1、第三章中值定理与导数应用,1/19,第一节中值定理,拉格朗日中值定理 柯西中值定理 小结、作业,一、罗尔(Rolle)定理,C: y = f (x) (xa, b) 连续、除端点外处处有（非垂直的）切线 、两个端点的高度相同 曲线段C上必有某点切线是水平的？,2/19,罗尔定理,若 f (x)在a,b上连续、,(a,b)内可,导，,且 f (a) = f (b)，,则存在 (a,b)，,f () = 0.,使得,3/19,证,4/19,5/19,（接着证）,Rolle TH 常用于讨论导数零点的存在性;,变号点,以及方程的根,讨论函数的零点、,6/19,例1,证（反证）,例2,证 （用反证法）
2、,证毕,7/19,n次实系数多项式至多有n个(不同的)实根.,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,微分中值定理,8/19,拉格朗日（Lagrange）中值定理,若 f (x)在 a, b上连续、,(a, b)内可导,那末,证,拉格朗日中值公式,证毕,*另证分析,9/19, f 的精确表达式,拉格朗日中值定理又称为有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称为有限增量公式.,推论,10/19,例3,证,证毕.,11/19,例4,证,12/19,拉格朗日中值定理将函数增量、自变量增量及导数中值联系在一起在利用导数性质讨论函数（增量）的性质时，常用到拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,
3、L-中值TH的几何背景问题用参数方程 来刻画会怎样？,13/19,证,（利用 L-中值TH）,14/19,柯西中值定理,如果 f (x)、F(x)Ca,b、,(a,b)内可导,且F (x)在(a,b)内恒不为零，,则 (a,b),使,在,15/19,16/19,例5,证,证毕,柯西中值定理将两个函数的增量比与它们的导数比联系起来在利用两个函数的导数讨论这两个函数的比值或增量比时，常用到柯西中值定理.,17/19,柯西中值定理中分子、分母的导数是在同一点处的导数！,例6,证,18/19,四、小结,Rolle,Lagrange,Cauchy,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系:,注意定理成立的条件；,这些中值定理是连接函数与导数的桥梁；,注意 柯西中值定理中的导数比是同一点处的导数,19/19,作业,第三章习题一 一、16；二、1；四、,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,练 习 题,
