1、第八章习题课周继振公共数学系,1,本章内容,多元函数,多元函数的极限与连续,微分法的几何应用切线与法平面，切平面与法线,求导法则链式法则、隐函数求导、全微分、方向导数,2,多元函数的极值与最值问题无条件与条件极值,一、多元函数极限的计算与证明,1. 极限定义,注：使用一元函数极限存在的法则，求二元函数的极限.,特点：极限存在，仅与距离有关，与路径无关.,3,如何证明与路径无关？,推论：若(x,y)沿不同路径时，f(x,y)均趋于不同值，则极限不存在.,解 (1),例8.1. 讨论下列极限的存在性.,考点：不同路径对应的极限值不同.,4,与k有关，故极限不存在.,或,与路径有关，故极限不存在.,
2、解 (2),例8.1. 讨论下列极限的存在性.,考点：不同路径对应的极限值不同.,5,注：分子分母同阶，一般极限不存在.,与k路径有关，故极限不存在.,y=kx,例,解 (1),例8.2. 求下列二重极限.,难点：所求极限与路径无关.,且 ，,(2) 因为,6,故由夹逼准则得,例8.3. 函数f(x,y)在(x0, y0)处可偏导是 f 在(x0, y0)处连续的( ) .,考点：可偏导与连续的关系.,由例8.1得函数在(0,0)点不连续.,可偏导 连续,反例1. 在(0,0)可偏导不连续.,可偏导,D,7,(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分
3、也非必要条件,例8.3. 函数f(x,y)在(x0, y0)处可偏导是 f 在(x0, y0)处连续的( ) .,考点：可偏导与连续的关系.,在(0,0)点连续.,可偏导 连续,反例2. 在(0,0)连续不可偏导.,不存在，故不可偏导,D,8,(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件,例8.4. 对z=f(x,y),下列结论正确的是( ) .,考点：几个概念之间的关系.,(A) 可微的充要是一阶偏导连续 (B) 可微必偏导连续 (C) 偏导连续必可微 (D) 偏导不连续必不可微可导,C,9,偏导连续,可微,偏导存在,连续,极限存在,偏导
4、连续,可微,偏导存在,连续,极限存在,例8.5. 讨论 在(0,0)点的连续、可导与可微性.,考点：几个概念之间的关系.,解：因为,10,且 .,由夹逼准则得,所以f在(0,0)点连续.,f在(0,0)点可偏导.,例8.5. 讨论 在(0,0)点的连续、可导与可微性.,考点：几个概念之间的关系.,解：,11,f在(0,0)点连续可偏导 .,不存在，故不可微.,二、复合函数的求导,链式图 函数的关系 符号的变化,1. 加法原理：不同路线用加法,2. 乘法原理：不同步骤用乘法,3. 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导,例8.6. 设f(u)可导， ，求 .,关键点：链式法则，f 是一元函
5、数.,解,13,例8.7. 设 ，f ，g二阶偏导连续，求,解,考点：多元复合函数的求导.难点：高阶导,14,例8.7. 设 ，f ，g二阶偏导连续，求,解,15,关键点： 与g的复合结构相同.,例8.8. 设 由 确定，求 .,解,解得,考点：隐函数的求导运算,令 .易得,16,因为z(1,2)=0, 代入方程得,例8.9. 设 f (u,v)可微，z=z(x,y)由方程 确定，求 .,17,考点：全微分、隐函数求导、链式法则,方程两边关于x求导，z为x的函数，y看作常数.,类似 ，,8.10. 设 z=z(x,y)由方程 确定，二阶可导，求 .,18,考点：隐函数的高阶导数求法,解：令,例
6、8.11. 设y=y(x)和z=z(x)由 确定，求 .,考点：方程组确定的隐函数，难点:函数、自变量.,解 方程两边关于x求导，易得,两个方程确定两个函数，三个变量则有一个自变量.,19,解得,注：函数个数=方程的个数 自变量个数=变量总数-方程个数,三、微分法的几何应用,1. 曲线的切线和法平面,过曲线点 M可作切线， 过点M以切线为法线的平面称为法平面.,注：求切线和法平面的关键点是求出切向量T.,20,参数方程,柱面方程,一般方程,参数方程,例8.12. 求曲线 在点(1,1,1)处一个切向量与z轴正向的夹角成钝角，求该切向量与x轴正向夹角的 .,考点：参数方程类型的曲线，关键点：方向
7、.,解,21,对应t=1.,因为z轴正向的夹角成钝角，故,例8.13. 求曲线 在点(2,2,8)处的切线和法平面,考点：柱面方程类型的曲线，关键点：化简参数方程.,解,22,过点(2,2,8)的切线方程,过点(2,2,8)的法平面方程,例8.14. 曲线 在 处的切线一定平行于( ),考点：一般方程的曲线.,解 方程确定了y和z是x的函数，两边关于x求导,23,平行于zox平面.,(A) xoy平面 (B) yoz平面 (C) zox平面 (D)平面x+y+z=0,代入数值得,C,为什么不选？,2. 曲面的切平面与法线,过曲面 上一点M可作一切平面，平面 过点M的法线称为平面的法向量.,关键
8、点: 法向量,24,一般方程,z=z(x,y)方程,一般方程,例8.15. 求曲面 在点(1,0,1)的切平面方程.,考点：曲面方程为显函数形式的切平面求解.,解,得所求切平面为,25,例8.16. 设平面 与椭球面 相切，求切点和.,考点：一般曲面方程的切平面求解.,解 设切点为(x,y,z),易得 .,26,故,(1)(2)(3),切点属于平面,切点属于椭球面,平面法向量与椭球面法向量平行,例8.16. 设平面 与椭球面 相切，求切点和.,考点：一般曲面方程的切平面求解.,解 设切点为(x,y,z),易得 .,得切点为,27,故,(1)(2)(3),由(3)得,代(1)得,代(2)得,证明
9、 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,解: 在曲面上任意取一点,则通过此点的切,例8.17. 设 f ( u ) 可微,第七节,证明原点坐标满足上述方程 .,平面为,例8.18. 设 ，求u在 处的方向导数的最大值.,解,考点：梯度的方向是取得最大方向导数的方向，梯度的模为最大的方向导数.,29,例8.19. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,故,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,故,为什么？,四、拉格朗日乘数法,求z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的极值,1. 构造拉格朗日函数F(x,y,)=f(x,y)+(x,y),2. 解偏导数方程组 ，
10、得可能极值点.,3. 依据相关定理，判断驻点是否时极值点.,有可能不是,注：根据实际意义，最值存在，且驻点唯一，则驻点为最值点.,例8.20. 在经过 的所有平面中求一个平面，使其在第一卦限内与三个坐标面所围成的体积最小.,解 设所求的平面为 .,32,下的最小值. 令,实际意义得最小值存在，所求平面为,故所求为 在条件,例8.21. 求原点 到椭圆 上的最大值与最小值.,解 设椭圆上点P(x,y), 则所求P在椭圆上时 的最值.,令拉格朗日函数为,考点：条件极值；难点：求解偏导数方程.,33,(1)(2)(3),代入(2),因为 ，得,(4),例8.20. 求原点 到椭圆 上的最大值与最小值.,34,(1)(2)(3),A.,(4),B.,由实际意义得，最值存在，故,例8.21. 求原点 到椭圆 上的最大值与最小值.,解 或,35,(1)(2)(3),得,有非零解得,36,谢谢,
