1、福建师大附中 2018-2019 学年第一学期高三期中考试卷数学 ( 理科 )本 卷共4 分 150 分，考 120 分 注意事 ： 卷分第 I 卷和第 II 卷两部分， 将答案填写在答卷 上，考 束后只交答案卷 .第 I 卷 共 60 分一、 ：本大 有12 小 ，每小 5 分，在每小 出的四个 中，只有一 符合 目要求 .1. 集合 A x| x2 3x 2 0 ， B= x|2x 4 ， A B ( * )A. RB. ?C. x| x 1D. x| x 22.若复数 2a2i ( aR ) 是 虚数 , 复数 2a 2i 在复平面内 的点在( * )1iA. 第一象限B. 第二象限C.
2、 第三象限D. 第四象限3.已知命 p ：“a 0 ，都有 ea1成立”， 命 p （ *）ACa0，有 ea1成立Ba0，有 ea1成立Da0 ，有 ea1成立a0 ，有 ea1 成立4利用数学 法 明“( n 1)( n 2) ( n n) 2n 1 3 (2 n 1) ， nN* ” ，从“ nk” 到“ n k1” ，左 增乘的因式是 (* )A 2k 1B 2(2 k 1)2k 12k 3C 1Dk 1k5. 我国古代数学名著算法 宗中有如下 ：“ 望巍巍塔七 ， 光点点倍加增，共灯三百八十一， 尖 几 灯？”意思是：一座7 塔共挂了381 灯，且相 两 中的下一 灯数是上一 灯数的
3、2 倍， 塔的 共有灯（*）A 1 盏B 3 盏C 5 盏D9 盏设 a log5 4,blog 2 3,c log0.2 326.， a,b,c 的大小关系 （ * ）A a b cB b c aC.a c bD b a c2 xy2 0,7. 不等式 x1,解集 D , 若, 数 a 的最小 是y2( * )1 / 8A 0B1C 2D 48.如图，在平面四边形ABCD 中， ABBC， AD CD ，BAD1200 ，AB AD1. 若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE BE 的最小值为（ * ）A 21B 3C 25D 3162169.已知函数 f ( x)1（其中 e 为自然对数
4、的底数） ，则 yf ( x) 的大致2x 1ex图象大致为 ( * )A.B.C.D10. 如图，圆 O的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x的函数 f (x) ，则 y = f (x) 在 0, 上的图像大致为（*）11. 已知函数f ( x)sinx3 cosx(0), 若方程f ( x)1在 (0,) 上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（*）137B.725C.(25 11D.11 37A. (, (,( ,6226622612.
5、 已知关于 x 的方程 exe x2a log 2 (| x |2)a25 有唯一实数解，则实数a 的值为（ *）A 1B 1C 1或 3D 1或 3第卷 共 90 分二：填空题：本大题有4小题，每小题5 分.13. 已知向量 a ， b 的夹角为 60， a2 ， b1 ，则 a 2b_*_.2 / 8xy114已知 x、y 满足约束条件xy1, 若目标函数zaxby a0,b0 的最大值为2xy27，则 34 的最小值为 _*_.ab15甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n（ n N* ,1 n 5 ）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手
6、中的数推测谁手上的数更大甲看了看自己手中的数，想了想说： 我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 _*_.16在数列 an 中，若存在一个确定的正整数T，对任意 nN * 满足 a n Tan ，则称 an 是周期数列， T 叫做它的周期 . 已知数列 xn 满足 x11,x2a( a1) ， xn 2xn 1 xn ，若数列 xn 的周期为 3，则 xn 的前 100 项的和为* .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）如图，在ABC 中 , B, BC2
7、 , 点 D 在边 AB 上 ,ADDC ,DEAC , E 为垂3足.A( ) 若的面积为3 , 求CD的长 ;BCD3( ) 若 DE6, 求A 的大小 .218.( 本小题满分12 分）EDBC已知数列 an 的前 n 和为 Sn ，若 an0 ， an 2 Sn 1 （）求数列 an 的通项公式；（）若 bnan ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn 3n19. （本小题满分 12 分）在直角坐标系中，曲线, 曲线为参数 ) ，以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（）求曲线的极坐标方程；3 / 8（）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围 .2
8、0. （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)a x 1 x a（ a0 ） .（）当 a2 时，解不等式f ( x)4 ；（）若fx1 ，求 a 的取值范围21. （本小题满分 12 分）函数 f ( x )23 sin xcos x3cos x0 ，在一个周期内的图象如图所示, A 为图22象的最高点 ,B 、 C 为图象与 x 轴的交点 , 且ABC 为正三角形 .（）求函数f ( x) 的解析式；（）将 f ( x ) 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变） ，再向右平移个43单位得到函数g( x ) ，若设 g( x ) 图象在 y 轴右侧第一个最高点为P ，试问
9、g( x) 图象上是否存在点 Q,g2，使得 OPOQ ，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由 .22. （本小题满分 12 分）已知函数f (x)x2exax （）当 a0时，讨论f ( x) 的极值情况；（）若x1f (x)ae0 ，求 a 的值4 / 8福建 大附中2018-2019 学年第一学期高三期中考 卷解答数学 ( 理科 )一、 ： ABDBB ;DCADB,BA二：填空 ：本大 有4 小 ，每小 5 分.13. 2 3 , 14 715 716 67A8E.D三、解答 ：解答 写出文字 明、 明 程或演算步 17. （本小 分12 分）BC( ) 由已知得 S
10、 BCD1 BC BD sin B3， 又 BC2 ，sin B3232得 BD2 3 分3在BCD 中，由余弦定理得2CDBC2BD22 BC BD cosB2222 221 27 ，3323所以 CD 的 CD27 6 分3( ) 因 CDADDE6 8 分sin A2sin A在BCD 中，由正弦定理得sinBCCD ，又 BDC2 A , 10 分BDCsinB得260 ，11分解得 cosA2即 所sin2A2sin A sin60, 所以 A24求 .12 分18.(本小 分12 分）解: （）an2n1，4 Sn(an1)2分S1当 n1 ， 4 S1( a11)2 ，得 a11
11、 2分当 n2 ， 4Sn 1(an 11)2 ，4( SnSn1 )(a n 1)2(an 11)2 ，3分4an22an22an 1 ，即 (anan 1 )(anan 1 )2( anan 1 ) ，anan 1an0,anan 12 4 分数列 an 是等差数列，且首 a11 ，公差 2，5分an1 2( n 1)2n1 6分（）由（）可知，bn(2 n1)1，3nTn113151(2 n1)1，7分332333n11131(2 n3)1(2 n1)11 ，8分Tn23n3n3333得2Tn12(111(2 n1)1分3323n )n 1 9313133112323n 1(2 n1)，
12、 10分3113n 135 / 8化 得 Tn 1n 112分3n19. （本小 分 12 分）解： (1) 因 ，所以曲 的普通方程 ：，由，得曲 的极坐 方程， 于曲 , 曲 的极坐 方程 (2) 由 (1)得,，因 ， 20. （本小 分12 分） 3x 4，x 1，解：（ 1）f (x) 2|x 1| |x 2| x，1x2，3x 4，x 2所以， f (x) 在（ ,1上 减，在 1 ，）上 增，又f (0)8) 4， 故f (x) 4的 解集为f (38x|0 x 3 .6分（ 2）若 a 1， f(x)(a 1)|x 1| |x 1| |x a| a 1，当 且 仅 当 x 1时
13、 ， 取 等 号 ， 故 只 需 a 11 ， 得a2. .7分若 a 1，f(x) 2|x 1| ，f (1) 0 1，不合 意 .9分若 0 a 1， f(x) a|x 1| a|x a| (1 a)|x a| a(1 a) ，当且 当 x a ，取等号，故只需 a(1 a) 1， 与 0a 1 矛盾 .11分 上所述， a 的取 范 是 2 ，). .12分21. （本小 分 12 分）由已知得:f ( x )xcosx3cos x3 sinx3cos x 23 sin x 2 分2 3 sin223 A 为 图 象 的 最 高 点 ， A 的 纵 坐 标 为 23 , 又 ABC 为
14、正 三 角 形 ， 所 以BC4 3 分 T4 可得 T 8 , 即 28 得 4 分 ,24 f ( x) 2 3 sin(x) 5 分 ,43（）由 意可得g( x )23 sin x , P,23 7 分2法一：作出如右下 象，由 象可知 足条件的点Q 是存在的，而且有两个8 分注：以上方法 然能 得到答案，但其理由可信度不高，故无法 分.6 / 8法二：由 OPOQ 得 OP OQ0 ，即2323 sin0 ，2即24sin2，由此作出函数yxx 2及y24sin xx2 象，由 象可知 足条件的Q 点有两个 . 10 分 ( 注：数形 合是我 解 中常用的方法，但就其 密性而言，仍有
15、欠缺和不足.)法 三 ： 由 OPOQ 得 OP OQ 0， 即223 23 s ，i n即024 sin0， 化2 研 函数h( x )x 24sin xx 2零点个数。 h ( x)24cosx ， h ( x )24sin x ，当x2 ， h ( x )24sin x0 恒成立，从而 明函数h ( x ) 在,2中是 增函数10 分，又 h ()0 ，h (2)0 ，故存在0,2，使得 h ( 0 )0从而函数 h( x ) 在区 , 0 单 减，在区 0 , 2 增 11分又 h0 ， h 230 ，由零点存在0 ， h2定理得 :函数 h( x ) 在区 3和区 3,2上各有一个零
16、点12 分,2222. （本小 分12 分）解：（） fxexaxx2exa1分x1 ex2a x1x 1 ex2a 因 a0 ，由 f x0 得，x1 或 x ln 2a 当 ae ， fxx1exe0， fx 增，故f x无极 2 分2当 0e ， ln 2a1x ,fx,fx的关系如下表：a2x,ln 2aln 2aln 2a,111,fx+00+fx 增极大 减极小 增故 fx有极大 fln 2aa ln 2a22，极小 f1ae 4 分当 ae1 x ,fx, fx的关系如下表： ， ln 2a2+00+ 增极大 减极小 增故有极大 ，极小 5 分 上：当 ，有极大 ，极小 ；当 ，无极 ；当 ，有极大 ，极小 6 分（）令， （i ）当 ，所以当 ， 减，所以，此 ，不 足 意8 分7 / 8（ ii ）由于与有相同的单调性，因此，由（）知：当时，在上单调递增，又，所以当时，；当时，故当时，恒有，满足题意 9 分当时，在单调递减，所以当时，此时，不满足题意10 分当时，在单调递减，所以当时，此时，不满足题意11 分 综上所述： 12分8 / 8
