylim.0x
2、0xx 0x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数(1) ycy 0(2)yxnnN *y nxn 1(3)yaxa0, a1y ax ln a(4)yexy ex(5) ylog a xa0, a 1, x 0y 1x ln a(6) yln xy 1x(7) ysin xy cos x(8) ycosxy sin x6、常见的导数和定积分运算公式 : 若 fx ， gx 均可导（可积），则有：和差的导数运算f ( x) g ( x)f (x) g( x)f (x)g (
3、x)f ( x)g ( x)f (x) g(x)积的导数运算特别地： Cfx Cf xf (x) g(x) ( x) g( x) f ( x) g (x)f2( g( x) 0)g( x)商的导数运算复合函数的导数微积分基本定理特别地：1g (x)g x2 xgyxyu uxbx dxF(a)-F(b)fa（其中 F x f x ）bbb和差的积分运算积分的区间可加性a f1(x)特别地：bf (x)dxaf2( x)dxf1(x)dxf2 ( x)dxaabbkf ( x)dxkf (x)dx(k为常数 )aac()b()(其中)fdxfa cxx dxbac.用导数求函数单调区间的步骤:求
4、函数 f(x)的导数 f (x)令 f (x) 0,解不等式，得x 的范围就是递增区间 .令 f (x) 0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；注 ：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数 f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数 f(x)的导数 f ( x)(3)求方程 f (x) =0 的根(4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)
5、在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f ( x) 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：求 f (x) 在 a, b 上的极值；将 f ( x) 的各极值与f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9求曲边梯形的思想和步骤: 分割近似代替求和取极限（ “以直代曲 ”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1bba1dxa性质 5若 f (x)0,xb推广： f1(x)ab推广 :f (x)dxaa, b ，则bf ( x)dx 0abbbf2 ( x) L
6、f m( x) dxf1( x)dxf2 (x)dx Lfm (x)aaac1c2bf ( x) dxf ( x)dx Lf ( x)dxac1ck11 定积分的取值情况 : 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.( l ) 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积12物理中常用的微积分知识（ 1）位移的导数为
7、速度，速度的导数为加速度。（ 2）力的积分为功。第二章、推理与证明知识点13.归纳推理的定义：从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理。14.归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点 :归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质， 结论是否真实， 还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理， 通过归纳推理的猜想， 可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.
8、类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。17.类比推理的思维过程观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊 的推理。19演绎推理的主要形式：三段论20.“三段论”可以表示为：大前题：M是 P小前提： S 是 M结论： S 是 P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断
9、。21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式： 要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件 . 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24 反证法：是指从否定的结论出发， 经过逻辑推理， 导出矛盾， 证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤（ 1）假设
10、命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（ 2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（ 3）从矛盾判定假设不正确 ，即所求证命题正确。26 常见的“结论词”与“反义词”原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的 x 都成立存在 x 使不成立至多有一个至少有两个对任意 x 不成立存在 x 使成立至少有 n 个至多有 n-1 个p 或 qp 且q至多有 n 个至少有 n+1 个p 且 qp 或q27.反证法的思维方法 : 正难则反28.归缪矛盾（ 1）与已知条件 矛盾 :（ 2）与已有公理、定理、定义矛盾；（ 3）自相矛盾29数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明
11、：当 n 取第一个值N时命题成立； n0 n0(2)假设当 n=k ( k N* ，且 kn0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 .由 (1)，(2)可知，命题对于从 n开始的所有正整数 n 都正确0 注 ：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。第三章、数系的扩充和复数的概念知识点30. 复数的概念：形如a+bi 的数叫做复数，其中集 Cabi | a,bR 叫做复数集。i叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数规定： a bi c dia=c 且 b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。实数 ( b0)31数集的关系： 复数 Z一般虚数 ( a0)虚数 (
12、 b0)纯虚数(a)032. 复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33. 复平面：根据复数相等的定义， 任何一个复数 zabi ，都可以由一个有序实数对(a, b)唯一确定。由于有序实数对 ( a, b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34. 求复数的模( 绝对值 ) 与复数z 对应的向量OZ的模r叫做复数zabi 的模 ( 也叫绝对值 ) 记作z 或 abi。由模的定义可知：za
13、bia 2b 235. 复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则：z1a bi与z2cdi ，则 z1z2ac (bd) i 。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则： ( abi)(cdi )acbdadbci 。复数的除法法则：abi( abi)(cdi )acbdbcad其中 cdi 叫做实数化因子cdi(cdi)(cdi)c2d 2c2d 2 i36.共轭复数 : 两复数 abi与abi 互为共轭复数，当 b0时，它们叫做共轭虚数。常见的运算规律(1) zz ;(2) zz2a, zz2bi;(3) z z22a2b2 ;(4) zz;(5) zzzRzz(6) i 4n 1i ,i 4n21,i 4n 3i, i 4n41;2i;(8) 1ii ,1i1i2(7) 1i,ii1i1i2(9) 设13i是 1 的立方虚根，则120，3n1, 3n 2,3n 312
