1、北 大版数学( 八年 上册) 知 点 第一章 勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形两直角 a；b 的平方和等于斜 c的平方；即 a 2b 2c 2（2）勾股定理的 ： 量、数格子、拼 法、面 法；如青朱出入 、五巧板、玄 、 法（通 面 的不同表示方法得到 ；也叫等面 法或等 法）（3）勾股定理的适用范 ： 限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三 a；b；c 有关系 a2b2c 2 ；那么 个三角形是直角三角形 .3、勾股数： 足 a2b2c2的三个正整数 a；b；c；称 勾股数.常见的勾股数 有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12；,13）（9,12,15）（7,24,25）
2、（9,40,41）规律：（1）；短直角 奇数；另一条直角 与斜 是两个 的自然数；两 之和是短直角 的平方.即当 a 奇数且 ab ；如果 b+c=a2那么 a,b,c 就是一 勾股数 . 如（ 3,4,5）（5,12；,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于 2 的任意偶数；2n(n1) 都可构成一 勾股数分 是：2n,n2-1,n 2+1如：（6,8,10 ）（8,15,17 ）（10,24,26 ）4、常见题型应用：（1）已知任意两条 的 度；求第三 /斜 上的高 /周 /面 （2）已知任意一条的 以及另外两条 之 的关系；求各 的 度 /斜 上的高 /周 /面 （3）判定
3、三角形形状： a 2 +b 2c2 角；a2 +b2=c2 直角；a2 +b 2c2 角判定直角三角形 a.找最 ；b.比 的平方与另外两条 短 的平方和之 的大小关系； c.确定形状（4）构建直角三角形解 例 1. 已知直角三角形的两直角 之比 3：4；斜 10.求直角三角形的两直角 .解： 两直角 3x；4x；由 意知：( 3x) 2(4 x) 2100， 9 x 216 x 2100 ， 25x 2100 ， x 2x=2； 3x=6；4x=8；故两直角 6；8.中考突破（1）中考典 例. 如 （1）所示；一个梯子 AB 长 2.5米； 端A 靠在 AC 上； 梯子下端 B 与 角 C
4、距离 1.5米；梯子滑 后停在 DE 位置上；如 （2）所示； 得得 BD=0.5米；求梯子 端 A 下落了多少米？AAECBCBD（ 1）（ 2）思 入 指 ：梯子 端 A 下落的距离 AE；即求 AE 的 .已知 AB 和 BC；根据勾股定理可求 AC；只要求出 EC 即可.解：在 RtACB 中；AC2=AB 2-BC2=2.52-1.52=4； AC=2BD=0.5；CD=2在Rt ECD 中， EC 2ED 2CD 22.52222.25EC=1.5AEACEC215.05.答：梯子 端下滑了 0.5 米.点 ：要考 梯子的 度不 .例 5. 如 所示的一 地； AD=12m；CD=
5、9m；4ADC=90；AB=39m；BC=36m；求 地的面 .1 / 9ADCB思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形；若连结 BD；似乎不 得要领，连结 AC ，求出 S ABCS ACD 即可。解：连结 AC；在 RtADC 中；ADCBAC 2CD2AD212292225AC15在ABC 中；AB2=1521AC 2BC21523621521AB2AC 2BC 2 ，ACB90S ABCS ACD1 AC BC1 AD CD2211536112927054216(m2 )22答： 地的面 是 216 平方米.点 ：此 合地 用了勾股定理和直角三角形判定条件.第二章 实数
6、基本知识回顾1. 无理数的引入.无理数的定 无限不循 小数 .算术平方根定义如果一个非负数的平方等于无限循 小数x，即x2aa那么这个非负数x就叫做 的算术平方根，记为a，a 有理数算术平方根为非负数a0 数正数的平方根有2 个，它们互为相反数正无理数平方根 的平方根是00无理数无限不循 小负数没有平方根2. 无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即 x2数a，那么这个数就叫做 a的平方根，记为a 无理数正数的立方根是正数2、无理数： 无限不循 小数叫做无理数.立方根 负数的立方根是负数在理解无理数 ；要抓住“无限不循 ” 一 00的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即3a，那么这个数x
7、xax就叫做 a的立方根，记为 3a.之； 起来有四 ：（1）开方开不尽的数；如 7 , 32 等；概念有理数和无理数统称实数（2）有特定意 的数；如 周率 ；或化 后含正数有 的数；如 /3+8 等；有理数0（ 3 ）有一定 律；但并不循 的数；如分类或无理数负数3. 实数及其相关概念0.1010010001等；绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 （4）某些三角函数 ；如 sin60o 等实数与数轴上的点是一一对应二、实数的倒数、相反数和绝对值实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则1、相反数运算规律相同。 数与它的相反数 一 数（只有符号不同的两个数叫做互 相反数；零的相反数是零）；从数
8、 上一、实数的概念及分类看；互 相反数的两个数所 的点关于原点 称；1、实数的分类如果 a 与 b 互 相反数； 有 a+b=0；a=b；反之正有理数亦成立.有理数零有限小数和2 / 92、绝对值三、平方根、算数平方根和立方根在数轴上；一个数所对应的点与原点的距离；叫1、算术平方根：一般地；如果一个正数 x 的平方等做该数的绝对值 .（|a|0）.零的绝对值是它本身；也于 a；即 x2 ；那么这个正数x就叫做a的算术平方=a可看成它的相反数；若|a|=a；则 a0；若|a|= -a；则 a0.根.特别地；0 的算术平方根是 0.3、倒数表示方法：记作“ a ”；读作根号 a.如果 a 与 b
9、互为倒数；则有 ab=1；反之亦成立.性质：正数和零的算术平方根都只有一个；零的倒数等于本身的数是 1 和-1.零没有倒数.算术平方根是零.4、数轴2、平方根：一般地；如果一个数 x 的平方等于 a；即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴x2=a；那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）.（画数轴时；要注意上述规定的三要素缺一不可） .表示方法：正数 a 的平方根记做“a ”；读作“正、解题时要真正掌握数形结合的思想；理解实数与负根号 a”.数轴的点是一一对应的；并能灵活运用 .性质：一个正数有两个平方根；它们互为相反数；、估算零的平方根是零；负数没有平方根 .5利用非负数解题
10、的常见类型开平方：求一个数 a 的平方根的运算；叫做开平方.例1.已知 x5|y30，求 x 22 y的值。注意 a的双重非负性：被开方数与结果均为非|解：负数.即 a0；x50，| y3|0，且 x 5| y 3| 03、立方根x5 0，| y3|0一般地；如果一个数 x 的立方等于 a；即 x3=a 那x5 0，y30么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根） .x5，y3表示方法：记作 3 ax 22y25619性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有点拨：利用算术平方根；绝对值非负性解题 .一个负的立方根；零的立方根是零 .注意：3a3 a ；这说明三次根号内的负号可以移到根号
11、外面.四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数；右边的总比左边的大；两个负数；绝对值大的反而小 .2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数；右边的数总比左边的数大.（2）求差比较：设 a、b 是实数；ab0ab,ab0ab,ab0ab（3）求商比较法：设 a、b 是两正实数；a1a b; a1a b; a1 a b;bbb（ 4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数；则a ba b .（ 5 ）平方法：设 a、 b 是两负实数；则a 2b 2ab .（6）倒数法：设 a、b 是同正,如果 1/a1/b ；则
12、 ab; 同负；如果 1/a1/b；则 ab五、算术平方根有关计算（二次根式）3 / 91、含有二次根号“”；被开方数 a 必须是非负数.2、性质：（1） (a ) 2a(a0)（2） a 2aa(a0)a(a0)（3）aba ? b( a 0, b 0)（ a ? bab ( a0, b 0) ）（4）aa ( a 0 , b0 )bb（ aa (a0,b0) ）bb3、运算结果若含有“a ”形式；必须满足：（1）被开方数的因数是整数；因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方；再算乘除；最
13、后算加减；如果有括号；就先算括号里面的 .（3）运算律加法交换律abba加法结合律(a b)ca(b c)乘法交换律abba乘法结合律( ab)ca(bc)乘法对加法的分配律 a(bc)abac例. 计算：（1） 2 121；（ 2）3232；（ 3） 23 23；（ 4）5252.通过以上计算；观察规律；写出用 n（n 为正整数）表示上面规律的等式_.解：2221； 42221 1； 3231； 54 1n 1nn1n 1规律：第三章 图形的平移与旋转一、平移1、定义：在平面内；将一个图形整体沿某方向移动一定的距离；这样的图形运动称为平移 .2、要素（或条件）：方向；即前后对应点的射线方向；
14、距离；即对应点之间的距离3、性质：平移前后两个图形的形状和大小不变（即全等图形）；对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等.4、平移作图：线段的平移作法：作法 1：将线段两端点分别平移；然后将两个平移后的点连成线段；即为原线段平移后的线段；作法 2：将线段一端点平移；然后过平移 后的点作原线段的平行线；在该平行线适当方向截取长度为指定线段长度；则所得线段为所求 .二、旋转1、定义：在平面内；将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度；这样的图形运动称为旋转；这个定点称为旋转中心；转动的角叫做旋转角 .2、要素（或条件）：旋转中心（定点）、旋转
15、方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（03600）3、性质：旋转前后两个图形是全等图形；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角.4、旋转作图：（1）作图步骤：观察基本图案（确定关键点） 4 / 9确定旋转的三要素 找到对应点 连接对应点作答（2）旋转作图的方法：1、把各关键点依次与旋转中心连接2、按要求向顺时针 /逆时针旋转相应角度3、截取对应线段4、连接对应点5、作答三、简单的图案设计：第四章四边形性质探索一、四边形的相关概念1、四边形：在同一平面内；由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形 .2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定
16、理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360.四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360.推论：多边形的内角和定理： n 边形的内角和等于(n-2) 180 ；多边形的外角和定理：任意多边形的外角（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行和等于 360.四边形6、设多边形的边数为 n；从 n 边形的一个顶点出（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行发能引（n-3）条对角线；将 n 边形分成（n-2）个三四边形角形. 多边形的对角线共有n(n3)条.（4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四2边形二、平行四边形（5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平1 、平行四边形的定义
17、行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .4、两条平行线之间的距离（平行线间的距离处处2、平行四边形的性质相等）（1）平行四边形的对边平行且相等 .两条平行线中；一条直线上的任意一点到另一条（2）平行四边形相邻的角互补；对角相等直线的距离；叫做这两条平行线的距离 .（3）平行四边形的对角线互相平分 .5、平行四边形的面积： S平行四边形=底边长高=ah（4）平行四边形是中心对称图形；对称中心是对三、菱形角线的交点.1、菱形的定义常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形交点；则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对2、菱形的性质角线的交点；并且这条直
18、线二等分此平行四边形的面（1）菱形的四条边相等；对边平行积 .（2）菱形的相邻的角互补；对角相等（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等 .（3）菱形的对角线互相垂直平分；并且每一条对3、平行四边形的判定角线平分一组对角（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对边形5 / 9称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形离相等）；对称轴有两条；是对角线所在的直线 .（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形3、菱形的判定4、矩形的面积：S矩形=长宽=ab（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形五、
19、正方形（310分）（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形1、正方形的定义（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形形叫做正方形.4、菱形的面积2、正方形的性质S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半（1）正方形四条边都相等；对边平行四、矩形（2）正方形的四个角都是直角1、矩形的定义（3）正方形的两条对角线相等；并且互相垂直平分；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 .每一条对角线平分一组对角2、矩形的性质（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对（1）矩形的对边平行且相等称中心是对角线的交点；对称轴有四条；是对角线所（2）矩形的四个角相等；都是
20、直角在的直线和对边中点连线所在的直线 .（3）矩形的对角线相等且互相平分3、正方形的判定（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对判定一个四边形是正方形的主要依据是定义；途称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的径有两种：距离相等）；对称轴有两条；是对边中点连线所在的先证它是矩形；再证它是菱形.直线.先证它是菱形；再证它是矩形.3、矩形的判定4、正方形的面积（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形设正方形边长为 a；对角线长为 bS正方形= a 2b 22例 1. 菱形的周长为 20cm；相邻两内角的比为 1：2；求菱形的面积？解：如图所示；菱形 ABCD；由于周长为 20cm；A
21、B=5cmADBEC又 A： B 2：1，A120，B60过点 A 作 BC 的垂线；垂足为 E；则BAE=30BE1 AB5225252AEAB2BE 25322S菱形535253cm222另一种解法：如图所示；连结 AC、BD；相交于点 O.ADOBCBAD：ABC2：1ABC60，又ABBC6 / 9ABC 是等边三角形；AC=5（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形 .（3）对角线相等的梯形是等腰梯形 . （选择题和又OAOC，OA52（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫填空题可直接用）做直角梯形.（四）梯形的面积又 AO BD， OBAB2OA225255322BD5 3S菱
22、形15 5 325 3cm222点拨：菱形的两种求面积的方法都比较常用；注意根据题中所给的条件灵活选择.有时要与一些特殊角；比如 30、60角的特殊性质联系起来 .六、梯形（一） 1 、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.梯形中平行的两边叫做梯形的底；通常把较短的底叫做上底；较长的底叫做下底 .梯形中不平行的两边叫做梯形的腰 .梯形的两底的距离叫做梯形的高 .2、梯形的判定（1）定义法：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形.一般地；梯形的分类如下：（ 1 ） 如 图 ；一般梯形S梯形 ABCD1 (CD AB) ? DE2梯形直角梯形（2）梯形中有关图特殊梯形
23、形的面积：等腰梯形 S ABDS BAC ；（三）等腰梯形 S AODS BOC ；1、等腰梯形的定义 S ADCS BCD两腰相等的梯形叫做等腰梯形.七、有关中点四边形问题的知识点：2、等腰梯形的性质（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形（1）等腰梯形的两腰相等；两底平行 .是平行四边形；（2）等腰梯形同一底上的两个角相等；同一腰上（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；的两个角互补, 不同底的两个角互补.（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；（3）等腰梯形的对角线相等 .（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是（4）等腰梯形是轴对称图形；它只有一条对称轴；菱
24、形；即两底的垂直平分线.（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的3、等腰梯形的判定四边形是菱形；（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等点所得的四边形是矩形；腰梯形（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形7 / 9四边中点所得的四边形是正方形；八、中心对称图形1、定义在平面内；一个图形绕某个点旋转 180；如果旋转前后的图形互相重合；那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心 .2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形 .（2）关于中心对称的两个图形；对称点连线都经过对称中心；并且被对称中心
25、平分 .（2）连结 BO 并延长在延长线上截取 BO=BO在DBC 和ACB 中；DB=AC；1=3；BC=CB（3）连结 CO 并延长在延长线上截取 CO=CODBCACB（SAS）（4）顺次连结 AB；BC；CA.DC=ABAB即C为所求.梯形 ABCD 是等腰梯形.ACADOBB312BCECA例 1. 如图所示；矩形 ABCD 中；AB=4；BC=8；将矩形沿 AC 折叠；点 D 落在点D处；则重叠部分AEC 的面积为多少？九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系：AD（3）关于中心对称的两个图形；对应线段平行（或在同一直线上）且相等 .3、判定如果两个图形的对应
26、点连线都经过某一点；并且被这一点平分；那么这两个图形关于这一点对称 .例. 作图；作出ABC 绕 O 点旋转 180后的图形.AOBC解：作法：（1）连结 AO 并延长在延长线上截取 AO=AO例. 如图所示；梯形 ABCD ；AC=BD；这个梯形是等腰梯形吗？说明理由.ADBC解：是等腰梯形；理由如下：把 AC 平移到 DE 的位置；则四边形 ACED 是平行四边形DE=BD；1=22=3；1=3BECD 解： CD=CD=AB； CED=AEB； D=B=90CEDAEBCEAE，D EBE设BE x，则 CE 8 x，则 AE 8 x 在Rt ABE中，有 42 x2 (8 x)2x3则 SABE14362S ABC148162S AEC108 / 9点拨：设未知数列方程有时是解决几何问题的重要方法.9 / 9
