1、综合测试题 ( 下册 )A 卷一、填空题（每空4 分，共20 分）1、 曲线 xcost, ysin t, ztan t在点（ 0 ， 1， 1）处的一个切向量与OX 轴正向夹2角为锐角，则此向量与OZ 轴正向的夹角是 _ .2、 设D : x1,0y1( x3y) yd= _ .，则D3、 设: x2y2z2a2 ，则曲面积分(x2y2z2 )ds=_.4、 周期为 2的函数 f (x) ，它在一个周期上的表达式为f ( x)1x 0，设10 x它的傅立叶级数的和函数为S( x) ，则 S(5) =.25、 微分方程dyye x 的通解为 _.dx二、选择题（每题4 分，共20 分）1、函数
2、 f (x, y) 在 ( x0 , y0 ) 点可微是函数f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 点连续且可导的(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)无关条件2、设空间区域1 : x2y2z2R2 , z0;2 : x2y2z2R2 , x0, y0, z0 ，则(A)xdv 4xdv(B)ydv4ydv1212(C)zdv4zdv(D)xyzdv4xyzdv12123、设 L 为 x2y21一周，则?x2dsL(A)等于 0(B)等于(C)等于 2(D)等于 14、如果幂级数cn xn和ncn xn 1的收敛半径分别是R1 和 R2 ，则 R1 与 R2的大小
3、关系n 0n1是(A)R1 大于 R2(B)R1小于 R2(C)R1 等于 R2(D)不能确定5、微分方程 y5y6yxe2 x 的特解形式是(A) Ae2 xBxC(B)( AxB)e2 x(C)x2 ( AxB)e2x(D)x( AxB)e2 x三、解答题1、（ 11分）函数 zz( x, y) 由方程 F ( xz , yz ) 0所确定 ，其中 F 具有一阶偏导yx数，计算 xxyzxy2 、（ 9分）计算曲线积分?(2 x3yx2 y)dx( x2 yxy2 )dy ，其中L为圆周Lx2y22 的顺时针方向3、（ 12 分）在曲面 z2 x24 y2上求一点，使它到平面x 2 y 3
4、z 1的距离最短4、（ 9 分）计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy ，其中是曲面z1x2y2 在xoy 面上方部分的上侧5、（ 10 分）求幂级数(1)n 1 nx n1 的收敛区间与和函数S(x)n 16、（ 9 分）求微分方程y4 y x cos x 的通解 .综合测试题 ( 下册 )A 卷答案一、填空题1、 32、 23、4 a44、15、 y e x( x C )43二、选择题1、 A2、 C3、 B4、 C5、 D三、解答题1、解： FxF1F2 (z2), FyF1(z2 )F2 , FzF1( 1 )F2 ( 1 )xyyx由隐函数计算公式得zy( zF2x2 F1 )x
5、x( xF1yF2 )zx( zF1y2 F2 )yy( xF1yF2 )则 x xy zy( zF2x2 F1)x( zF1 y2 F2 )z xyxy( xF1yF2 )2、解：由格林公式原式 =(1y23 x2 )dxdyD22(2r 2 ) rdr=d00= 2 (r 21 r 4 )0 22 .43、解：设曲面上(x, y, z) 点到平面距离为d，则 14d 2( x2 y 3z1)2 且z22 x24 y 2 即 x24 y2z22 0令 F ( x 2y 3z 1)2(x24 y2z22)Fx2(x 2 y 3z 1)2x0Fy4(x2y3z1)8 x0Fz6(x2 y3z1)
6、2x0z2x24 y2得唯一解x2, y1, z6.141414由实际问题知最小值存在，即为点(2,1 ,6) .1414144、解：补上一块1 : z0, x2y21取下侧，且xdydzydzdxzdxdy 01由高斯公式原式 = 3dxdydz0 3(1x2y2 )dxdy3.x2 y212其中是由,1 所围立体 .5、解： R limanlimn1，在 x1 时，级数发散 .则收敛区间为 ( 1,1).nan1nn1令 S( x)(1)n 1nxn 1n1x1( 1)n 1 xnx则S( x)dx( 1)n 1 nxn 1dx00n11xn 1S( x)(x)(11.x1x) 26、解：
7、特征方程r 240， 解得特征根r2i.对应的齐次方程的通解YC1 cos2xC2 sin 2x .因为0,1,ii不是特征根方程的特解形式为y*( axb)cos x(cxd )sin x将其代入原方程解得a1 , b 0, c0, d2.39所以y*1 xcos x2 sin x ,39方程的通解YC1 cos 2xC2 sin 2x1 x cos x2 sin x .39综合测试题（下册） B 卷一、填空题 （每题3 分，总计18 分）1、函数 f (x, y)2x2axxy 22 y 在点 (1, 1) 处取得极值，则常数a _.2、若曲面 x22y 23z221 的切平面平行于平面x
8、4 y6z250 ，则切点坐标为 _.3、二重积分1dy1y e x3dx 的值为 _.0y4、设 f (x) 是周期为 2(1,1的定义为 f ( x)2,1x0的周期函数，它在区间x,0x，1则 f ( x) 的傅里叶级数在 x1 收敛于.5、级数nxn 的和函数为.n16、微分方程 yy2 的通解为 _.x y二、选择题 （每题 3 分，总计15 分）1、 f x ( x0 , y0 ) 和 f y (x0 , y0 ) 存在是函数f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 连续的(A)必要非充分的条件；(B)充分非必要的条件；(C)充分且必要的条件；(D)即非充分又非必要的条件
9、.2、设 uln( x 2y 2z2 ) ，则 div ( grad u) (A)1z2 ；(B)2；(C)1z2 ) 2 ；(D)2x 2y 2x 2y 2z2( x 2y 2(x 2y 2z2 ) 23、设 D 是 xoy 面上以 (1, 1), (1, 1), ( 1,1) 为顶点的三角形区域，D1 是 D 中在第一象限的部分，则积分(x3 ycos3 x sin y)dD(A) 2cos3 x sin y d； (B)2x3 yd ； (C)4(x 3 ycos3x sin y)d； (D)0D1D1D14、设为曲面 x 2y2R 2 ( R0) 上的 0z1部分，则e x2y2sin
10、( x2y 2 )dS (A) 0；(B)ReR sin R 2；(C)4 R ；(D)2Re R sin R25、设二阶线性非齐次方程yp( x) yq( x) yf ( x) 有三个特解y1x ， y2ex ，y3e2 x ，则其通解为(A) xC1exC 2 e2 x ；(B)C1 xC 2exC 3e2 x ；(C) x C1 (exe2 x )C 2 ( xex ) ； (D)C1 (exe2 x )C 2 (e2xx)三、计算题 （每题7 分，总计28 分）1、已知 f (x, y, z)2xyz2 及点 A(2,1, 1) 、 B(3, 1,1)，求函数 f ( x, y, z)
11、 在点 A处沿由 A 到 B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值 .2、设 zf (xy, xy ) 具有连续的二阶偏导数，求2 z .x y3、将函数 f (x)3展开成 x 的幂级数，并指出收敛域 .2 xx24、计算ds，其中 L 是螺旋线 x8 cost , y8 sin t, zt 对应 0t2 的L x2y2z2弧段 .四、计算题 （每题8 分，总计32 分）1、计算z dv ，其中由不等式 zx 2y 2及 1x2y 2z24 所确定 .2、计算axdydz(za) 2 dxdy ，其中为下半球面 za 2x2y 2的下侧， ax2y2z2为大于零的常数 .3、
12、设 yy( x) 满足方程 y3y2 y2ex ，且其图形在点 (0, 1) 与曲线 yx2x 1相切，求函数 y(x) .4、对 p0 ，讨论级数( 1) n的敛散性 .n 1n p n 1综合测试题（下册）B 卷答案一、填空题1、 -5 ； 2、 ( 1,2, 2) ； 3、 1 (1e 1 ) ； 4、x61 x二、选择题1、； 2、； 3、； 4、； 5、三、计算题2； 5、 xy Cy1、解：由条件得ff2 x,fx2 y,2 zyzAB1, 2,2AB 01,2,2 cos, cos , cos 333cos122, cos, cos333从而ffcosf cosfcos=10lx
13、yzA( 2, 1,1)3点 A 的梯度方向是2,2 ,2 2, 4,2lgrad fAyxz A所以方向导数的最大值是f22422 22426lzf1yf 2 ,zf 1 xf 22、解：yx2 zyzyf1yf 2f1y f 2f 2x yxyy( f11xf12 )y(f 21xf 22 )f 2f 11(xy) f12xyf22f 23、解： f (x)3111112 x x21 x 2 x 1 x 2 1 x / 21( 1)n xn1 ( 1)nxnxnn 02 n 02n 02n 1收敛域为 ( 1,1) .4、解： dsxt2yt2zt2 dt65dtds652dt65tL x
14、2y2z20 82t 28arctan820658四、计算题zdv2d4 d2r cos r 2 sindr24 sincosd23dr1、解：01r0011 r 421524 sin2d 204182、解：取xoy 为 xoy 面上的圆盘x 2y2a 2 ，方向取上侧，则axdydz(za)2 dxdy1axdydz( za)2 dxdyx2y2z2aa1 axdydz(za)2 dxdyaxdydz(za)2 dxdyxoyxoy1(2 z 3a) dva2dxdyaDxy12ddar cosr 2 sind3a2a3a2a22a020314cossindar 3 dra41a4a41a3
15、 .a20a223、解：由条件知yy( x) 满足 y(0)1,y (0)1.由特征方程 r 23r20r11, r22 , 对应齐次方程的通解YC1exC 2e2x ,设特解为 y*Axex ，其中 A 为待定常数，代入方程，得A2y*2xe x ,从而得通解yC1exC 2e2x2 xex , 代入初始条件得 C11,C 20 .最后得 y( x)(12x)ex .4、解：当 p1时 ,(1)n1n 1 npn 1n 1 npn 1lim un1limnpn 11limn11 ,n unnn 1 pn 2p nn 1 p所以原级数绝对收敛.当 0 p11,( 1)n1时 , 设 qn 1 npn 1p1nqn 1xq x 11limnlimxq limnxx所以原级数发散.1 n qn 1,n 1nxqlnq0,1
