1、有关二项式定理的拓展学了二项式定理，大家都知道这条公式，但我们不妨将眼光放大0120nnnnabCabCab一点，不止二项，如果是三项、四项，甚至是 项又如何？先列几个式子看看吧：222ccc33 2223336abbabacbcab44 22444ccc c2222611好了，到四次为止吧，暂且不看那些烦人的系数，看看各项吧.我们不难从中发现，各项的次数之和正好为展开前整个式子的次数，且各个未知数的次数是从 到最高次都有的.0于是，我们不难猜出 的各项，同理，展开检验后，我发现 也很5abc2abcd类似，其各项分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， .22dabcd-为了方便，以及考
2、虑到各底数与各次数的对称性，我采用如下书写方法：,xyzxyzxzyxzyzxzyzxabcabcccab其中 称为底集， 称为幂集（幂集不具有互异性）.底集中元素个数必,须等于幂集中元素个数， 中展开后的各项称为同次项 .,xyzc例如： 44,03,102,01,26abcaabcabcabc-以上过程中你会发现各展开项中同次项的系数都相同，看到这些次数，我突然想起了牛顿推出二项式定理的方法，其实在这里也可进行效仿.例如，对于 的展开项， 的系数可以看成 ,因4abcd2,10,abcd214CA为 ， ， ， 地位相同，不妨看成是 的系数，也就是分别从 个abc2中取出 个 ， 个 与 个 的取法的个数.d21c于是，我们可以得到三项式定理： ,01,02,00 1 2, ,nnn nn nnabcaCabCabcCAAA2,1 3,212 31, ,nnc 也就是说 的展开式中，其项数即 的解的种数，nabc,xyznxyzN且合并同次项后，各项满足通式： ,xyznnxyCabcAn最后，推广到多项式定理：的展开式中，其项数即 123nixx 123i的解的种数，且合并同次项后，各项满足通式：,iaN 123312112121 ,23123, iii aaannnai iCCxxan A A
