1、1.6 无穷小阶的比较1 无穷小的比较设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。(1) 如果 lim0 ，则称是比高阶的无穷小，记为o() ；也说是比低阶的xx0无穷小。(2)如果 limc ( c 是不为 0 的常数 )，则称是与同阶的无穷小。xx0(3)如果 lim1 ，则称与是等价无穷小，记作:或:。xx0(4)如果 limkc ( k0 ， c 是不为0 的常数 )，则称是关于的 k 阶无穷小。xx0例如x0时， 3x2o(x) ， sin x : x ， 1cosx 与 x2 是同阶无穷小，同时 1cosx也是关于 x 的二阶无穷小。注意并不是所有的无穷小都能进行比较，x时， f
2、( x)1sin x，g( x)都是无穷小。xx由 于 limf ( x)lim1和 limg ( x)lim sin x 都 不 存 在 ， 因 此 ， f (x)1与xg( x)xsin xxf ( x)xxg( x)sin xx不能进行阶的比较。例 1x0 时，比较 1cosx 与 x2 的阶。21cos x2sin 2 x2sin x1 sin x11解limlim2lim2lim21。x2x2xxx 0x 0x 0)2x 0 2224(22x 0 时， 1 cosx 与 1 x2 是等价无穷小。2定 理1.5.1设,是 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 的 两 个 无 穷
3、小 ， 则:o() 。例 如x0时 ， 1 cos x : 1 x2， 故1cos x1 x2o( x2 )， 即22cos x11 x2o(x2 ) ，于是在 x 0 的小邻域内可以用11 x2近似代替 cosx 。22定理 1.5.2设, 都是自变量同一变化过程中的无穷小，且:， :，若42lim存在，则limlim。证明limlimlimlimlimlim 。等价无穷小代换是计算极限的一个重要方法。例 2求 lim sin 5x3。x 0 (sin 2x)3解 x0 时， sin 2x 2x ；又 x0 时 5x30 ，所以 sin 5x3 5x3 。因此limsin 5x3lim5x3
4、5。x0 (sin 2x)3x0 (2 x)38例 3求极限 limtan xx3sin x 。x 0解 tan x sin x11)sin x(1 cos x)。sin x(cos xcos xx0时， sin x x ，1 cos x :1x2 ，所以2lim tan x sin xlim sin x(1 cosx) limx 1 x212。x 0x3x0x3 cosxx 0x3 cosx2若分子、分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限。2x0时几个常见的无穷小x0 时，sin x : x, tan x : x ，1cos x :1 x2，arcsinx : x ，arctanx : x ln(1x) : x ，2a x1 : x ln a ( a 0 a 1)， (1 x) a1 : ax ( a 0 ) 。例 4证明 x0 时， sinh x : ex1 。证明sinh xexe x(ex1)(e x1)ex12(ex1)2(ex1)1e x122(ex1)x0 时， ex1 :x ，因此， e x1 :x ，故lime x1limx1x0 2(ex1)x 0 2x243于是sinh x11lim2( ) 1x x0 ex 12即 x0 时， sinh x : ex1 。作业 : P451,2.44
